精品解析：福建省泉州台商投资区2025—2026学年第一学期学业水平质量监测 九年级数学

泉州台商投资区2025—2026学年第一学期学业水平质量监测 九年级数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息． 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．考生答题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根在实数范围内有意义的条件是被开方数非负，据此即可求得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2. 与能合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，涉及同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：， 根据同类二次根式的定义可知能与合并， 故选：D． 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 当时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D. 了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了概率的意义以及抽样调查的意义和事件的定义，正确把握相关性质是解题关键． 【详解】解：A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，说法正确，符合题意； B. “明天降雨的概率为”，表示明天有的可能降雨，原说法错误，不符合题意； C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，原说法错误，不符合题意； D. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，原说法错误，不符合题意； 故选A． 5. 已知，则分式=（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值、比例关系，根据比例关系设参数是解题的关键． 根据比例关系设参数，代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴设 ，，， ∴. 故选：C． 6. 若，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】已知等式左边配方后即可求出出m与n的值． 【详解】解：x2-6x+11=x2-6x+9+2=（x-3）2+2=（x-m）2+n， 得到m=3，n=2． 故选B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7. 在中，，，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 8. 如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8cm2，则△ADE的面积为( )． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得解． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC，DEBC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ==， ∵△ABC的面积为8cm2， ∴△ADE的面积为×8cm2=2cm2， 故选∶A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的性质和判定的应用，能得出△ADE∽△ABC是解此题的关键． 9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正切值为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形、网格中的三角函数，准确作出辅助线是解题的关键． 首先连接格点，根据得到，即可在中求得即为的正切值． 【详解】如图，连接格点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，中，，，．作出关于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ） A. 128 B. C. 64 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据中心对称的性质以及平行四边形的判定定理，得出四边形是平行四边形，继而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵中，，，． ∴,, ∴, ∵作出共于点A成中心对称的， ∴,， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键． 12. 现有维生素A，维生素，维生素C，维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查了用 概率公式计算事件概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据公式计算即可． 【详解】解：∵共有四种维生素， ∴恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为． 故答案为：． 13. 如图，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴, ∴， 故答案为： 14. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，分别是的中点，连接交于点F，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． 运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，结合题意得到，，，再证明，得到，，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，如图，连接， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 16. 抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关键． 根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可． 【详解】解：①抛物线经过点， ， ， 当时，， 该抛物线一定经过， 故此项正确； ②由①得：， ， ， ， ， ， ， 故此项正确； ③抛物线的对称轴为直线， ， 当时， ， 解得，或， 故此项错误． ④抛物线，对称轴为直线， 抛物线经过点，， ∵是方程的两个根，其中，， 所以两个根就是抛物线与直线交点的横坐标， ， ∴， 故此项正确， 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的化简．将特殊角三角函数值代入并计算即得答案． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 利用求根公式进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 19. 为进一步规范办学行为，促进教育公平，某校起始年级实行“阳光分班”，采取电脑随机分班，分班时对所有学生一视同仁．小林和小新两位同学被录取到该校读七年级，这所学校七年级有（1）班、（2）班、（3）班、（4）班共4个班． （1）小林分到（1）班的概率是_________； （2）请用列表或画树状图的方法求小林和小新两位同学分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A． （1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出小林和小新两位同学分到同一个班的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：小林分到（1）班的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中小林和小新两位同学分到同一个班的结果数为4种， 所以小林和小新两位同学分到同一个班的概率． 20. 如图，在中，． （1）在射线上，求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）用尺规作，根据两个角相等即可判定两个三角形相似； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， 即， ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，．且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，可知，代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵ ∵， ∴此方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别，， ∴， 又∵， ∴， 将代入方程，得， 解得． 22. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①；②50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：① ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 23. 在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：______，______； 发现结论：______（填“”或“”）； （2）如图，在中，，，，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______； （3）在中，为锐角，，，．求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，掌握三角函数的定义和解直角三角形是解题的关键． （1）根据特殊角的锐角三角函数值直接填空即可； （2）根据正切的定义，在中求的正切值即可； （3）过点作于点，在上截取，连接，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据角的正切值，设，则，得到，，再利用勾股定理列方程，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作于点，在上截取，连接， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 设，则， ，，， ， ， ，， 在中，， ， 整理得：， 解得：（舍），， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【小问1详解】 解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 25. 实践与探究 【问题情境】 （1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______； ②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】 （2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长． 【拓展应用】 （3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）2；（3） 【解析】 【分析】（1）①由得出，再由相似三角形的性质即可得解；②延长交于，令交于，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）延长，相交于点，连接．由矩形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质得出点为中点，由直角三角形的性质得出，当，三点共线时取得最小值，证明出为等边三角形，即可得解； （3）分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，证明，得出，再证明出四点共圆，得出，，解直角三角形得出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：（1）①， ， ， 故答案为：； ②如图，延长交于，令交于， 由①可得， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 所在直线较小夹角的度数为， 故答案为：； （2）延长，相交于点，连接． 四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴点为中点， ， ∵于点， ∴在中，， ∵在中，，且为定值， ∴当，三点共线时取得最小值， ∵， ∴，此时为等边三角形， ． （3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则， ，，，，为中点， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， ，， 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州台商投资区2025—2026学年第一学期学业水平质量监测 九年级数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人的准考证号、姓名等信息． 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．考生答题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 与能合并的二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件 B. “明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 D. 了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 5. 已知，则分式=（　　） A. B. C. D. 6. 若，则，的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 在中，，，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8cm2，则△ADE的面积为( )． A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正切值为（　　） A. B. C. 2 D. 10. 如图，中，，，．作出关于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ） A. 128 B. C. 64 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：＝______． 12. 现有维生素A，维生素，维生素C，维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为______． 13. 如图，，，，，则的长为______． 14. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为______．（结果保留根号） 15. 如图，在中，分别是的中点，连接交于点F，则______． 16. 抛物线（a，c是常数且，）经过点． 下列四个结论： ①该抛物线一定经过点； ②； ③若点，在该抛物线上，，则的取值范围为： ④若是方程的两个根，其中，则． 其中正确的是______．（填写序号） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 为进一步规范办学行为，促进教育公平，某校起始年级实行“阳光分班”，采取电脑随机分班，分班时对所有学生一视同仁．小林和小新两位同学被录取到该校读七年级，这所学校七年级有（1）班、（2）班、（3）班、（4）班共4个班． （1）小林分到（1）班的概率是_________； （2）请用列表或画树状图的方法求小林和小新两位同学分到同一个班的概率． 20. 如图，在中，． （1）在射线上，求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，．且，求m的值． 22. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 23. 在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：______，______； 发现结论：______（填“”或“”）； （2）如图，在中，，，，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形；于是延长至，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值，那么______； （3）在中，为锐角，，，．求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线交抛物线于点， ①如图1，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； ②如图2，点为抛物线上一点，连接交轴于点，若，求点的坐标 25. 实践与探究 【问题情境】 （1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______； ②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______． 【探究实践】 （2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长． 【拓展应用】 （3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $