精品解析：湖北省孝感高级中学2026届高三下学期3月测试数学试题（错题重做）3.8

孝感高中2026届高三年级 数学试题（错题重做） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 3. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 若正整数a，b满足等式，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2022 D. 2023 5. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ） A. 174 B. 672 C. 1494 D. 5904 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为12 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ） A. 若点O为△ABC的重心，则 B. 若点O为△ABC的外心，则 C. 若点O为△ABC的垂心，则 D. 若点O为△ABC的内心，且，则 11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 13. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 14. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为锐角三个内角的对边，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的取值范围. 16. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，点D，E，F分别为AC，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面BDE所成角的正弦值. 17. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 18. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 19. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2026届高三年级 数学试题（错题重做） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 2. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 3. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 4. 若正整数a，b满足等式，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2022 D. 2023 【答案】D 【解析】 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 5. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式，可得函数的单调性与对称性，化简不等式，可得答案. 【详解】由， 则， 由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减， 由，则，即， 可得，分解因式可得，解得. 故选：A. 6. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 7. 已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ） A. 174 B. 672 C. 1494 D. 5904 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，由此求出数列的通项，进而求得数列的通项，再利用分组求和方法即可计算作答. 【详解】在数列中，，当时，， 于是得数列是常数列，则，即， 因，，则， 因此，，，显然数列是等差数列， 于是得， 所以数列前36项和为672. 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率. 【详解】设双曲线的左焦点、右焦点， 设双曲线的一条渐近线方程为：， 可得直线的方程为：， 由可得： ，即， 设，， 可得， 即，整理可得：， 即， 由双曲线的定义可得：， 所以， 设直线的倾斜角为，在中，， ，，所以， 所以， 所以，整理可得：， 解得：或（舍）， 所以双曲线的离心率为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为12 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】借助基本不等式计算可得A、B、D，消元后构造函数，借助导数研究单调性后可得C. 【详解】选项A，由，，，则，∴， 当，时取“＝”，故的最大值为，A正确； 选项B，， 若用基本不等式，，取不到等号，B错误； 选项C，令，， 由在上单调递减，且当时，， 则当，，函数单调递增，当，，函数单调递减， 所以当，有最大值，C正确； 选项D， ， 当且仅当，即时取等号，所以D错误， 故选：AC． 10. 在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，下列说法中正确的有（ ） A. 若点O为△ABC的重心，则 B. 若点O为△ABC的外心，则 C. 若点O为△ABC的垂心，则 D. 若点O为△ABC的内心，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据重心性质和向量的平行四边形法则来判断；B选项，根据外心性质和向量的数量积运算法则求解即可；C选项，根据垂心性质和向量的数量积运算法则求解即可；D选项，根据三角形内心的性质及向量三点共线求系数和即可. 【详解】A选项，如图1，设BC中点为D，则，由于点O为△ABC的重心，则，所以，A选项正确； B选项，如图2，设AB中点为E，由于点O为△ABC的外心,则垂直，，B选项错误； C选项，如图3，作，垂足为，则在上，在△ABC中由余弦定理可得，在直角△ACF中，， 所以，C选项正确； D选项，如图4，设△ABC的内切圆半径为，由可得， 则，， 由，且为三角形内角，可得，， 则， 延长交于点， 则即， 则，则， 由于B、C、G三点共线，则，，D选项正确； 故选：ACD. 11. 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由题设结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数和即可依次分析判断ABC，由题设依次求出即可判断D. 【详解】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是求出函数和是周期为6的函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”.已知集合，则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有_____个. 【答案】15 【解析】 【分析】 由新定义可得集合的子集中，、、、一定成组出现，再由子集的概念即可得解. 【详解】由题意，集合的子集中，、、、一定成组出现， 当集合的子集中只有1个元素时，即为，共1个； 当集合的子集中有2个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有3个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有4个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有5个元素时，即为，共3个； 当集合的子集中有6个元素时，即为，共1个. 当集合的子集中有7个元素时，即为，共1个. 则集合所有子集中，是“8和集合”的集合有15个. 故答案为：15. 13. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 14. 在如图的平面图形中，已知，，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量减法、数乘运算进行转化，结合向量数量积的运算求得所求表达式的值. 【详解】 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为锐角三个内角的对边，满足. （1）求角的大小； （2）若的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简可得,结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式化简得，由正弦定理可得,化简后结合的范围即可求解. 【小问1详解】 , 由正弦定理得：， 因为在中， 所以， 又因为，可得，即， 又因为在锐角中, 可得； 【小问2详解】 因为，可得， 由正弦定理得， 又， 所以， 在锐角中 所以, ， ， 所以的取值范围为 16. 如图，三棱柱的所有棱长均为2，点D，E，F分别为AC，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面BDE所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 如图，取的中点G，连接FG，，DG，， 由中位线性质可得，，所以， 因为平面，平面， 所以平面，易得，， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2）证明如下： 由点D为AC的中点，且是边长为2的正三角形， 可得，且，由，，， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理得， 所以，故， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）借助中位线性质与线面平行的性质定理与判定定理推导即可得； （2）借助余弦定理与勾股定理逆定理可得，再利用面面垂直判定定理推导即可得； （3）建立适当空间直角坐标系后借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知直线，，两两垂直， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得，， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 17. 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个黑球和2个红球， 取球结果 2个红球 2个黑球 红､黑球各1个 奖金 300元 200元 100元 （1）消费每满2000元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取2个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足2000元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是3个黑球和2个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取1个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止.设“第个抽幸运奖顾客获得第1份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第2份幸运礼品”记为事件. （i）求和； （ii）求第位抽幸运奖顾客恰好获得第2份幸运礼品的概率. 【答案】（1）150元 （2）（i），；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求出各可能取值的概率，利用期望公式计算可得； （2）（i）利用独立事件的概率乘法公式和条件概率公式求解可得；（ii）根据相互独立事件的概率乘法公式求出，然后利用全概率公式，结合等比数列求和公式可得. 【小问1详解】 设一次抽奖的中奖金额为，则所有的可能取值为. . 则的分布列为 100 200 300 P 故（元）. 【小问2详解】 （i）， ， 因为， 所以 （ii）第个顾客获得第1份幸运礼品，第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 因为， 所以第个顾客获得第2份幸运礼品的概率为： ， 所以第个抽幸运奖顾客获得第二份幸运礼品的概率为. 18. 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． （1）求C的方程； （2）设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解； （2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 [方法一]：【最优解】直线方程横截式 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则，设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得， ，所以， 所以直线. [方法二]：直线方程点斜式 由题可知，直线MN的斜率存在. 设,直线 由 得：，,同理，. 直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，. 代入抛物线方程可得:,所以，同理可得， 由斜率公式可得： （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以，所以直线. [方法三]：三点共线 设， 设,若 P、M、N三点共线，由 所以，化简得， 反之，若,可得MN过定点 因此，由M、N、F三点共线，得， 由M、D、A三点共线，得， 由N、D、B三点共线，得， 则，AB过定点（4,0） （下同方法一）若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，所以直线. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法； 法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一； 法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法． 19. 已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【小问1详解】 设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $