精品解析：2026年福建省泉州市第五中学九年级 第一次质检数学试题

泉州五中2026届初三下学期适应性练习（一）数学试卷 （满分150分；考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：1、，是有理数，不符合题意，是无理数， 故选C． 2. 1750000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数． 【详解】解：将数据1750000用科学记数法表示为． 3. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个解， ，解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：与是同类项，合并同类项时字母和指数不变，系数相加， ∴，A计算错误； 选项B： 与指数不同，不是同类项，不能合并， ∴B计算错误； 选项C：根据同底数幂除法法则：底数不变，指数相减， ∵， ∴C计算错误； 选项D：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘， ∵， ∴D计算正确． 5. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】∵a2⩾0， ∴a2+1⩾1， ∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限． 故选B. 6. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ） A. 最大数据 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】分别求得各选项中的统计量，结合中位数的意义可作出选择． 【详解】解：这组数据的最大数据是19，众数是8，中位数是10，平均数为， 根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，说明大约有一半同学可以完成10道数学题，故其依据是统计数据中的中位数， 故选：C． 【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，理解它们的定义并会利用统计数据作决策是解答的关键． 7. 如图①所示的是中国古代的一种打击乐器编钟．小颖绘制编钟的正面示意图如图②所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形．则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 根据轴对称的性质可求得，垂直平分线段，，，无法判断的度数； 【详解】解：A、因为编钟是关于对称的轴对称图形，和为对应线段，所以，该选项不符合题意； B、，为对应点，所以直线垂直平分线段，该选项不符合题意； C、和是对应角，只能得到，无法判断的度数，该选项符合题意； D、因为和是对应角，所以，该选项不符合题意； 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算，即可得到答案． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ，即相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 9. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长公式算出重物上升高度即可． 【详解】解：由题意得，， 即重物上升了． 10. 如图，在平面直角坐标系网格中，点Q、R、S、T都在格点上，过点P(1,2)的抛物线y=ax2+2ax+c(a<0)可能还经过（ ） A. 点Q B. 点R C. 点S D. 点T 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线解析式先确定对称轴，再根据抛物线的对称性及二次函数的性质解答即可. 【详解】抛物线y=ax2+2ax+c的对称轴为：直线x=-1 ∵a<0 故抛物线开口向下 又∵抛物线过点P(1,2) ∴抛物线过点（-3,2） 故抛物线不过点Q、S、R，则抛物线可能还经过点T 故选 ：D 【点睛】本题考查的是抛物线的性质及图象，掌握抛物线的对称性是关键. 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. ________． 【答案】3 【解析】 【详解】 12. 将抛物线图象向________平移4单位长度得到抛物线的图象．（填“上”或“下”） 【答案】上 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移规律，结合原抛物线和平移后抛物线的解析式，判断平移方向． 【详解】解：已知原抛物线为，平移后抛物线为，解析式常数项加，符合向上平移的变化规律． 所以将抛物线图象向上平移4单位长度得到抛物线的图象． 13. 如图，的半径为5，AB为的弦，OC⊥AB于点C，若OC=3，则AB的长为________________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接OA，根据勾股定理可求AC，再根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：连接OA，则OA=5，OC=3，∠OCA=90°， ∴AC=4， ∴AB=2AC=8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，属于基础题目，熟练掌握该定理是解题的关键． 14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：20． 15. 已知关于x分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 16. 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先进行零次幂计算、根式化简、三角函数计算、负数次幂计算，最后进行混合运算即可． 【详解】解：原式 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组解集为， 把解集用数轴表示出来，如图： 20. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）25元 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式； （2）根据每周的利润＝每本的利润×每周的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． 故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． （2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 整理，得：x2﹣60x+875＝0， 解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）． 答：每本纪念册的销售单价是25元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式及利用利润＝每本的利润×每周的销售数量列一元二次方程． 21. 某商家销售一批盲盒，每一个看上去无差别的盲盒内含有A，B，C，D四种玩具中的一种，抽到玩具B的有关统计量如表所示： 抽盲盒总数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 130 273 414 566 695 843 频率 0.260 0.273 0.276 0.283 0.278 0.281 （1）估计从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是 　 　；（结果保留小数点后两位） （2）小明从分别装有A，B，C，D四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个，请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两个玩具恰为玩具A和玩具C的概率． 【答案】（1）0.28； （2） 【解析】 【分析】（1）由表中数据可判断频率在0.28左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率为0.28； （2）先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是0.28， 故答案为0.28． 【小问2详解】 列表为： A B C D A -- BA CA DA B AB -- CB DB C AC BC -- DC D AD BD CD -- 由上表可知，从四种玩具的四个盲盒中随机抽取两个共有12种等可能结果，其中恰为玩具A和玩具C的结果有2种，所以恰为玩具A和玩具C的概率P=． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率及用列表法或树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点． （1）求作：这个圆圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，的半径为 【解析】 【分析】（1）过点B作BP的垂线，作∠APB的平分线，二线的交点就是圆心； （2）根据切线的性质，利用勾股定理，建立一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 如图所示，点O即为所求 【小问2详解】 如图，∵PA是圆的切线，AO是半径，PB是圆的切线， ∴∠CAP=90°，PA=PB=3，∠CBO=90°， ∵AC=4， ∴PC==5，BC=5-3=2， 设圆的半径为x，则OC=4-x， ∴， 解得x=， 故圆的半径为． 【点睛】本题考查了垂线的画法，角的平分线的画法，切线的性质，切线长定理，勾股定理，一元一次方程的解法，熟练掌握切线的性质，切线长定理和勾股定理是解题的关键． 23. 已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 （1）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； （2）在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； （3）已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 【答案】（1） （2），函数图象见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧姆定律进行求解即可； （2）根据（1）所求的关系式代值计算，再画出对应的图形即可； （3）分别求出通过滑动变阻器的最大电流和最小电流，根据（1）所求关系求出对应的电阻即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，电压表的度数为， ∴由欧姆定律得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，，当时，， 函数图象如下所示； 【小问3详解】 解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵定值电阻的电压固定为， ∴电流的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 24. 如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点在轴正半轴上，且，求的长； （3）点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为． ① 点在轴右侧，且（点与点对应），求点的坐标； ② 若的半径为，求点的坐标． 【答案】（1）（2）3/2（3）①或②或 【解析】 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图像交轴于 ∴设该二次函数的解析式为： 又二次函数y=ax2+bx+c的图像交轴于 将代入，得 解得， ∴抛物线的解析式为，即 （2）设，则 在中， 由勾股定理，得 解得，，即 （3）① ∵，点与点对应 ∴ 情形1：如图，当在点下方时 ∵ ∴轴，∴ 点在二次函数图像上 ∴ 解得（舍去）或，∴ 情形2：如图，当在点上方时 ∵ 由（2）得，为直线与抛物线的另一交点 设直线的解析式为 把的坐标代入，得 解得，，∴ 由，解得，（舍去）或 此时，∴ ∴点的坐标为或 ②以为圆心的圆与直线相切，则点到直线的距离即为圆半径．因为同时也在抛物线上，因此利用平行线间距离处处相等的性质，先在轴上找到与直线距离为的点，过点作与直线平行的直线，根据平行直线的解析式中相等的性质确定直线解析式，再联立直线与抛物线解析式求得坐标． 在轴上取一点，过点作于点，使 ∵ ∴，∴ ∴，解得 ∴或 过点作，交抛物线于点 设直线的解析式为，将代入可得，，解得 ∴设直线的解析式为，将或代入可得， 或，解得或 则直线的解析式为或 当时，， ，方程无实数解 当时，， 解得 ∴点坐标为或 25. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）①，证明见解析；②，证明见解析 （2）11 【解析】 【分析】（1）①利用翻折的性质得：，，点A、D都在线段的垂直平分线上，即可得出结论； ②延长交于H，设，则，可求得，所以．再证明，得即可； （2）过点作交于点，交延长线于点，连接交于点，通过证明得到，，得到的长，再利用全等三角形判定得到，得出，最后利用面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）①，证明如下： 由翻折的性质得：，， 点A、D都在线段的垂直平分线上， ； ②，证明如下： 延长交于H，如图， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图，过点作交于点，交延长线于点，连接交于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 将绕着点E顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积为11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形应用三角函数，利用相似三角形的性质和勾股定理求线段长度是解题的关键，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026届初三下学期适应性练习（一）数学试卷 （满分150分；考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每题4分） 1. 下列实数中，是无理数是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 1750000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个解，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ） A. 最大数据 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 7. 如图①所示的是中国古代的一种打击乐器编钟．小颖绘制编钟的正面示意图如图②所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形．则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. 垂直平分 C. D. 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（ ） A B. C. D. 9. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系网格中，点Q、R、S、T都在格点上，过点P(1,2)的抛物线y=ax2+2ax+c(a<0)可能还经过（ ） A. 点Q B. 点R C. 点S D. 点T 二、填空题（共6小题，每题4分） 11. ________． 12. 将抛物线图象向________平移4单位长度得到抛物线的图象．（填“上”或“下”） 13. 如图，的半径为5，AB为的弦，OC⊥AB于点C，若OC=3，则AB的长为________________． 14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m． 15. 已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 16. 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为_____． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 解不等式组，并将解集用数轴表示出来． 20. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 21. 某商家销售一批盲盒，每一个看上去无差别的盲盒内含有A，B，C，D四种玩具中的一种，抽到玩具B的有关统计量如表所示： 抽盲盒总数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 130 273 414 566 695 843 频率 0.260 0.273 0.276 0.283 0.278 0.281 （1）估计从这批盲盒中任意抽取一个是玩具B的概率是 　 　；（结果保留小数点后两位） （2）小明从分别装有A，B，C，D四种玩具四个盲盒中随机抽取两个，请利用画树状图或列表的方法，求抽到的两个玩具恰为玩具A和玩具C的概率． 22. 如图，PA，PB是圆的切线，A，B为切点． （1）求作：这个圆的圆心O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，延长AO交射线PB于C点，若AC＝4，PA＝3，请补全图形，并求⊙O的半径． 23. 已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 （1）从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； （2）在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； （3）已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 24. 如图，二次函数的图像交轴于，交轴于，过画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）点在轴正半轴上，且，求的长； （3）点在二次函数图像上，以为圆心的圆与直线相切，切点为． ① 点在轴右侧，且（点与点对应），求点的坐标； ② 若的半径为，求点的坐标． 25. （1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $