期中模拟试卷•能力培优卷（ 测试范围：第7章相交线与平行线～第9章平面直角坐标系）2025-2026学年七年级下学期期中试卷（人教版）

2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟试卷 （人教版•培优卷） 考试范围：第7章相交线与平行线~第9章平面直角坐标系 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定有平方根 C．0.01的平方根是0.1 D．2的算术平方根是 2．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 4．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 5．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．此时的度数为（   ） A． B． C． D． 6．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 7．如图，已知直线，将一块含角的直角三角板图示的方式放置，顶点A在直线上，顶点C在直线上，过点C作的平分线交于点D，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为___________． 12．已知点M的坐标为，点N的坐标为，且，将线段向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则的值为_______ ． 13．如图，在一副三角尺和中，，，，，将三角尺的顶点E落在边上，且．若三角尺不动，将三角尺绕点E顺时针旋转，当线段与线段重合时停止转动．在转动过程中，当与三角尺的直角边平行时，的度数为____________． 14．如图，平面直角坐标系的原点及的顶点均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，过点作，垂足为，则点的坐标为________． 15．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒． 16．一个各数位互不相等，且均不为0的四位自然数，若满足，则称为“量子数”．例如：四位数，，是“量子数”．将的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最大的“量子数”，则_____；若是一个“量子数”，（为整数），能被13整除，则满足条件的的最小值是_____． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算题： (1) (2) 18．（本题6分）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，求的度数． 19．（本题8分）已知点，根据条件，解决下列问题： (1)点A在x轴上，求出点A的坐标； (2)点A在过点且与y轴平行的直线上，求线段的长． 20．（本题8分）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是m． (1)实数的值是_______； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，它的两个平方根分别为与，且，化简：． 21．（本题10分）问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 22．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 23．（本题12分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 24．（本题12分）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形中，延长至点，，． (1)①求证：． ②如图1，的三等分线与的三等分线交于点，且，，求的度数． 类比探究 (2)如图2，是射线上一点，连接，交于点，．若的三等分线与的三等分线交于点，请直接写出的度数． 拓展延伸 (3)如图3，是射线上一点，连接．延长，分别至点，．的三等分线与的三等分线的反向延长线交于点，且，．若的三等分线与的三等分线交于点，且，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期中模拟试卷 （人教版•培优卷） 考试范围：第7章相交线与平行线~第9章平面直角坐标系 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定有平方根 C．0.01的平方根是0.1 D．2的算术平方根是 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根进行计算和判断即可． 【详解】A. 的平方根是，故选项错误，不符合题意；     B. 一定有平方根，故选项正确，符合题意；     C. 0.01的平方根是，故选项错误，不符合题意；         D. 2的算术平方根是，故选项错误，不符合题意． 2．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质得到，进而可求得，再结合物理知识求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角得， ∴． 3．如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 4．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解： ，且，， ． 故选：A． 5．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作，由平行公理的推论可得，利用两直线平行，同旁内角互补，进行角度的计算即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．设的小数部分是，的整数部分是，则（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 7．如图，已知直线，将一块含角的直角三角板图示的方式放置，顶点A在直线上，顶点C在直线上，过点C作的平分线交于点D，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平分，可得，则可得，再由，根据同旁内角互补即可求解． 【详解】解： ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 9．如图，，、、分别平分、、，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平行线的性质即可证明①正确；证明即可判断②正确；证明即可判断③正确；无法判断④． 【详解】解： ， ，，故①正确， 平分，平分， ，， ， ，故②正确， 平分， ， ， ， ，故③正确， 无法判断，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 10．如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察给出的点得到点的坐标每3个为一组，第组的三个点坐标分别为： ， ， ，再进行求解即可. 【详解】解：观察已知点的坐标： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 点的坐标每3个为一组，第组的三个点坐标分别为： ， ， ； ， 是第675组的第3个点，即对应的形式，其中， 的坐标为. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为___________． 【答案】 【分析】由平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】解： 与是同一个正数的两个平方根， ， 合并同类项得：， 解得， 将代入，得其中一个平方根为， 这个正数为． 12．已知点M的坐标为，点N的坐标为，且，将线段向上平移y个单位长度，其扫过的面积为20，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性，结合平移时扫过的面积进行计算即可． 【详解】， ，， 则，． 将线段向上平移个单位长度，其扫过的面积为20， ， 解得， ， ． 13．如图，在一副三角尺和中，，，，，将三角尺的顶点E落在边上，且．若三角尺不动，将三角尺绕点E顺时针旋转，当线段与线段重合时停止转动．在转动过程中，当与三角尺的直角边平行时，的度数为____________． 【答案】或 【分析】根据题意，分，两种情况讨论，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：当时， 则， ∵， ∴； 当时， 则， ∵， ∴； 综上，当与三角尺的直角边平行时，的度数为或． 14．如图，平面直角坐标系的原点及的顶点均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，过点作，垂足为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据，垂足为，可得点D与C的横坐标相同，点A与D的纵坐标相同. 【详解】解：由图可知： ,垂足为, 即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标特点，解决问题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特点. 15．如图，三角板与三角板如图摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上，同时旋转两块三角板，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则时间的值为______秒． 【答案】或 【分析】分为两种情况进行分析，情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可；情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，根据平行线的性质求出，，，，根据三角形内角和是，列出方程求解即可． 【详解】根据题意可得，，， 情况一：当时，过点作，交于点，延长与交于点，如图： 则，， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得． 情况二：当时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，如图： 则，， ∵， ∴， 故， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得． 综上，当与平行时，t的值为或． 16．一个各数位互不相等，且均不为0的四位自然数，若满足，则称为“量子数”．例如：四位数，，是“量子数”．将的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数，并规定．若是最大的“量子数”，则_____；若是一个“量子数”，（为整数），能被13整除，则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 21 6734 【分析】本题考查新定义运算、数的整除及整数的性质，正确理解新的定义是解题的关键． 先根据“量子数”的定义找出最大的“量子数”，再求出，最后代入的定义进行计算即可；再根据“量子数”的定义和的定义得出关于、的表达式，再结合（为整数）和能被13整除的条件，通过分析、的取值来确定满足条件的的最小值． 【详解】解：是最大的“量子数”， 、， 各数位互不相等，且均不为0， 、， ， ， ； 是一个“量子数”， ， ， ， ， ， ， （为整数）， ， 、、、互不相等，且是不为0的自然数， ， 为整数， 或， 当时，，此时不符合要求； 当时，， ， ，能被13整除， 能被13整除， 的值可能为26或39或52或65或78或91或104， ①当时，， 若，则、，不符合要求； ②当时，， 、是不相等的自然数， 不符合要求； ③当时，， 若，则，不符合要求； 若，则，不符合要求； 若，则、、，此时， 且，符合要求； 若，则、，不符合要求； ④当时，， 、是不相等的自然数， 不符合要求； ⑤当时，， ，即， ， 若时，、、，此时， ，符合要求； 若时，、、，不符合要求； ⑥当时，，不符合要求； ⑦当时，， ，即， ， 若时，、、，此时， ，符合要求； 若时，、，不符合要求； 综上所述，满足条件的的最小值为， 故答案为：21；6734． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（本题6分）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（本题8分）已知点，根据条件，解决下列问题： (1)点A在x轴上，求出点A的坐标； (2)点A在过点且与y轴平行的直线上，求线段的长． 【答案】(1) 点的坐标为 (2) 线段的长为 【分析】（1）因为x轴上的点纵坐标为0，所以令点A的纵坐标，解出a的值后，代入横坐标表达式求出横坐标，进而得到点A的坐标． （2）因为与y轴平行的直线上的点横坐标相等，所以令点A的横坐标，解出a的值后得到点A的坐标，即可计算出线段的长． 【详解】（1）∵点A在x轴上，x轴上点的纵坐标为0， ∴， 解得 ， 将代入横坐标得：， ∴点A的坐标为 ． （2）∵过点且与y轴平行的直线上所有点横坐标都为3， ∴点A的横坐标满足：， 解得， 则点A的纵坐标为，即， ∵A、P横坐标相同，线段长度为纵坐标差的绝对值， ∴． 20．（本题8分）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是m． (1)实数的值是_______； (2)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； (3)在数轴上还有点表示实数，它的两个平方根分别为与，且，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，和两点间的距离公式解答即可； （2）由题意得，求出，，代入求它的算术平方根即可； （3）由题意得，求得，，由（1）得 则，，，，据此化简即可． 【详解】（1）解：∵直径为， ∴， 由题意得 ∴； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ； （3）解：∵两个平方根分别为与， ∴即， 解得， ∴， 由（1）得 ∵，即， ∴，，， ∴ ． 21．（本题10分）问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）先得到，则，再由求解即可； （2）由（1）得，，则，由角平分线可得，过点作，证明即可； （3）设，，由（2）可得，由题意可得，再根据角平分线得到，，由（1）得：，再代入求解即可； （4）同问题（3）求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：、分别是和的平分线， ，， 由（1）得，， ， ， ， 过点作， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由是： 设，， ∴由（2）可得 ∵，， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴ ； （4）解：设，， ∴由（2）可得 ∵，（n为正整数）， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴； ． 22．（本题10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； （4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 23．（本题12分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 24．（本题12分）综合与实践 基本图形 如图1，在四边形中，延长至点，，． (1)①求证：． ②如图1，的三等分线与的三等分线交于点，且，，求的度数． 类比探究 (2)如图2，是射线上一点，连接，交于点，．若的三等分线与的三等分线交于点，请直接写出的度数． 拓展延伸 (3)如图3，是射线上一点，连接．延长，分别至点，．的三等分线与的三等分线的反向延长线交于点，且，．若的三等分线与的三等分线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或 【分析】①根据，得出，证出，则，即可证明． ②如图1，过点作．由①可知，则，故，即可得． 根据的三等分线与的三等分线交于点，且，，得出．即可得出，即可求出． （2）如图2，过点作，由（1）①可知，则，得出，．则，，得出，．根据的三等分线与的三等分线交于点，得出．求出，即可求出． （3）如图2，延长至点，则，由题意可知．同（1）②可知，求出，．根据，求出，即可得．分类讨论：（i）当时，即，点为图2中点的位置，求出．（ii）当时，即，，点为图2中点的位置，同（1）②求出． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． ②解：如图1，过点作． 由①可知， ， ． ， ． ∵的三等分线与的三等分线交于点，且，， ∴． ， ， ． （2）解：如图2，过点作． 由（1）①可知， ， ，． ，， ， ， ， ． ∵的三等分线与的三等分线交于点， ∴． ， ． （3）解：如图2，延长至点， ， 由题意可知． 同（1）②可知， ， ． ， ． ， ， ． 分类讨论：（i）当时，即，点为图2中点的位置， ． （ii）当时，即，，点为图2中点的位置， 同（1）②． 综上所述，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $