第四单元公因数及公倍数解决问题高频常考易错题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

第四单元公因数及公倍数解决问题高频常考易错题专项训练 1．学校组织打扫卫生，一班来了48人，二班来了36人，如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？ 2．一张长方形的纸长40厘米，宽36厘米，如果要剪成若干个同样的正方形且没有剩余，剪出的正方形的边长最长是几厘米？最多可以剪多少个这样的正方形？ 3．五（1）班有42人，五（2）班有48人。如果分成人数相等的小组且没有剩余，每组最多几人？ 4．五年级和四年级要完成植树任务。五年级来了40人，四年级来了56人。如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，那么每个小组最多有多少人？分别可以分成几个小组？ 5．学校运动会筹备组采购了60瓶矿泉水和48块巧克力，准备分装成若干份“能量包”分给志愿者。每个“能量包”里的矿泉水瓶数和巧克力块数分别相同，并且没有剩余。这些物资最多可以装成多少份“能量包”？每份“能量包”里各有多少瓶矿泉水和多少块巧克力？ 6．为了迎接“五一”黄金周，某市决定在某路段重新安装路灯，每相邻两个路灯间的距离相等，且A、B、C三个点上各安装一盏路灯。你能设计一个最省钱的方案吗？ 7．学校门厅有一个长20分米，宽12分米的长方形宣传栏。如果把同学们用完全相同的正方形纸完成的书画作品，既不重叠、也无缝隙地正好贴满宣传栏，正方形纸的边长最大是几分米？这个宣传栏能贴满多少幅这样的正方形书画作品？ 8．健成艺术培训中心体操队有54人，舞蹈队有48人。现在要分别平均分组，刚好分完，体操队每组人数与舞蹈队每组人数要一样多。两队一共至少可以分成多少组？ 9．同学们去野餐，把56瓶橙汁和42瓶酸奶平均分给几个小组，正好分完。最多可能有几个小组？此时每个小组分得两种饮料各多少瓶？ 10．五（1）班有男生45人、女生36人，男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生各有几排？ 11．老师发奖品，买来33本笔记本和52支中性笔奖给“作业之星”，结果笔记本剩下1本，中性笔剩下4支，你知道被评为“作业之星”的同学最多有多少人吗？每人奖励笔记本和中性笔各多少？ 12．五六年级学生参加学校大扫除，五年级来了48人，六年级来了54人。如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，每组最多多少人？共有多少个小组？ 13．学校举行趣味运动会，五、六年级分别有48人和54人担任运动会志愿者。如果把两个年级的同学分别分成若干个小组，要使两个年级每个小组的人数相同，每组最多多少人？ 14．皮影戏是我国最古老的剧种之一，已有上千年的历史，被称为“东方魔术般的艺术”。皮影剧团的专业演员们走进小学，给孩子们带来精彩的非遗课程。孩子们组成方阵观看，每行站8人或每行站12人都正好没有剩余，至少有多少个孩子观看表演？ 15．张阿姨家的电话号码是个8位数，从前到后依次排列为：8的最大因数、5的最小倍数、最小的奇数、最小的合数、最小的质数、3的最小因数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数。张阿姨家的电话号码是多少？ 16．一筐草莓有若干个（不足50个），2个2个地数正好数完，3个3个地数余1个，5个5个地数余1个，这筐草莓最多能有多少个？ 17．一些练习本，分给8个小朋友，或者分给12个小朋友都余一本，这些练习本至少有多少本？ 18．合唱队有30多人，如果站7行，每行人数刚好同样多；如果站5行，每行人数也刚好同样多。合唱队有多少人？ 19．绿萝生命力强，好养活，还可以吸收空气中的二氧化碳、甲醛，使室内空气变得清新，是室内净化空气植物的首选。刘叔叔在一家新公司内的走廊一边每隔60厘米放一盆绿萝来净化空气（两端都放），一共放了31盆。后来又买了一些绿萝，准备改为每隔45厘米放一盆，除两端的绿萝外，还有多少盆绿萝不需要挪动位置？ 20．玉溪是聂耳的故乡，每年7月17日都会举行“同升国旗·同唱国歌”的活动来缅怀聂耳这位伟大的人民音乐家。学校组织同学们参与活动时，五年级报名人数若按12人一组或13人一组分组，都会剩余5人。那么五年级至少有多少人报名？ 21．某学校大一新生在进行了为期一个月的军训后，要进行列队展示，每班要求3人一排或5人一排都正好能站成整行，并且人数不超过50人，那么每班最多选多少人？ 22．城市公园是承载市民休闲活动的重要场所。周末，幸福小区居民到公园跳广场舞，有2人领舞，其他参加跳广场舞的居民无论排成每行6人还是每行8人，都刚好是整行。至少有多少人在跳广场舞？ 23．24小时自助图书馆是新型智慧图书馆，借还图书方便、高效。小林和小彤热爱读书，他们去同一个24小时自助图书馆借阅图书。小明每6天去一次，小红每8天去一次，如果6月5日他们在自助图书馆相遇，那么下一次他们在自助图书馆相遇是几月几日？ 24．幼儿园买了白色和灰色两种木板（如图）。 （1）白色木板的长度是灰色木板长度的几分之几？ （2）用同样的木板拼接（接头处忽略不计），要让白色木板和灰色木板一样长，至少要准备几根白色木板、几根灰色木板？ 25．材料题： 我国除了用公历纪年法外，在很多场合还采用干支纪年法表示年代。天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。将天干的10个汉字与地支的12个汉字循环对应排列成如下两列： 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸、甲、乙、丙、丁、戊 子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥、子、丑、寅 例如：公历2000年，干支纪年为庚辰年。那么公历2003年，干支纪年为（    ）年。 请你阅读下面的故事： 我国著名的数学家苏步青在1983年讲过一个学文史的也要学点数学的故事：“我有一个学生研究古典文学，送我好几本研究苏东坡的文集，我翻看了一篇《赤壁赋》。《赤壁赋》是苏东坡哪一年写的？书上印的是1080年，苏东坡生于1037年，活了66岁。《赤壁赋》开头几句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982年是干支纪年法的壬戌年。我一看苏东坡写《赤壁赋》的年代是1080年，就知道一定是错的。” 请说明苏步青是通过怎样的“神机妙算”得出这个结论的？并推算苏东坡是公历哪一年写的《赤壁赋》。 参考答案 1．12人 【分析】根据题意，每个小组的人数能同时分别被两个班的人数整除，也就是两个班人数的公因数，要使每组人数最多，就是求两个班人数的最大公因数。分解质因数法求最大公因数：先把两个数分解成质因数相乘的形式，再把它们共有的质因数相乘，结果就是最大公因数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（人） 答：每组最多有 12 人。 2．4厘米；90个 【分析】把一张长方形纸剪成同样的正方形且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数，求正方形的最长边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再用除法分别求出长、宽里各有几个最大公因数，最后相乘就是最多可以剪的个数。 【详解】40＝2×2×2×5 36＝2×2×3×3 40和36的最大公因数：2×2＝4 即正方形的边长最长是4厘米。 40÷4＝10（个） 36÷4＝9（个） 10×9＝90（个） 答：剪出的正方形的边长最长是4厘米，最多可以剪90个这样的正方形。 3．6人 【分析】要使两个班分成人数相等的小组且没有剩余，每组人数必须是42和48的公因数，要求每组最多几人，就是求42和48的最大公因数，通过分解质因数或列举法找出它们的最大公因数，即可得到每组最多的人数。 【详解】42＝2×3×7 48＝2×2×2×2×3 42和48的最大公因数是2×3＝6 答：每组最多6人。 4．8人；五年级可以分成5个小组，四年级可以分成7个小组 【分析】由题意可知，每个小组的人数既是五年级人数的因数，又是四年级人数的因数，求每小组的最多人数就是求40和56的最大公因数，据此求出40和56的最大公因数，即是每组的人数，最后用分别用四五年级的总人数除以每组的人数即可求出四五年级分得的组数。 【详解】因为40和56的最大公因数是8，所以每个小组最多有8人。 （组） （组） 答：每个小组最多有8人，五年级可以分成5个小组，四年级可以分成7个小组。 5．12份；5瓶；4块 【分析】求出矿泉水和巧克力数量的最大公因数（将60和48分解为质因数相乘的形式，取所有公有质因数的乘积，即为最大公因数），就是可以装成的“能量包”数量；分别用矿泉水和巧克力数量除以“能量包”数量就是每份“能量包”相应物品的数量。据此解答。 【详解】60＝2×2×3×5 48＝2×2×2×2×3 公有质因数相乘：2×2×3＝12 所以60和48的最大公因数是12，即最多能装成12份。 矿泉水：60÷12＝5（瓶） 巧克力：48÷12＝4（块） 答：这些物资最多可以装成12份“能量包”。每份“能量包”里有5瓶矿泉水，4块巧克力。 6．间隔20米，安装30盏路灯 【分析】要等距离安装最省钱的方案是安装路灯的数量最少，要使安装路灯的数量最少就要使间距最大，求出360和220的最大公因数就是最大的间距，用短除法求出，最少安装的盏数＝两段路的和÷间距＋1。 【详解】 360和220的最大公因数是2×2×5＝20 （360＋220）÷20＋1 ＝580÷20＋1 ＝29＋1 ＝30（盏） 答：最省钱的方案是间隔20米，安装30盏路灯。 【点睛】解题关键是要知道最省钱的方案是安装的路灯最少，此时间距就最大，再利用植树问题的解题方法进行解答。 7．4分米；15幅 【分析】根据题意，正方形纸的最大边长是20分米和12分米的最大公因数；将20和12先分别分解质因数，两个数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数；再分别用长、宽除以这个最大公因数，再把所得的商相乘即可解答。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 所以20和12的最大公因数是2×2＝4，正方形纸的边长最大是4分米； 20÷4×（12÷4） ＝5×3 ＝15（幅） 答：正方形纸的边长最大是4分米，这个宣传栏能贴满15幅这样的正方形书画作品。 8．17组 【分析】要分别平均分组，刚好分完，体操队每组人数与舞蹈队每组人数要一样多，求两队一共至少可以分成多少组，则每组的人数就是54与48的最大公因数，求出54和48的最大公因数，再分别用体操队和舞蹈队的人数除以每组的人数，再相加即可解答。 【详解】54与48的最大公因数是6，所以，每组6人。 54÷6＋48÷6 ＝9＋8 ＝17（组） 答：两队一共至少可以分成17组。 9．14个；橙汁4瓶；酸奶3瓶 【分析】由题意可知，小组的数量同时是橙汁数量和酸奶数量的因数，求最多有几个小组就是求56和42的最大公因数，计算出小组的数量，用橙汁的数量和酸奶的数量分别除以小组的数量，即可求出每个小组分得两种饮料的数量，据此解答。 【详解】56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数：2×7＝14 橙汁：56÷14＝4（瓶） 酸奶：42÷14＝3（瓶） 答：最多可能有14个小组，每个小组分得橙汁4瓶，酸奶3瓶。 10．9人；男生：5排；女生：4排 【分析】要使每排人数相同且最多，需找出男生和女生人数的最大公因数。两个数的最大公因数是两个数公有质因数的乘积；再分别用男、女生人数除以最大公因数得到排数。 【详解】45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 45和36的最大公因数是3×3＝9；每排最多有9人。 45÷9＝5（排） 36÷9＝4（排） 答：每排最多有9人，这时男生有5排，女生有4排。 11．16人；2本；3支 【分析】用33－1＝32本，求出笔记本发的本数；用52－4＝48支，求出中性笔发的支数；求被评为“作业之星”的同学最多的人数，就是求32和48的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出“作业之星”的同学的人数，再用发的笔记本的本数÷“作业之星”的同学的人数，求出每人奖励笔记本的本数；用发的中性笔的支数÷“作业之星”的同学的人数，求出每人奖励中性笔的支数，据此解答。 【详解】33－1＝32（本）     52－4＝48（支） 32＝2×2×2×2×2 48＝2×2×2×2×3 32和48的最大公因数是2×2×2×2＝16；被评为“作业之星”的同学最多有16人。 32÷16＝2（本）      48÷16＝3（支） 答：被评为“作业之星”的同学最多有16人。每人奖励笔记本2本，中性笔3支。 12．6人；17个 【分析】根据题意，把两个年级的学生48人、54人分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，那么每组最多的人数是48和54的最大公因数； 48和54分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即是每组最多的人数。再看48、54里面分别有几个这样的最大公因数，最后相加，求出共有小组的数量。 【详解】48＝2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 48和54的最大公因数：2×3＝6 即每组最多6人。 48÷6＝8（个） 54÷6＝9（个） 一共：8＋9＝17（个） 答：每组最多6人，共有17个小组。 13．6人 【分析】根据题意，要使两个年级每组人数相同且最多，那么每组最多的人数是48和54的最大公因数。把48和54分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，据此解答。 【详解】48＝2×2×2×2×3 54＝2×3×3×3 48和54的最大公因数是：2×3＝6 即每组最多6人。 答：每组最多6人。 14．24个 【分析】每行站8人或每行站12人都正好没有剩余，说明总人数是8和12的公倍数，求至少有多少个孩子就是求8和12的最小公倍数，用分解质因数的方法可求出最小公倍数。 【详解】8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最小公倍数为： 2×2×2×3＝24 答：至少有24个孩子观看表演。 15．85142191 【分析】一个数的最大公因数和最小公倍数都是它本身整数中，一个数的最小因数是1； 是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数, 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数； 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数, 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数； 最大的一位数是9； 0、1既不是质数也不是合数； 依次根据因数、倍数、奇数、合数、质数的定义，分别求出8位电话号码每一位对应的数字，再按从前到后的顺序组合成完整的8位数。 【详解】8的最大因数是8，5的最小倍数是5，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的质数是2，3的最小因数是1，最大的一位数是9，既不是质数也不是合数的非0自然数是1，则这个8位数是85142191。 答：张阿姨家的电话号码是85142191。 16．46个 【分析】因为2个2个地数正好数完，所以先确定草莓总数是2的倍数，即总数为偶数。因为3个3个地数余1个，5个5个地数余1个，所以可先求出3和5的公倍数，再给公倍数加1得到满足这两个条件的数。再筛选出小于50的偶数，找出其中最大的数。 【详解】3和5的最小公倍数是3×5＝15； 50以内的公倍数有：15、30、45，对应草莓总数可能是：15＋1＝16、30＋1＝31、45＋1＝46。 满足偶数的符合条件的数是16和46，要求最多，所以这筐草莓最多有46个。 答：这筐草莓最多能有46个。 17．25本 【分析】依据“最小公倍数”的概念：当练习本分给8个小朋友或12个小朋友都余1本时，说明练习本的数量减去余下的1本后，恰好能被8和12同时整除，即这个差值是8和12的公倍数，而要求“最少数量”，就需要先求8和12的最小公倍数。我们采用分解质因数法求最小公倍数，先将8分解为2×2×2，12分解为2×2×3，最小公倍数是2×2×2×3＝24，再将这个最小公倍数加上余下的1本，得到24＋1＝25本，因此这些练习本至少有25本。 【详解】8＝2×2×2，12＝2×2×3，8和12最小公倍数：2×2×2×3＝24； 练习本数量：24＋1＝25（本） 答：这些练习本至少有 25 本。 【点睛】本题的关键是将“余1本”的问题转化为求8和12的最小公倍数后加1，从而得出练习本至少有25本。 18．35人 【分析】根据合唱队的人数＝行数×每行的人数，如果站7行，每行人数刚好同样多，说明合唱队的人数是7的倍数；如果站5行，每行人数也刚好同样多，说明合唱队的人数是5的倍数，则说明合唱队的人数既是7的倍数又是5的倍数，并且合唱队有30多人，可得合唱队的人数有35人。据此解答。 【详解】7的倍数：7、14、21、28、35、42… 5的倍数：5、10、15、20、25、30、35、40… 符合即是7的倍数又是5的倍数，并且合唱队有30多人的数字是35，则合唱队有35人。 答：合唱队有35人。 19．9盆 【分析】这条走廊的长度＝（放绿萝的盆数－1）×间距＝1800厘米，然后用短除法求出60和45的最小公倍数是180，不需要挪动位置的绿萝盆数＝这条走廊的长度÷180－1盆。 【详解】（31－1）×60 ＝30×60 ＝1800（厘米） 60和45的最小公倍数是5×3×4×3＝180 1800÷180－1 ＝10－1 ＝9（盆） 答：还有9盆绿萝不需要挪动位置。 【点睛】掌握植树问题的解题方法是关键，首先要判断出是两端栽树、一端栽树或两端都不栽的情况。 20．161人 【分析】据题意可知五年级报名人数减去5后，能被12整除，也能被13整除，12和13两个数互质，则12和13的最小公倍数为12与13的积，用最小公倍数加5后即为五年级至少的报名人数。 【详解】12与13的最小公倍数：12×13＝156（人） 156＋5＝161（人） 答：五年级至少有161人报名。 21．45人 【分析】题目要求找出不超过50的最大人数，使得该人数同时能被3和5整除。这需要求3和5的公倍数中不超过50的最大值，先求出3和5的最小公倍数，再找出50以内3和5最大的公倍数即可解答。 【详解】3×5＝15 15×2＝30 15×3＝45 15×4＝60（不合题意） 15、30、45中的最大值是45，且小于50。 答：每班最多选45人。 22．26人 【分析】有2人领舞，其他参加跳广场舞的居民无论排成每行6人还是每行8人，都刚好是整行，说明总人数至少比6和8的最小公倍数多2，求出6和8的最小公倍数，加2即可。全部公有的质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3、8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24＋2＝26（人） 答：至少有26人在跳广场舞。 23．6月29日 【分析】根据题意，小明每6天去一次，小彤每8天去一次，那么他们在自助图书馆相遇的间隔天数就是6和8的公倍数；先求出6和8的最小公倍数，再加上第一次他们在自助图书馆相遇的日期，得出下一次他们在自助图书馆相遇的日期。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即每24天他们在自助图书馆相遇。 6月5日＋24天＝6月29日 答：下一次他们在自助图书馆相遇是6月29日。 24．（1）         （2）至少要准备5根白色木板；4根灰色木板 【分析】（1）求一个数占另一个数的几分之几用除法计算；分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除数，据此把商用分数表示，然后，根据分数的基本性质化成最简分数。 （2）由题意可知，拼接成的灰色木板或白色木板的长度同时是36和45的倍数，先求出拼接木板的最短长度，即求出36和45的最小公倍数，再用除法求出需要灰色木板或白色木板的数量，据此解答。 【详解】（1） 答：白色木板的长度是灰色木板长度的。 （2） 36和45的最小公倍数：3×3×4×5＝180 灰色木板：180÷45＝4（根） 白色木板：180÷36＝5（根） 答：至少要准备5根白色木板；4根灰色木板。 25．（1）癸未 （2）见详解 （3）1082年 【分析】（1）天干是10个一循环，地支是12个一循环。先计算从2000年到2003年经过了几年，然后天干和地支分别往后数几个即可。 （2）因为12与10的最小公倍数是60，所以干支纪年法每60年为一个循环，因为1982年壬戌年，而1982－1080＝902，而902显然不是60的倍数，所以1080年秋天不可能是“壬戌之秋’，所以苏步青一看苏轼（苏东坡）写《赤壁赋》的时间是1080年，就知道一定是错的； （3）因为1982－1082＝900是60的倍数，又1982年是壬戌年，所以1082年也是壬戌年，故1082年之前的壬戌年是1082－60＝1022，1082年之后的壬戌年是1082＋60＝1142，又苏轼（苏东坡）生于1037年，活了64岁，而1037＞ 1022，且1142＞ 1037＋64，所以可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测，苏东坡写《赤壁赋》的时间是1082年。 【详解】（1）从2000年到2003年经过了2003－2000＝3年；2000年是庚辰年，天干按顺序往后数3个：庚（第7个）、辛（第8个）、壬（第9个）、癸（第10个 ）；地支按顺序往后数3个：辰（第5个）、巳（第6个）、午（第7个）、未（第8个）；所以2003年干支纪年为癸未年； （2）理由如下： 因为12与10的最小公倍数是60，所以干支纪年法每60年为一个循环； 因为1982年壬戌年，而1982－1080＝902，902显然不是60的倍数，所以1080年秋天不可能是“壬戌之秋’； 所以苏步青一看苏轼（苏东坡）写《赤壁赋》的时间是1080年，就知道一定是错的。 （3）1982－1082＝900，900是60的倍数； 又1982年是壬戌年，所以1082年也是壬戌年； 故1082年之前的壬戌年是1082－60＝1022 1082年之后的壬戌年是1082＋60＝1142 又苏轼（苏东坡）生于1037年，活了64岁； 而1037＞1022，且1142＞1037＋64。 答：可由《赤壁赋》中的“壬戌之秋”推测，苏东坡写《赤壁赋》的时间是1082年。 【点睛】利用天干10个、地支12个的循环规律，从已知的2000年庚辰年按顺序推3年，确定2003年干支纪年；依据干支纪年60年一循环，通过计算1080年与1982年间隔年数除以60的余数，往前倒推干支，判断书中年份错误；由苏东坡出生年份和寿命算出最晚生存年份，再结合1982年干支，经计算间隔年数和倒推干支，确定《赤壁赋》写作年份。 学科网（北京）股份有限公司 $