精品解析：山东威海市乳山市银滩高级中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题

高二数学3月月考 一、单选题 1. 已知函数在处的导数，则（ ）． A. B. 1 C. D. 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（ ） A. 48 B. 96 C. 120 D. 240 4. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，其中．则下列说法正确的是（ ） A. 函数必有零点 B. 若，则的对称中心为 C. 若有两个极值点，则的取值范围是 D. 存在实数，使得在上单调递减 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 三、填空题 12. 若函数满足，则___________. 13. 已知过原点的直线与曲线相切，则直线的斜率为______． 14. 函数在时有极小值，那么的值为____. 四、解答题 15. 用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． （1）四位数共有多少个？ （2）偶数共有多少个？ （3）比2026大的数有多少个？ 16. 已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围． 17. 已知函数. （1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点； （2）讨论的单调性； （3）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求函数在上的最小值． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学3月月考 一、单选题 1. 已知函数在处的导数，则（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意由导数的定义即可得答案． 【详解】根据题意，函数在处的导数为， 而， 故选：D. 2. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 3. 4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为（ ） A. 48 B. 96 C. 120 D. 240 【答案】D 【解析】 【分析】相邻元素运用捆绑法解决即可. 【详解】第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即：. 故选：D. 4. “”是“函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在区间上恒成立，分离参数求出的范围，根据集合间的关系即可判断. 【详解】若函数在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，即在区间上恒成立. 时，,所以. 所以“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数 是定义在上的可导函数， 其导函数记为， 若对于任意实数， 有， 且， 则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导函数讨论其单调性，根据单调性解不等式. 【详解】令 ， 则， 因为，所以， 即为减函数， 又 ， 故， 则不等式 等价， 即， 解得， 故不等式的解集为． 故答案为: . 6. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 7. 设，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得，构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性即可得答案. 【详解】记，则， 当时，，单调递增， 又，且， 所以，即. 故选：A 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得. 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由常数导数为零解得即可；对于B，因为，所以，所以选项B错误；对于C、D，由复合函数求导法则可解出判断即可. 【详解】对于A，由，为常数，所以，故选项A正确； 对于B，由，为常数，所以，故选项B不正确； 对于C，由，根据复合函数求导法则，， 故选项C正确； 对于D，由，根据复合函数求导法则， ，故选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，其中．则下列说法正确的是（ ） A. 函数必有零点 B. 若，则的对称中心为 C. 若有两个极值点，则的取值范围是 D. 存在实数，使得在上单调递减 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导，可得导数为二次函数，结合二次函数的性质和零点存在定理可以判断A；根据函数平移的性质，结合和的平移关系可以判断B；将问题转化为导数有两个不等的零点，进而利用判别式求解可以判断C；将问题转化为导数小于等0恒成立，再结合二次函数性质求解可以判断D. 【详解】根据题意得，是开口向上的二次函数， 选项A：当时，时，由零点存在定理可知在上必有零点，故正确； 选项B：当时，得， 的对称中心为， 将向右平移1个单位，向上平移2个单位后得， 所以对称中心为，故正确； 选项C：若有两个极值点，则有两个不相等的实根， 所以判别式，解得，即 当时，恒成立，不存在两个极值点，故错误； 选项D：若在上单调递减，则对任意恒成立， 因为是开口向上的二次函数， 所以时，不能恒小于等于0，故错误. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 若函数有且仅有1个零点，则 B. 若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C. 不存在，使函数存在唯一的极值点 D. 若对恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用参变分离的思想，结合函数图象进行求解 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，则， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令， 函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点， 令得，显然0不是函数的零点， 当时，变形为，令， 则，令得，令得或， 故在上单调递减，在上单调递增， ，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确； 对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误； 对于D，，即，当时，满足要求， 当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 三、填空题 12. 若函数满足，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】对求导，利用赋值法求出即可. 【详解】 令，则 . 故答案为：. 13. 已知过原点的直线与曲线相切，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设出切点，然后求导，根据切线的斜率为切点处导数值即可得到结果. 【详解】由题意可得， 设该切线方程，且与相切于点， ，整理得， ∴， 故答案为：. 14. 函数在时有极小值，那么的值为____. 【答案】30或6 【解析】 【分析】由在时有极小值，可得，据此可得或，经验证后，可得答案. 【详解】，， 由题，又， 则 则或. 当，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则； 当，，， ， ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即在处取得极小值，满足题意，则. 故答案为：或. 四、解答题 15. 用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． （1）四位数共有多少个？ （2）偶数共有多少个？ （3）比2026大的数有多少个？ 【答案】（1）300 （2）156 （3）237 【解析】 【分析】（1）方法1：先排首位（不能为0），再排后面三位，利用分布乘法计数原理求解. 方法2：分组成的四位数有无数字0讨论，利用分类加法计数原理求解. （2）分个位数字是否为0进行讨论，利用分类加法计数原理求解. （3）分别求个位、十位、百位、千位比2024大的数可得答案. 【小问1详解】 方法一 先从1，2，5，6，7中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． 方法二 当四位数中不含数字0时，有种方法；当四位数中含数字0时，有种方法． 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． 【小问2详解】 根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）． 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）． 所以共有个偶数． 【小问3详解】 当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6，7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1，5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1，5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有（个）． 16. 已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线． （1）求函数的解析式； （2）设函数，若函数在R上有三个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算性质进行求解即可. （2）根据函数的零点的定义，结合导数的性质，利用构造函数法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 由题意可知：； 【小问2详解】 令， 设， 当或时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极大值是，极小值是， 且当时，，时，， 因为若函数在R上有三个不同零点， 故所求为. 17. 已知函数. （1）求证：当时，曲线与直线只有一个交点； （2）讨论的单调性； （3）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定的最值，可证明曲线与直线只有一个交点； （2）求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （3）由（2）中的结论可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数在上递增，在上递减，故， 所以曲线与直线只有一个交点. 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为； 当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【小问3详解】 由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）求函数在上的最小值． 【答案】（1）当时，，无极小值；当时，，；当时，无极值；当时，，； （2）时，；时，；时，. 【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论单调性，可得极值情况； （2）由（1）讨论在上的单调性，据此可得最值. 【小问1详解】 易得定义域为R. ①当， . ， 则在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值； ②当， . i若，，， 则在上单调递增，在上单调递减，此时，无极小值； ii若，令或. 当， 此时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时，； 当， 此时在R上单调递增，则无极值； 当， 此时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则此时，. 综上可得：当时，，无极小值； 当时，，； 当时，无极值； 当时，，； 【小问2详解】 由（1）分析可得，①当时，在上单调递减， 则； ②当时， i若，则在上单调递减， ； ii若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； ③当时，此时在上单调递增，此时； ④当时，此时在上单调递增，此时. 综上可得：时，； 时，； 时，. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （3）结合（2）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $