精品解析：甘肃省古浪三中2025-2026学年高一下学期第一次月考考试数学试卷

2025~2026学年度第二学期第一次月考 高 一 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第一册，必修第二册第1章至第2章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 在中，，则的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下列向量关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的中线，，以为基底表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 从小到大排列的一组数据：90，92，x，96，98，99，若这组数据的第40百分位数与平均数相同，则这组数据的方差为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若不是直角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 13. 已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 14. 已知平面向量相互之间的夹角都为，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 18. 如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. （1）当时，求向量和的夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 19. 如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，， （1）当时，求； （2）当四边形的面积取最大值时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第一次月考 高 一 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：湘教版必修第一册，必修第二册第1章至第2章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题，的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题，的否定为，， 故选：D. 2. 在中，，则的外接圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径. 故选：A 3. 下列向量关系式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念与线性运算法判断即可； 【详解】解：根据向量的概念可得A、B错误，对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 4. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以. 故选：C. 6. 已知是的中线，，以为基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的线性运算计算即可. 【详解】因为是的中线，所以， ． 故选：B. 7. 从小到大排列的一组数据：90，92，x，96，98，99，若这组数据的第40百分位数与平均数相同，则这组数据的方差为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数和平均数的定义计算，最后再利用方差公式计算. 【详解】共个数，因为，所以第40百分位数为， 平均数为， 则，得， 则这组数据的方差为. 故选：C 8. 已知函数，若函数有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为的图象有个不同的交点，数形结合即可求出. 【详解】因为函数有两个零点， 所以方程有两个实数根， 则的图象有个不同的交点， 函数的图象如图， 则，可得或， 则的取值范围是． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、D，利用作差法判断B，根据不等式的性质判断C. 【详解】对于A：令、、、，满足，， 但是，故A错误； 对于B：因为，，则，， 所以，则，故B正确； 对于C：因为，则，所以，故C正确； 对于D：若，则，故D错误. 故选：BC 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期是 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正切函数的最小正周期，可判断A；根据正切函数没有对称轴可判断B；采用代入验证的方法可判断C；根据正切函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，由于正切函数的最小正周期是， 故函数最小正周期是，A正确； 对于B，由于正切函数没有对称轴，故的图象也没有对称轴，B错误； 对于C，由于，故的图象关于点对称，C正确； 对于D，由于正切函数在上单调递增， 故对于函数，令， 则， 故在区间上单调递增，D正确， 故选：ACD 11. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则 C. 若，则是钝角三角形 D. 若不是直角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理及余弦定理判断A,B,C项，由两角和的正切公式判断D项． 【详解】因为，由正弦定理得 ，即，所以或， 即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A错误； 由正弦定理得，故B正确； 因为，由正弦定理得， 所以，所以，所以是钝角三角形，故C正确； 由不是直角三角形且，得，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的夹角坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知幂函数为偶函数，则函数恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和偶函数性质求出，结合对数函数恒过定点即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又是偶函数，所以， 所以函数恒过定点． 故答案为： 14. 已知平面向量相互之间的夹角都为，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据以及向量数量积运算律计算即可； 【详解】由，， 则 ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量． （1）求； （2）设向量的夹角为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 由可得，， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 已知． （1）若为锐角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）化简得，结合平方关系求出，再利用两角差的余弦公式，即可求得答案； （2）由（1）可得，化简为，利用齐次式法求值，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 因为锐角，，所以， 可得； 【小问2详解】 由得， 则 ． 17. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，化简已知条件，即可求得； （2）根据（1）中所求，结合三角形面积公式，求得，再利用余弦定理即可求得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 则，即， 又在中，由，故. 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以，得. 又由，有，则，可得， 由余弦定理得，则，可得. 18. 如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. （1）当时，求向量和的夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 19. 如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，， （1）当时，求； （2）当四边形的面积取最大值时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，结合诱导公式求得，最后由余弦定理即可求解； （2）结合（1）得，由结合面积公式表示出四边形的面积，再借助辅助角公式及正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，，由余弦定理得， 所以.因为，所以，由正弦定理得，即， 解得，因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以且， 所以，在中，由余弦定理得； 【小问2详解】 由（1）得， ，此时，，且，当时，四边形的面积最大， 即，此时，，所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $