二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 考点目录 面积问题 角度问题 考点一 面积问题 例1.(2026陕西西安二模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C, 抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB, (1)求该抛物线的解析式： (2)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)存在，Q(2,3或 3+,1+成3=亚，1+ 2，22,2 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0)、B(3,0), -1-b+c=0 b=2 -9+36+c=0'解得 =31 :该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等， ”y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, :顶点P1,4), 当x=0时，y=3,则C(0,3), 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 设直线BC的解析式为y=kx+b,(k≠0， :过点B3,0),C0,3), [3k+b,=0 「k=-1 b=3 0,解得6=3' :直线BC的解析式为y=-x+3, 当x=1时，y=2,则M(1,2), S.PMB= 2xg-w小PM=)×2x2=2, 2 :△QMB与△PMB的面积相等， S.0MB=2, 如图，过点Q作x轴的垂线，交BC于点F, D C M A B 设(m,-m2+2m+3,则F(m,-m+3, :0F=-m2+2m+3-(-m+3=m2+3m, :sm-g-0r=20r=0r, :QF=2,即-m2+3m=2, :-m2+3m=2或-m2+3m=-2, 解得m=1或2或3+7或3-回 2 2 :P1,4, :m=1舍去， 当x=2时，y=3; 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 当x=3+亚时，y=+ 2 2 当x=3=而时，y=+而 2 2 :0(2,3)或 +万，1+威3，+ 21 2 22 例2.(25-26九年级下·吉林长春·开学考试)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx-3(b是常数)经过点(3,0).点 A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0)，点B的坐标为1-m,2m-1. (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)过点A作AC⊥y轴于点C,以AC、CB为邻边作口ACBD. ①当m=2时，求△ABD的面积. ②当线段AD被y轴分成1：2的两部分时，求m的值. ③若m<1,当抛物线在口ACBD内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，直接写出m的 取值范围. 【答案】(1)y=x2-2x-3 ②05w=6:②m=号或m=-2:国-5m<-1或0<m<1 2 【详解】(1)解：抛物线y=x2-bx-3经过点(3,0)， ∴0=9-3b-3, b=2, “函数表达式为：y=x2-2x-3. (2)①解：~点A在抛物线上，且点A的横坐标为mm≠0)，点B的坐标为1-m,2m-1), ∴当m=2,A2,-3,B-1,3, AC⊥y, “点C(0,-3, S24cBn=2×6=12, 5m=6 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 ②解：AC⊥y轴， ∴点C的横坐标为0， 4C =m 设点D的坐标为e,f), ~四边形ACBD是平行四边形， .BD =1-m-e=AC=m, 当m>0时，点D在点B的右侧， 2.BD =e-1-m=m, 解得：e=1; 当m<0时，点D在点B的左侧， 2.BD =1-m-e=m 解得：e=1, 点D在x=1上， ∴当线段AD被y轴分成两部分时，点A需在y轴的左侧，即点m<0,如图， 过点D作DF⊥y轴于点F, '∠AEC=∠FED, ∴.△ACE∽△DFE, 当AE-AC1 当是S名有解将：m= Γ29 当能京有”2，解4。 综上所述，线段AD被y轴分成1：2的两部分时，m的值为- 2. 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 E F中DB ③解：点B的坐标为(1-m,2m-1), x=1-m y=2m-1' 解得：y=-2x+1, ∴点B在直线y=-2x+1上运动， m<1, 1-m>0, 当0<m<1时，0<1-m<1,此时抛物线在口ACBD内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 111111 OB欧D C A 当m=0时，点A与点C重合，平行四边形ABCD不存在； 当m=-1时，此时A(-1,0),B(2,-3),不符合题意； D 当-1<m<0时，1<1-m<2,此时不符合题意； 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 y=x2-2x-3=(x-12-4, 顶点为1，-4)， ∴点D的纵坐标为2m-1,即2m-1≥-4； 当m=时4)小 此时点D为顶点，抛物线在口ACBD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，符合题意： VA 3 当 二<m<-1时，此时抛物线在口ACBD内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，符合题意； VA DA B 3 当m<- 时，不符合题意； 2 综上所述，当抛物线在。ACBD内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，m的取值范围 6 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 ≤m<-1或0<m<1. 为：3 例3.(2526九年级下-四川成都开学考试)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=}2+低+c经过 4 点O(0,0),对称轴过点B(2,0),直线1过点C(2,-2),且垂直于y轴.过点B的直线I交抛物线于点M、N,交直 线1于点Q,其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧. V个 VA N E P C (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当BM:MQ=3:5时，求点N的坐标； (③)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线1下方的抛物线上一动点，连接PQPO,其中P0交1，于点E,设 △OOE的面积为S, PE的面积为S,R产的最小。 【答案】0y- (2)N(6,3 (3)1 【详解】)解：揽物线y x2+bx+c经过点0(0,0)，对称轴过点B(2,0), b-2 2× 4 c=0 b=-1 解得： c=0 抛物线解析式为y=x-x; 4 (2)解：如图所示，过点M作对称轴x=2的垂线MD,垂足为D, 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 y个 O D C (图1) 设好- 则2- MD∥QC, ∴BD:CD=BM:MQ=3:5, C(2,-2, 0--m 3 4m2-m--2 1 解得：m=1或m=3, 其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧. m=1, w-引 设直线BM的解析式为y=+b, k+b=-3 4, 2k+b=0 k=3 解得： 4 3 b=- 2 33 直线BW的解析式为y=- 2 í33 联立 2 y-1x-x 4 x=1 x=6 解得： 3或 y=- 4 y=3' 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 N(6,3): (3)解：依题意，点Q恰好在y轴上，则20，-2)， 设直线QB的解析式为y=x-2, 将B(2,0)代入得2t-2=0, 解得：t=1, ∴直线QB的解析式为y=x-2, 设P44n-n 设直线OP的解析式为y=kx, 则k=4-1, 直线0P的解析式为y=-小， y=x-2 8 x= 解得： 8-n 8 J- -2 8-n (8,8-2, E8-n'8-n ,△OQE和PQE以QE为公共底边， :这两个三角形的面积比等于点O和点P到直线QE的水平距离之比. 8 =8== 8 8 S2 n-8-n 8n(8-m)-8-n2+8n-8' 设u=-n2+8n-8,对其配方： u=-(n2-8n)-8=-(n-4)2+8 由题意，点P在直线QB下方的抛物线上，且在对称轴右侧， 2<n<4. 在2<n<4时，4随的增大而增大， 4<u<8 S-8 5“,分子为定值， 9 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 u越大， 当陬最大值8时，3，氵 的最小值为1： S, 例4.(25-26九年级下·江西开学考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4(a<0)与x轴交于 点A(-2,0)和点B(4,0),与y轴交于点C. (1)求该抛物线的函数解析式； (②)如图，连接BC,求直线BC的解析式； (3)如图，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD,CD,OD交BC于点F,当SACOF:SACDF=2:I时，求点D 的坐标. 【答案】(I)y=- 4 (2)y=-x+4 (3)点D的坐标为(2,4) 【详解】(1)解：点A(-2,0),B(4,0), 把点A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4, [4a-2b+4=0 得 16a+4b+4=0 1 a=- 解得 2 b=1 该抛物线的函数解析式为y=-x2+x+4. 2 (2) 解：抛物线y三-2+x+4与y轴交于点C 点C(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+m,代入B(4,0),C(0,4) 10二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 二次函数综合：面积问题、角度问题专项训练 考点目录 面积问题 角度问题 考点一 面积问题 例1．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为，点的坐标为． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)过点A作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积． ②当线段被轴分成的两部分时，求的值． ③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 例3．（25-26九年级下·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线l过点，且垂直于y轴．过点B的直线交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当时，求点N的坐标； (3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线下方的抛物线上一动点，连接，其中交于点E，设的面积为，的面积为，求的最小值． 例4．（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图，连接，求直线的解析式； (3)如图，点是直线上方抛物线上的点，连接，，交于点，当时，求点的坐标． 变式1．（25-26九年级上·广东茂名·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 变式2．（25-26九年级上·山东威海·期末）直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B． (1)直接写出c的值： ； (2)当时，抛物线有最小值，求a的值； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值． 变式3．（25-26九年级上·吉林延边·月考）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标． 变式4．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)设为直线上方的抛物线上一点，连结、，以、为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为____________； (4)如图2，若在轴上有两个动点、，且，则的最小值为____________． 考点二 角度问题 例1．（25-26九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线上存在一点Q，使，求出点Q的坐标． (3)如图2，抛物线的对称轴与抛物线相交于点D，交x轴于点E，交直线于点F，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 例2．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作平行轴交抛物线于点，点为上方抛物线上一点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式： (3)在（2）的条件下，过点作轴于点，连接，作交的延长线于点，过点作的垂线交轴于点，作的角分线交于点，若，求点的坐标． 例3．（25-26九年级下·湖南常德·开学考试）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 例4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在轴上的交点的连线与轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”， 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点（点在点的右侧）、与轴交于点，顶点为点，且． (1)求证：抛物线是“半垂抛物线”； (2)已知点是抛物线上一点，横坐标为，连接． ①若点位于轴下方，且，求直线的解析式； ②若，求此时的值． 变式1．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，二次函数的图象与轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与轴交于点，二次函数图象的顶点为． (1)若，求顶点的坐标及线段的长； (2)连接，，，若，求点的坐标． 变式2．（25-26九年级下·重庆·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程． 变式3．（2026·重庆·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．已知，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，为新抛物线上一动点，连接并延长交所在直线于点D．是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $