精品解析：吉林省吉林市蛟河一中、磐石一中、舒兰一中2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

蛟河一中、磐石一中、舒兰一中 高一下学期第一次月考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 2 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与非零向量共线，则 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与共线，则y=_________ 13. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 14. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 16. 已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）与的夹角的余弦值. 17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 18. 如图，在等腰梯形中，，，，，点和分别在线段和，且，. （1）若，求，的值； （2）求. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的外接圆的周长； （2）若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟河一中、磐石一中、舒兰一中 高一下学期第一次月考数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解. 【详解】由题可得. 故选：B 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 3. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量，满足，，，由求解. 【详解】解：因为向量，满足，，， 所以． 故选：A． 4. 已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件有两解，计算求参. 【详解】因为有两解， 得，得． 故选：B. 5. 设复数，则其共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得. 【详解】， 所以，其虚部为. 故选：A. 6. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 7. 在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上， 又，所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，且. 取的中点，连接，则. 由题意知，，，所以. 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，故， 设（），则，即. . 所以， 当时，取得最小值，为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，化简复数，判断选项. 【详解】由， 故z的虚部为，，， ，A、C对，B、D错. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与垂直的单位向量的坐标为或 D. 若向量与非零向量共线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量夹角公式判断A选项；利用公式判断B选项；设与垂直的单位向量的坐标为，建立方程组求解即可判断C选项；设，利用平面向量基本定理中的唯一性可得判断D选项. 【详解】由题意得，，故A正确； 在方向上的投影向量为， 故B错误； 设与垂直的单位向量的坐标为，则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故C正确； 若向量与非零向量共线，设， 因为不共线，所以，解得，此时，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且与共线，则y=_________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为与共线，所以，解得. 考点：平面向量共线的坐标运算 13. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【解析】 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 14. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，，若，，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】以为基底表示，由三点共线可求出，结合基本不等式可求出的最大值. 【详解】解析：，又，，三点共线，所以， 而，所以当且仅当时取等号. 故答案为:1. 【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了基本不等式，属于基础题.本题关键是求出的关系. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知复数在复平面上对应点在第一象限，且，的虚部为2. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到、，根据和的虚部为2联立方程组解出、，再根据复数在复平面上对应点在第一象限得到复数； （2）分别求出、，得到点、、的坐标，求出. 【小问1详解】 设，，， 由题意得，解得或，又因为复数在复平面上对应点在第一象限，所以. 【小问2详解】 ，，， 所以对应的点，，，从而，，. 16. 已知向量与的夹角，且，. （1）求； （2）与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积定义及运算律求结果； （2）由向量夹角公式、数量积的运算律求夹角余弦值. 【小问1详解】 已知向量与的夹角，且，， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和，，得到，求出； （2）在（1）基础上，得到，其中，由三角形面积公式得到方程，求出 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又， 所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即， 解得. 18. 如图，在等腰梯形中，，，，，点和分别在线段和，且，. （1）若，求，的值； （2）求. 【答案】（1），；（2）20. 【解析】 【分析】（1）分别过，作的垂线，，垂足分别为，，利用锐角三角函数求出，即可求出，从而得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用作为一组基底，表示出、，再根据定义法求出，最后根据平面向量数量积的运算律计算可得； 【详解】解：（1）如图，分别过，作的垂线，，垂足分别为，， 在中，，，所以，同理，，又，所以，即. ，所以，. （2）， . 因为，，， 所以. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）若，求的外接圆的周长； （2）若为锐角三角形，且， ①求角的取值范围； ②求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦求出，再利用正弦定理求解. （2）①由（1）的结论，结合锐角三角形条件求出的范围；②由正弦定理及三角形面积公式，结合正切函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，，又， 于是，，因此，设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以的外接圆的周长为. 【小问2详解】 ①由为锐角三角形，得，又， 则，解得，所以角的取值范围是； ②的面积， 由正弦定理得． 由，得，则，因此， 所以面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $