精品解析：2026年甘肃兰州市九年级模拟考试(一模)数学试题

2026年兰州市九年级模拟考试 数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、作为号等个人信息填（涂）号在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 2. 以下图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，这条直线即为对称轴．据此逐一核对选项中图形是否存在这样的直线，进而确定正确答案． 【详解】解：：沿任意直线折叠后，两侧图形无法完全重合，不是轴对称图形； ：存在竖直的对称轴，沿该直线折叠后，直线两侧的图形能完全重合，是轴对称图形，符合题意； ：无对称轴，折叠后两侧图形无法重合，不是轴对称图形； ：无对称轴，折叠后两侧图形无法重合，不是轴对称图形． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 4. 已知一元二次方程，则此方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，利用根的判别式的值与0的大小关系，即可判断根的情况． 【详解】解：原方程已是一元二次方程的一般形式， ∵ ， ∴ ， ∴ 原方程有两个不相等的实数根． 5. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行的判定定理，结合已知，分析得出需满足的角度关系，从而确定两条钢轨平行的条件． 【详解】解：根据平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行， ， 只需要确保，此时， 两条钢轨平行． 6. 如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（ ） A. 线段与的交点 B. 线段的中点 C. 线段的中点 D. 四边形草坪内任意一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短和三角形三边关系，解题的关键是将四条线段分成两组，分别利用共线取等号求最小值．先分析最小时的位置，再分析最小时的位置，取两者公共点． 【详解】解：(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 同理(当在线段上时取等号)， 当在线段上时，取最小值， 要使取最小值，需同时满足上述两个条件， 必须在线段上，且同时在线段上， 是线段与的交点， 故选：A． 7. 铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（ ） A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 8. 在一定范围内，固定质量的酒精的体积（单位：）可近似地看作温度（单位：）的一次函数，其图象如图所示，则与之间的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，由待定系数法列方程组求解即可． 【详解】解：由图可知，一次函数表达式为， 将、代入表达式得， 解得， 与之间的表达式为． 9. 某店铺展开了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（ ） A. 调查总人数为1000人 B. 评分为2分的人数最少 C. 评分的众数为4分 D. 大多数顾客对店铺的服务不满意 【答案】A 【解析】 【详解】解：人， A、调查总人数为1000人，说法正确，该选项符合题意； B、评分为1分的人数最少，原说法错误，该选项不符合题意； C、评分的众数为5分，原说法错误，该选项不符合题意； D、大多数顾客对店铺的服务比较满意，原说法错误，该选项不符合题意． 10. 今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢，有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢，问：燕、雀各几何（《选自《张丘建算经》）古时，1斤等于16两，1两等于24铢，则题目大意为：1只雀重33铢，1只燕重29铢，雀和燕一共有25只，共重781株，燕、雀各有多少只？设雀有只，燕有只，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，依次列出方程即可得到正确方程组． 【详解】设雀有只，燕有只， ∵雀和燕一共有只， ∴可得第一个方程：， ∵只雀重铢，只燕重铢，总重量为铢， ∴只雀的总重量为，只燕的总重量为，可得第二个方程：， 因此所列方程组为，对应选项A． 11. 如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（ ） A. 均为一次函数 B. 均为二次函数 C. 一次函数，二次函数 D. 二次函数，一次函数 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，如图，延长交于点G，可得四边形为矩形，再由，可得，，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， 如图，延长交于点G， 在正方形中，， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ， ∵a为定值， ∴与，与的函数关系分别是二次函数，一次函数． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，为的中线，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由等腰三角形三线合一性质得到，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，为的中线， ∴， 在中，，，， ∴． 14. 位于兰州黄河风情线上的某摩天轮（图1），可近似地看成一个圆（图2），其半径为44米，36个全景透明轿厢平均分布在摩天轮上，小明和小亮周末乘坐该摩天轮时分别坐在了处和处的轿厢，则的长为________________米（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【详解】解：， ∴圆心角， ∵半径米， ∴． 15. 研究发现，生物的性状是由基因决定的，如豌豆豆荚的性状（饱满或褶皱）是由一对等位基因和决定的，这对基因一个来自父本，一个来自母本，当基因组成为时豌豆豆荚的性状是褶皱；其余基因组成时豌豆豆荚的性状是饱满，假设父本与母本的基因组成都是，它们的两个等位基因和会等可能地遗传给其子代，则子代的豆荚性状是褶皱的概率是______________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先列举出父本与母本遗传基因的所有等可能结果，再确定子代基因组成为，即豆荚性状为褶皱的结果数量，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，父本可遗传的基因为和，母本可遗传的基因为和，列举所有等可能的基因组合如下：，，，，共有种等可能的结果，其中子代豆荚性状为褶皱，即基因组成为的结果有种， ∴子代豆荚性状是褶皱的概率为． 三、解答题（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：由①可得， 由②可得， 原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【详解】解： 当，时，． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）将点分别代入，求出，的值即可得出答案； （2）确定得，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图像交轴于点， 当时，得， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴， 即的面积为． 20. 数学实践小组在研学时提出问题：山上信号塔的高度约为多少米？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 山上信号塔的高度约为多少米？ 工具 皮尺、测倾器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（图2），小组成员首先在山脚平地上的处测得，再往信号塔方向前进至山脚平地上的处，测得，在处测得，，于点． 根据上述信息，请你帮助实践小组解答下列问题： （1）求信号塔顶到山脚平地的距离（结果精确到）； （2）求信号塔的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1）信号塔顶到山脚平地的距离约为 （2）信号塔的高度约为 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用解直角三角形求出，，再由，列出方程，即可求解； （2）在中，利用，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ， ， 解得， 信号塔顶到山脚平地的距离约为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 在中，， ， ， 即信号塔的高度约为． 21. 某学习小组的研究性学习报告的部分内容如下，请认真阅读，完成相应问题． 主题 设计几何图形复刻仪的研究报告 设计 思路 几何图形复刻仪由共端点的两根伸缩杆（，）和两支笔（点，）构成，在复刻过程中，伸缩杆始终保持相同长度（），通过调整夹角（）的大小来控制复刻后图形的位置． 具体 实例 如图1，小明利用复刻仪复刻等边三角形的过程如下：使复刻仪的定点与顶点重合，调整，笔（点）从运动时，另一支笔（点）随之运动，从而将等边三角形复刻到的位置，小明在复刻过程中发现，当点从运动时，总有与全等． 根据以上信息，解决下列问题： （1）如图1，小明利用几何知识证明的过程如下： 为等边三角形， ， ． ① 由设计思路可知，② （③） 请写出①②③处空缺的内容：①___________，②___________，③___________； （2）如图2，小明将复刻仪的定点与顶点重合，调整夹角，可对进行复刻，他进一步思考发现，利用尺规作图的相关知识也能得到相同的复刻结果，请你用无刻度的直尺和圆规将图中的点复刻至上方的点处．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①，②，③ （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）作射线，使，再在上取点，使，则点为所求． 【小问1详解】 证明：为等边三角形， ， ． ， 由设计思路可知，， ； 【小问2详解】 解：如图，点为所求： ． 22. 研究发现：人类繁衍无数代，但总体看来，成年人的身高并没有发生太大变化，基本稳定在一定范围内（不考虑人种差异），为此，研究小组随机选取某地区的16对父子的身高进行研究，将所得数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下： 信息一：16对父子的身高． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 父亲身高/cm 160 174 170 173 169 182 172 180 儿子身高/cm 163 176 176 170 170 181 176 178 编号 ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ 父亲身高/cm 172 168 166 182 173 164 180 176 儿子身高/cm 174 170 168 178 172 165 182 177 信息二：16对父子身高的条形图，将父亲与儿子的身高都分成5组：A（），B（），C（），D（），E（）． 信息三：16对父子身高的散点图，为研究儿子身高（cm）与父亲身高（cm）之间的相关关系，利用统计软件画出散点图，发现散点大致分布在直线附近，直线的关系式近似为． 根据以上信息，解决下列问题： （1）父亲身高的中位数落在___________组；（填组别字母） （2）下列结论正确的是____________；（只填序号） ①16对父子的身高差都小于5cm； ②由信息三可知，若父亲身高为186cm时，他儿子的身高很可能在184cm左右． （3）若该地区有4000对父子，估计其中父子身高都在范围的有多少对？ 【答案】（1）C； （2）②； （3）500． 【解析】 【分析】本题考查中位数、一次函数和用样本估计总体． （1）利用中位数定义推测即可； （2）根据表格信息和一次函数解析式即可判断； （3）用总体乘以样本中满足范围的比例即可． 【小问1详解】 解：一共16人，按顺序排列后中位数取第8人和第9个人的平均数，第8人和第9人均在C组， 所以中位数在C组； 【小问2详解】 由表格信息得，第③组父子身高差为， 所以①错误； 由信息三可知，儿子身高（cm）与父亲身高（cm）之间的相关关系为， 当时，， 所以②正确； 【小问3详解】 由题意可知，16对父子身高都在范围的有2对 ， 该地区父子身高都在范围的有（对） 23. 如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）3． 【解析】 【分析】（1）证明即，即可得到是的切线； （2）连接，利用角平分线的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， 是半径，， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 四边形内接于，， ， ， 平分， ， ， 在中，． 24. 在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形探究与轴对称有关的几何问题．如图，在正方形中，点是线段上的一点，将沿折叠，使点落在点处，得到后再展平，连接并延长交于点． （1）【初步探究】如图1，小刚发现，请说明理由； （2）【深入探究】如图2，连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查正方形的折叠问题和全等三角形的性质和判定． （1）由折叠和正方形性质得，利用证全等即可； （2）由得，根据轴对称的性质得，推出，利用证明，得，再由折叠可得，所以，即可推出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ， 由折叠可得：，， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得， ， 四边形是正方形， ，， ， 根据轴对称的性质得：， ， ， 在和中，，，， ， ， 由折叠可得：， ， ． 25. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式，求出即可； （2）①利用配方法得到顶点，再列式求解即可； ②根据题意可得，利用二次函数的对称性得到，再代入计算即可证明． 【小问1详解】 证明：二次函数的图象经过点， ， ； 【小问2详解】 ①解：， ， 该二次函数的最小值为， ，且， 解得，（舍去）， 该二次函数的表达式为； ②证明：点在二次函数的图象上， ，， ， ， ， 由题意可知，点，关于直线对称， ，， ． 26. 综合与实践 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于平面内一点和另一点，在图形上存在点，使得（为常数，）且于点，则称点为图形关于点的“定积垂旋点”，点称为垂旋中心． （1）【感知定义】如图1，已知图形：线段，，，若点为图形关于点的“3定积垂旋点”，其中为垂旋中心，请写出一个满足要求的点坐标____________； （2）【类比探究】如图2，已知图形：半径为的，若直线上存在点为图形关于点的“4定积垂旋点”，其中为垂旋中心，求的取值范围； （3）【应用迁移】如图3，为垂旋中心，点为图形关于点的“6定积垂旋点”，点是图形上的一点，请解决以下问题： ①求的最大值； ②请直接写出取得最大值时的值． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3）①4；②或1 【解析】 【分析】（1）根据“k定积垂旋点”的定义解答即可； （2）根据“k定积垂旋点”的定义，可得，则，再分别求出两当直线与该圆相切于点时，当直线与该圆相切于点时，b的值，即可求解； （3）①当图形在轴上方时，如图3所示，过点作轴，过点作，交于点，连接，，根据“k定积垂旋点”的定义，可得，从而得到，再结合，可得图形是以为直径的（点除外）取的中点，连接，，根据三角形两边之和大于第三边，可得当点在的延长线上时最大，即可解得；当图形在轴下方时，如图5所示．过点作轴，过点作，交于点，连接，，同理可解得；②根据①分两种情况，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【小问1详解】 解：当点Q与点A重合时， 由题意得，， 点为图形关于点的“3定积垂旋点”，为垂旋中心， ，， ∴， ；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：如图2，在图形上任取一点记为点， 由题意得，， 点为图形关于点的“4定积垂旋点”，为垂旋中心， ， ， 满足“4定积垂旋点”的点一定在以为圆心，为半径的圆上． 直线上存在点， 直线与以为圆心，为半径的圆存在公共点， ∵点为图形关于点的“4定积垂旋点”． 当直线与该圆相切于点时， 直线， ． 由题意得：， ， ， 同理当直线与该圆相切于点时，，， 综上所述，； 【小问3详解】 解：①情况一：当图形在轴上方时，如图3所示，过点作轴，过点作，交于点，连接，， 点为图形关于点的“6定积垂旋点”，为垂旋中心， ，， ， ， ， ． ， ， 图形是以为直径的（点除外）, 取的中点，连接，， （三角形两边之和大于第三边） 当点在的延长线上时最大，如图4所示， ， ， ． ； 情况二：当图形在轴下方时，如图5所示．过点作轴，过点作，交于点，连接，． 同理，图形是以为直径的（点除外），取的中点，连接，，当点在的延长线上时最大（如图5所示） 同理可得， 综上所述，的最大值为4； ②情况一：当图形在轴上方时，过点Q作轴于点H，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； 当图形在轴下方时，过点Q作轴于点K，则， 同理解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即； 综上所述，或1 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年兰州市九年级模拟考试 数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、作为号等个人信息填（涂）号在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D. 2. 以下图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程，则此方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断根的情况 5. 在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的．如图，已知，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形草坪内选取一点修建凉亭，并用小路将其与，，，四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点一定在（ ） A. 线段与的交点 B. 线段的中点 C. 线段的中点 D. 四边形草坪内任意一点 7. 铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（ ） A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m 8. 在一定范围内，固定质量的酒精的体积（单位：）可近似地看作温度（单位：）的一次函数，其图象如图所示，则与之间的表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 某店铺展开了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（ ） A. 调查总人数为1000人 B. 评分为2分的人数最少 C. 评分的众数为4分 D. 大多数顾客对店铺的服务不满意 10. 今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢，有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢，问：燕、雀各几何（《选自《张丘建算经》）古时，1斤等于16两，1两等于24铢，则题目大意为：1只雀重33铢，1只燕重29铢，雀和燕一共有25只，共重781株，燕、雀各有多少只？设雀有只，燕有只，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（ ） A. 均为一次函数 B. 均为二次函数 C. 一次函数，二次函数 D. 二次函数，一次函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 因式分解：______． 13. 如图，在中，，，为的中线，则____________． 14. 位于兰州黄河风情线上的某摩天轮（图1），可近似地看成一个圆（图2），其半径为44米，36个全景透明轿厢平均分布在摩天轮上，小明和小亮周末乘坐该摩天轮时分别坐在了处和处的轿厢，则的长为________________米（结果保留） 15. 研究发现，生物的性状是由基因决定的，如豌豆豆荚的性状（饱满或褶皱）是由一对等位基因和决定的，这对基因一个来自父本，一个来自母本，当基因组成为时豌豆豆荚的性状是褶皱；其余基因组成时豌豆豆荚的性状是饱满，假设父本与母本的基因组成都是，它们的两个等位基因和会等可能地遗传给其子代，则子代的豆荚性状是褶皱的概率是______________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 20. 数学实践小组在研学时提出问题：山上信号塔的高度约为多少米？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 山上信号塔的高度约为多少米？ 工具 皮尺、测倾器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（图2），小组成员首先在山脚平地上的处测得，再往信号塔方向前进至山脚平地上的处，测得，在处测得，，于点． 根据上述信息，请你帮助实践小组解答下列问题： （1）求信号塔顶到山脚平地的距离（结果精确到）； （2）求信号塔的高度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 21. 某学习小组的研究性学习报告的部分内容如下，请认真阅读，完成相应问题． 主题 设计几何图形复刻仪的研究报告 设计 思路 几何图形复刻仪由共端点的两根伸缩杆（，）和两支笔（点，）构成，在复刻过程中，伸缩杆始终保持相同长度（），通过调整夹角（）的大小来控制复刻后图形的位置． 具体 实例 如图1，小明利用复刻仪复刻等边三角形的过程如下：使复刻仪的定点与顶点重合，调整，笔（点）从运动时，另一支笔（点）随之运动，从而将等边三角形复刻到的位置，小明在复刻过程中发现，当点从运动时，总有与全等． 根据以上信息，解决下列问题： （1）如图1，小明利用几何知识证明的过程如下： 为等边三角形， ， ． ① 由设计思路可知，② （③） 请写出①②③处空缺的内容：①___________，②___________，③___________； （2）如图2，小明将复刻仪的定点与顶点重合，调整夹角，可对进行复刻，他进一步思考发现，利用尺规作图的相关知识也能得到相同的复刻结果，请你用无刻度的直尺和圆规将图中的点复刻至上方的点处．（不写作法，保留作图痕迹） 22. 研究发现：人类繁衍无数代，但总体看来，成年人的身高并没有发生太大变化，基本稳定在一定范围内（不考虑人种差异），为此，研究小组随机选取某地区的16对父子的身高进行研究，将所得数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下： 信息一：16对父子的身高． 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 父亲身高/cm 160 174 170 173 169 182 172 180 儿子身高/cm 163 176 176 170 170 181 176 178 编号 ⑨ ⑩ ⑪ ⑫ ⑬ ⑭ ⑮ ⑯ 父亲身高/cm 172 168 166 182 173 164 180 176 儿子身高/cm 174 170 168 178 172 165 182 177 信息二：16对父子身高的条形图，将父亲与儿子的身高都分成5组：A（），B（），C（），D（），E（）． 信息三：16对父子身高的散点图，为研究儿子身高（cm）与父亲身高（cm）之间的相关关系，利用统计软件画出散点图，发现散点大致分布在直线附近，直线的关系式近似为． 根据以上信息，解决下列问题： （1）父亲身高的中位数落在___________组；（填组别字母） （2）下列结论正确的是____________；（只填序号） ①16对父子的身高差都小于5cm； ②由信息三可知，若父亲身高为186cm时，他儿子的身高很可能在184cm左右． （3）若该地区有4000对父子，估计其中父子身高都在范围的有多少对？ 23. 如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形探究与轴对称有关的几何问题．如图，在正方形中，点是线段上的一点，将沿折叠，使点落在点处，得到后再展平，连接并延长交于点． （1）【初步探究】如图1，小刚发现，请说明理由； （2）【深入探究】如图2，连接并延长交于点，求证：． 25. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为． ①求二次函数的表达式； ②若，为二次函数图象上的不同的两点，且，求证：． 26. 综合与实践 在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于平面内一点和另一点，在图形上存在点，使得（为常数，）且于点，则称点为图形关于点的“定积垂旋点”，点称为垂旋中心． （1）【感知定义】如图1，已知图形：线段，，，若点为图形关于点的“3定积垂旋点”，其中为垂旋中心，请写出一个满足要求的点坐标____________； （2）【类比探究】如图2，已知图形：半径为的，若直线上存在点为图形关于点的“4定积垂旋点”，其中为垂旋中心，求的取值范围； （3）【应用迁移】如图3，为垂旋中心，点为图形关于点的“6定积垂旋点”，点是图形上的一点，请解决以下问题： ①求的最大值； ②请直接写出取得最大值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $