精品解析：吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算求得复数，进而利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知直线，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则，，共面 D. 若，异面，，异面，则，异面 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，例如正方体中交于同一顶点的三条棱两两垂直，但并不都平行，故A错误. 对于选项B，根据空间中平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条，故若，则，B正确. 对于选项C，互相平行的三条直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱互相平行，但它们不共面，故C错误. 对于选项D，若异面，异面，与可能平行、相交或异面，位置关系并不确定，故D错误. 3. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出． 【详解】平面向量，满足，且， ，解得. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即， 又，所以. 故选：B 5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，，， 则，解得. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，两边同时平方： ， 即. 由题目可知， 则. 所以， 即，B正确. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式和对立事件的加法公式注意判定ABC；D根据判定. 【详解】对于A，因是互斥事件，故，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误； 对于D，因为互斥，所以，故， 所以事件不相互独立，故D正确. 故选：ABD 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知在中，BC的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若的内角满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断. 【详解】设边分别为，则. 对于A选项：设外接圆半径为，由正弦定理， 所以外接圆的面积为，当，时，外接圆面积最小为； 又因为时，，由面积为2，得到，； 而与上式矛盾，故A错误. 对于B选项：,则；由余弦定理， 得到，两边同除以， 得到，令，则，， 当且仅当时，时，最大且为，故B正确； 对于C选项：由内切圆半径的公式：，而， 故最大时，最小；当时，最小，此时， 所以，故C正确； 对于D选项：由和，得到，则. ，由正弦定理， 得，即， ，两边除以，得到, 所以; 由B为锐角，所以， ，故D正确. 故答案为：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得， 所以， 因为，所以， 解得， 因为，所以． 13. 如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，结合行驶速度即可求得所需时间. 【详解】在中，由题意得：海里，海里， 因在南偏西，在正东，因此。 由余弦定理，  ， 即， 故 得海里， 因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。 14. 已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，求出轨迹长度； 【详解】 由题意 在上，取，则 由正方体的性质可知平面，又平面， 则， 则， 即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧， 如图设圆弧与交于，， 所以，则， 则弧长为 故点的轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出方程求出，再根据复数的模的计算公式即可得解； （2）根据复数的几何意义列出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 由题意可知， 因为为纯虚数，则，解得， 所以，； 【小问2详解】 ， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以， 解得或， 即的取值范围是． 16. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值； （2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围． 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． 【小问2详解】 ，， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 【答案】（1），74.5． （2）平均数为70.5，方差为35 【解析】 【小问1详解】 根据题意，，解得． ， 估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则； （2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为为正三角形,所以,又,所以. 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为底面，底面，所以，由已知， 又，且平面，所以 平面， 又平面，所以，又， 所以就是二面角的平面角，所以 因为，则, 在中，因为是正三角形，则易知， 所以在中，， 因为底面,平面, 所以.知, 所以的面积. 因为,所以, 又因为为中点,所以. 设点到平面的距离为,由,得, 解得,即点到平面的距离为, 又,所以三棱锥的体积. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）与平面所成角的正弦值 （3）取得最大值时 【解析】 【分析】（1）连接交于点M，连接，则有，可得，即可得答案； （2）由题意可得平面，可得平面平面，过作于，连接，可得为与平面所成的角，求解即可； （3）作于，连接，所以即为与平面所成的角为，过作，垂足为，连结，为二面角的平面角，进而计算可得的最大值即此时的的值. 【小问1详解】 连接交于点M，连接， 因为，，所以， 则平面平面， 依题意，平面，平面，所以， 所以，等腰梯形中，， 所以； 【小问2详解】 因为等腰梯形的外接圆圆心在底边上，所以， 所以，又因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面所成角的正弦值； 【小问3详解】 作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以是在平面内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面所成的角为，则， 过作，垂足为，连结， 又，，平面，所以平面， 又平面，.所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 已知直线，，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则，，共面 D. 若，异面，，异面，则，异面 3. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若与C是对立事件，则 D. 事件A，B不相互独立 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知在中，BC的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若的内角满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量满足，则的夹角为______． 13. 如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 14. 已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17. 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差． 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19. 如图①，已知等腰梯形的外接圆圆心在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面所成角的正弦值； （3）若，平面平面，设与平面所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $