期中模拟试卷•能力培优卷（ 测试范围：第1章 三角形的证明及其应用～第4章 因式分解）2025-2026学年八年级下学期期中试卷（北师大版）

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷 （北师大版•培优卷） 考试范围：测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，平分，于点E，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作交的延长线于F， 平分，，，， ， ， 的面积． 2．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，根据整数解的个数求出关于的不等式组是解题关键． 先解不等式组，得到解集范围，再根据有4个整数解（即2，3，4，5）确定上界条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 不等式组的解集为 ； 有且只有4个整数解，即整数解为2，3，4，5， ； 解 得 ，即 ， 解 得 ，即 ， ， 故选：D． 3．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 5．已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入已知不等式求出的取值范围，再根据不等式的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴将代入不等式得， 整理得， 解得，故A选项正确； ∵， ∴， ∴， 即，故B选项正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 可以取正值，因此不成立，故C选项错误，符合题意. 又， ∵， ∴， ∴，即，故D选项正确． 6．如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由折叠得，根据平行线的性质可得，，根据折叠的性质，再求，利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠得， 根据题意可得， ，， 由折叠可得， ， ． 7．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 8．如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，根据轴对称的性质得出，，根据三角形三边关系得出，可得当、、三点在同一条直线上时，取最大值为，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点是中点， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∵， ∴当、、三点在同一条直线上时，取最大值，最大值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 9．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，平移，作辅助线如解析图，可得，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合，进而问题可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 平移，使得点F与点G重合，点C的对应点为P，作点P关于的对称点H，过点H作，交线段于点，线段交于点，连接，如图所示： 根据轴对称的性质可知：，由平移可知：， ∴，当点H、G、E三点共线时，取得最小值，即点G与点重合，点E与点Q重合，此时点F与点重合， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当取最小值时，的度数为； 故选D． 10．如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可得，，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出①正确，全等三角形对应角相等可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，判断出②正确，根据全等三角形对应角相等可得，再求出，从而得到，判断出④正确；判断出为等边三角形，判断出⑤正确，根据等边三角形的性质可得，得到，再根据内错角相等，两直线平行可得，判断出③正确；求出，即为，再根据计算即可得解，从而判断出⑥正确． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，（故①正确）； ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，（故②正确）； ， ∵， ∴， ∴， ∴，（故④正确）； ∵，， ∴为等边三角形，（故⑤正确）； ∴， ∴， ∴，（故③正确）； ∵， ∴， ∴， ∴，（故⑥正确）； 综上所述，结论正确的是①②③④⑤⑥共6个．故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握各性质与判定方法是解题的关键，难点在于需要多次证明三角形全等． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若，则________． 【答案】2 【分析】先将分母有理化，再将变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：， ． 12．如图，在 中，，，点是的中点，点是上的动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理得到的长度，根据点到直线的距离（垂线段最短）得到的最小值为点到的垂线段的长度，根据等面积法得到垂线段的长度即为答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵点是上的动点， ∴的最小值为点到的垂线段的长度， 即为如图所示，过点作于点，线段的长度， ∵， ∴． 13．如图，在中，，将沿射线方向平移3个单位长度，得到，连接，则的长为__________． 【答案】6 【分析】根据平移的性质得出，，，然后证明是等边三角形，最后根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移3个单位长度，得到， ∴，，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 14．已知实数x，y满足，则的最大值为____． 【答案】18 【分析】先求得和的值，再求得，解不等式可求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意，设①， 又②， 得，， 即， 得，， ∴， ， 的最大值为18． 15．如图，是等腰三角形，，点D在边上，，，点P为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与的腰垂直时，则_________． 【答案】或或 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 16．各数位数字均不为0且互不相等的四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和为8，十位数字与个位数字之和为10，则称为巴适数．那么最小的巴适数为_____；将一个巴适数的千位数字与个位数字对调、百位数字与十位数字对调后的四位数记为，规定，若的值是一个完全平方数，完全平方数指的是能写成一个整数的平方的数，则满足条件的巴适数的最大值为_____． 【答案】 1728 7164 【分析】本题主要考查了新定义问题、完全平方数的性质、数字组合与互异性分析，熟练掌握新定义的规则并结合数的性质进行推导是解题的关键． 先根据巴适数的定义，通过确定最小的千位和十位数字来找到最小数；再对为完全平方数的条件进行推导，结合数字互异性和千位最大的要求，找到最大数． 【详解】解：设的千位、百位、十位、个位数字分别为，则，，且为1至9的整数且互不相等， ∵千位取最小正整数1， ∴， ∵十位取最小且与不相等的正整数2 ∴， ∴最小巴适数为， ∵，为千位与个位、百位与十位对调后的数， ，， 又， 则。 ∴， ∵为完全平方数， ∴（为整数）， ∴，即为完全平方数， ∵为1至9的整数， ∴或或， 当时，可能的为， ∵，， ∴对应，， ∵数字互不相等， ∴此时无合适的巴适数， 当时，可能的为， ∵，， ∴对应，， ∵数字互不相等， ∴得到， 当时，可能的为， ∵互不相等， ∴仅有效， ∵要找满足条件的最大， ∴比较得最大数为， 故答案为：；． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上．将三角形向左平移2格，再向上平移4格． (1)在图中画出平移后的三角形； 连接，，则，的位置关系和数量关系是：____________； 将三角形平移至三角形的最短路程是线段___________的长； (2)求三角形的面积； (3)在图中画出一个异于点的格点，使三角形的面积与三角形面积相等． 【答案】(1)图见解析；，；（或）． (2)三角形的面积为 (3)见解析 【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可；利用图像法或平移的性质即可解决问题； （2）根据面积公式计算即可； （3）满足条件的点在过点与直线平行的直线上． 【详解】（1）解：图中三角形即为所画： 根据图形平移的性质， 故，， ∵两点之间线段最短， ∴将三角形平移至三角形的最短路程是线段（或）的长， 故答案为：，；（或）． （2）解：． （3）解：下图中点即为所作（答案不唯一，满足即可）： 18．（6分）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元 (2)可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，由“购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元”列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由“购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元”列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元， 根据题意得：， 解得， 答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元； （2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵， 解得： 为正整数， 当时，， 当时，， 答：可购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵；或甲种树苗26棵，乙种树苗74棵． 19．（8分）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 20．（8分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设，则，比较系数得， 解得． 解法二：设，由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有因式和，求的值； (2)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （2）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得 ， 解得． （2）解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 21．（10分）图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点、、和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形只有一组对角为直角； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图，取格点，连接，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到； （2）根据网格特征得出，从而求解； （3）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，点为所求， （2）解：如图， 根据网格可知，， ∴， ∴四边形即为所求； （3）解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 22．（10分）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． (1)若原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为__________个； (2)若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为__________． 【答案】(1)3 (2)2，1，2 【分析】（1）设制作A、B、C三种型号工艺品分别为x个，y个，z个，根据总原料恰好，总工艺品个数为5，列方程组消元求解即可； （2）设制作A、B、C三种型号工艺品分别为a个，b个，c个，根据甲种原料不超过，总个数为5，每种至少1个，列出约束条件，将乙种原料总重量表示为的代数式，根据代数式性质求解使乙种原料最大的方案即可． 【详解】（1）解：设制作A、B、C三种型号工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得， 由得， 将其代入得： 解得， ∴制作A型工艺品的个数为3； （2）解：设制作A、B、C三种型号工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得（，且为正整数）， 由得，， 再将其代入得： 解得， 设乙种原料总重量为W，则 ， 要使W最大，需使最大， ∵， ∴b最小为1， ∴ 解得， ∴a最大为2， ∴，此时W取得最大值， ∴A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为． 23．（12分）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 【答案】（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）先利用平方差公式对多项式逐步分解因式，再代入数值计算各因式的值，最后排序得到密码； （2）先对多项式提取公因式，结合密码的三个因式码分析x的可能取值，再通过因式分解与多项式展开对比系数求出p和q的值； （3）设里程数为x，根据题意列方程，利用因式分解转化为因数对问题，进而求出x的值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160． 故答案为：816160； （2）解：， ∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， ∴三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： ①当时，另外两个因式的值为25、26，即，， 则， 可知，； ②当时，另外两个因式的值为24、26，即，， 则， 可知，； ③当时，另外两个因式的值为24、25，即，， 则， 可知，； 综上所述，，或，或，； （3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且） 根据题意得（，为正整数，且） 将代入得 即 因式分解得 将91分解为正整数因数对：、， 当时， 解得， 此时里程数，符合题意； 当时， 解得， 此时里程数，不符合题意，舍去． 故此时汽车仪表盘上的里程数是． 24．（12分）【问题探究】 (1)如图1，在中，平分交于点，平分交于点，． ①若点是边的中点，，求的长； ②在①的条件下，求证：是等腰三角形； 【拓展应用】 (2)如图2、是某地的街心公园，其中，入口在边上，点在边上，步道将街心公园划分为不同的功能区，已知平分平分，且．现准备在区域再次进行功能区规划，在边上取点，使得，将区域规划为文化科普区，已知步道的总长（即）为米，求文化科普区的面积． 【答案】(1)①5；②见解析 (2) 【分析】（1）①由平行线的性质、角平分线的定义以及等量代换可得，由等角对等边可得，再结合线段中点的含义即可解答；②由平行线的性质、角平分线的定义、角的和差运用以及等量代换可得，进而说明，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）先说明、、，设，则，，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理列方程可求得，如图：过D作于G，利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理列方程可求得、，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴，． ∵点是边的中点，， ∴， ∴． ②∵， ∴，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴， 由①可知：， ∴， ∴，即． 由， ∴， 又∵， ∴． 由①可知：，即， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵， ∴． ∵平分交于点， ∴，， ∴． ∵平分交于点， ∴． ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：过D作于G， 在中，∠， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴文化科普区的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷 （北师大版•培优卷） 考试范围：测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，平分，于点E，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 4．如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．已知实数a，b满足，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 8．如图，是等腰直角三角形，，点是直线上一动点，连接，取的中点，作点关于直线的对称点，连接，若，当取得最大值时的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，为边上的中线，．E为边上的动点，F，G为上的动点，且的长为定值．连接，，当取最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④，⑤为等边三角形；⑥若，则，其中正确的结论个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若，则________． 12．如图，在 中，，，点是的中点，点是上的动点，连接，则的最小值为_____． 13．如图，在中，，将沿射线方向平移3个单位长度，得到，连接，则的长为__________． 14．已知实数x，y满足，则的最大值为____． 15．如图，是等腰三角形，，点D在边上，，，点P为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与的腰垂直时，则_________． 16．各数位数字均不为0且互不相等的四位正整数，若满足千位数字与百位数字之和为8，十位数字与个位数字之和为10，则称为巴适数．那么最小的巴适数为_____；将一个巴适数的千位数字与个位数字对调、百位数字与十位数字对调后的四位数记为，规定，若的值是一个完全平方数，完全平方数指的是能写成一个整数的平方的数，则满足条件的巴适数的最大值为_____． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，三角形的顶点都在方格纸的格点（小正方形的顶点）上．将三角形向左平移2格，再向上平移4格． (1)在图中画出平移后的三角形； 连接，，则，的位置关系和数量关系是：____________； 将三角形平移至三角形的最短路程是线段___________的长； (2)求三角形的面积； (3)在图中画出一个异于点的格点，使三角形的面积与三角形面积相等． 18．（6分）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，购买费用不超过3260元，请设计购买方案． 19．（8分）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)求图中阴影部分的面积． 20．（8分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设，则，比较系数得， 解得． 解法二：设，由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有因式和，求的值； (2)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 21．（10分）图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点、、和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形只有一组对角为直角； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 22．（10分）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． (1)若原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为__________个； (2)若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为__________． 23．（12分）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 24．（12分）【问题探究】 (1)如图1，在中，平分交于点，平分交于点，． ①若点是边的中点，，求的长； ②在①的条件下，求证：是等腰三角形； 【拓展应用】 (2)如图2、是某地的街心公园，其中，入口在边上，点在边上，步道将街心公园划分为不同的功能区，已知平分平分，且．现准备在区域再次进行功能区规划，在边上取点，使得，将区域规划为文化科普区，已知步道的总长（即）为米，求文化科普区的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $