精品解析：2026年福建泉州市泉港区初中学业质量检查 数学试题

2026年泉港区初中学业质量检查 数学试题 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，D是边上一点，连接，作关于的对称线段，连接并延长，交的延长线于点F，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（ ） A. 当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B. 当时， C. 若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D. 当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案写在答题卡相应的位置） 11. 计算：______． 12. 善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为_______cm． 13. 小王参加某公司招聘测试，他的笔试、面试、计算机操作分别得80分，85分，80分，若三项得分依次按照、、确定成绩，则小王的成绩是___________分． 14. 如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为_______度． 15. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，且反比例函数的图象经过点A，交边于点D，则点D的坐标为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明．推理过程或演算） 17. 解不等式组： 18. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 如图，在中，点在边上，． （1）实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 21. 传承爱国情怀，讴歌百年党史，某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制，80分及以上为优秀）进行整理．描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 25% 八年级 82 88 35% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有1400人参加此次竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是多少． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 方案？如何设计高架桥的限高及车道 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，抛物线跨度，顶点离地面，桥的两端点距离地面． 素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到） 问题解决： （1）确定模型：在图2中建立适当的坐标系，求得抛物线的函数表达式． （2）探究原计划限高：在图3中标注好数据，计算确定机动车道一的限高高度． 23. 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． （1）请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性； （2）已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 24. 鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动，图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆cm，cm，O、P两点间距与长度相等．当绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），此时点P到的距离为144cm． （1）直接判断与是否一定垂直： （填“是”或“不是”）； （2）求O、P两点间的距离； （3）当点P，O，A在同一直线上时，求点Q到的距离． 25. 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年泉港区初中学业质量检查 数学试题 （试卷满分：150分考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. “二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动所形成的知识体系，被誉为“中国的第五大发明”，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解： A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，，故A错误． B、，，故B错误． C、，，故C错误． D、 ，运算正确，故D正确． 5. 如图①是某相框支架的实物图，其示意图如图②所示，已知．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等得出，再根据邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：B． 6. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分享】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个红球，3个绿球，每个球被摸到的概率相同， ∴从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键． 7. 《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 8. 如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出度数和得出． 9. 如图，中，，D是边上一点，连接，作关于的对称线段，连接并延长，交的延长线于点F，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的性质得出，根据轴对称的性质得出，，设，求出，求出，根据，，得出． 【详解】解：∵，， ∴， 根据轴对称可知，，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 10. 某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（ ） A. 当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B. 当时， C. 若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D. 当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案写在答题卡相应的位置） 11. 计算：______． 【答案】0 【解析】 【详解】解：原式． 12. 善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 小王参加某公司招聘测试，他的笔试、面试、计算机操作分别得80分，85分，80分，若三项得分依次按照、、确定成绩，则小王的成绩是___________分． 【答案】81 【解析】 【分析】根据加权平均数的求法列式计算，即可得到答案． 【详解】解：小王的成绩为， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题关键． 14. 如图，是的切线，M是切点，连结．若，则的大小为_______度． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，根据切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【详解】解∶∵是的切线，是切点， ∴， ∴ 故答案为∶54． 15. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：11． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，且反比例函数的图象经过点A，交边于点D，则点D的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，设，利用三角函数求出点坐标，平行四边形的性质，求出点坐标，根据都在反比例函数图象上，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，， ∴，即：， ∵反比例函数的图象经过点A，交边于点D， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答时应写出必要的文字说明．推理过程或演算） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以该不等式组的解集是． 18. 如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 20. 如图，在中，点在边上，． （1）实践与操作：利用尺规作图，在边上找点E，使得；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】题目主要考查作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据相似三角形的判定作，即可满足题意； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点E即为所求； 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵，，， ∴． 解得． 答：的长为3． 21. 传承爱国情怀，讴歌百年党史，某校开展了“学党史，知党恩，跟党走”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（100分制，80分及以上为优秀）进行整理．描述和分析（成绩用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，84，85，90，95，98． 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数据是：80，82，84，86，86，90，94，98． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 82 100 25% 八年级 82 88 35% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“党史”掌握较好?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有1400人参加此次竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的学生人数是多少． 【答案】（1）82，100 （2）八年级，见解析 （3）910人 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数以及样本估计总体． （1）根据中位数、众数的定义进行解答即可； （2）根据中位数和满分率进行判断即可； （3）求出七、八年级学生竞赛成绩的优秀率即可求解． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 因此中位数是82分，即， 八年级学生竞赛成绩的中位数是88， 因此在88分以上的应有10人，可得100分的有（人）， 因此竞赛成绩的众数为100，即； 故答案为：82，100； 【小问2详解】 解：八年级学生对“党史”掌握较好． 理由如下：虽然七年级和八年级学生的平均分和众数相同，但是八年级学生的中位数和满分率都高于七年级，所以八年级学生对“党史”掌握较好； 【小问3详解】 解：七年级抽取的学生成绩优秀的人数为（人）， 八年级抽取的学生成绩优秀的人数为（人）， 则优秀率为， （人）， 答：参加此次活动成绩优秀的学生人数约为910人． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 方案？如何设计高架桥的限高及车道 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，抛物线跨度，顶点离地面，桥的两端点距离地面． 素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，每条机动车道宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到） 问题解决： （1）确定模型：在图2中建立适当的坐标系，求得抛物线的函数表达式． （2）探究原计划限高：在图3中标注好数据，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】（1） （2）机动车道一的限高高度为 【解析】 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【小问1详解】 解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 23. 在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左向右下降．我们可以证明这一性质的正确性． 我们知道，要比较两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论． 设一次函数，当自变量分别取，且时，对应的函数值分别为．它们的差为．由假设可知，，这样，我们就得到如下结论： （1）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而增大． （2）当时，，即，亦即．也就是说，随的增大而减小． 这就是一次函数的增减性． （1）请用上述材料中的方法，证明反比例函数的增减性； （2）已知反比例函数，点、都在该函数的图象上，且，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明：设反比例函数，分同一象限（即同号）的情况讨论： 取自变量，且，对应的函数值为，． ， 由，得； 又∵同号（同一象限）， ∴， ∴． 当时，， 即，． 结论：在每个象限内，随的增大而减小． 当时，， 即，． 结论：在每个象限内，随的增大而增大． （2）解：，理由： 已知反比例函数，其中． 由（1）的结论：当时，在每个象限内，随的增大而减小． 又， ∴，两点在第一象限（同一象限）， ∴． 【解析】 【分析】（1）设反比例函数，取自变量，，，同号，且，对应的函数值为，，按照和进行分类讨论，比较，的大小，即可求解； （2）反比例函数，，根据（1）所得结论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 鹿鸣学堂兴趣小组进行一次科学实验探究活动，图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆cm，cm，O、P两点间距与长度相等．当绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3），此时点P到的距离为144cm． （1）直接判断与是否一定垂直： （填“是”或“不是”）； （2）求O、P两点间的距离； （3）当点P，O，A在同一直线上时，求点Q到的距离． 【答案】（1）是 （2） （3）点到的距离为 【解析】 【分析】（1）根据cm，cm，得到点都在的中垂线上，进而得到点三点共线，再根据时，三点共线，即可得出结论； （2）延长交于点，过点作，证明，列出比例式进行求解即可； （3）过点作于点，设，则：，利用勾股定理求出的值，再求出的长，即可． 【小问1详解】 解：∵cm，cm， ∴点都在的中垂线上， ∴点三点共线， 当时，此时三点共线， ∴一定垂直于； 故答案为：是； 【小问2详解】 如图，延长交于点，过点作，则：，， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当点P，O，A在同一直线上时，如图，过点作于点， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查中垂线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，掌握相关知识点，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 25. 如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. （2）证明：∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明实际解题的关键． （1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而即可解题； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过点G作于点H，如图，先利用得到，，所以，，然后利用解直角三角形解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在中，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $