精品解析：2025年甘肃省兰州市九年级诊断考试（一模）数学试题

2025年兰州市九年级诊断考试 数 学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2、考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点分析即可． 【详解】解：左视图为， 故选：A ． 2. 一元一次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是关键． 根据不等式的性质，移项、合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 故选：B ． 3. 计算：（ ） A. B. C. 1 D. x 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式化简．根据题意利用分数计算直接作差即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，外角定理等．根据题意可得，再利用角度计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质得，进而由对顶角性质得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵ ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角和圆周角关系等．根据题意可求出所对的优弧的角度为，再利用同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到本题答案． 详解】解：∵， ∴所对的优弧的角度：， ∴， 故选：A． 7. 如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理等．根据题意可得，再在和中应用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，， ∴由勾股定理得， 设， ∴在中：， ∴在中：， 解得：， ∴， 故选：C． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 9. 如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 10. 某次物理实验中，小刚将两种不同弹性的小球在相同高度自由下落并记录它们的第一次反弹高度，随后改变起始高度并记录8组数据绘制如下统计图，以下结论正确的是（ ） A. 小球反弹高度与小球的起始高度无关 B. 比较两个小球反弹高度的变化情况，小球的弹性大 C. 比较每个小球的反弹高度和起始高度，小刚认为反弹高度会超过起始高度 D. 当两个小球的起始高度相同时，小球的反弹高度总是小于小球的反弹高度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的性质，理解并掌握函数图象中横纵坐标表示的意义，及数字的大小关系是关键． 根据函数图象的中的数字分析即可． 【详解】解：根据函数图象可得，随着起始高度的增加，小球第一次反弹的高度比小球第一次反弹的高度高， ∴比较两个小球反弹高度的变化情况，小球的弹性大， 故选：B ． 11. 下面的三个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义即函数图象与性质，涉及扇形面积的计算公式，解直角三角形，根据题意分别求出每个问题中的关系，再结合二次函数的图形求解即可． 【详解】解：①含角直角三角形中， ∵斜边长x， ∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为， ∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意； ②设一个正数为，则拆成两个正数中另一个正数为， 则，该函数图象开口向下，符合题意； ③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为， ∴扇形的弧长为：， ∴扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义条件．根据分式的分母不能为零进行解答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为： 13. 如图，对角线相交于坐标原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形对角线的性质与点坐标关于原点对称的特点．根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴C点与A点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，E是对角线上的一点，，连接．若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形性质等．根据题意过点作，设，则，，再利用勾股定理得出，继而求出未知数后，再利用面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：过点作， ， ∵正方形，，， ∴，， 设，则，， ∴，解得：， ∴的面积：， 故答案为：． 15. 在数学实践课中，小明提出“任何可以写成的正整数是一个平方数与一个素数的两倍之和，其中n为正整数”的猜想，即：，n为正整数，x为整数，p为素数．例如，当时，可以找到整数，素数，使满足猜想．若整数x在1，2，素数p在3，5中各取一个数，则满足此猜想的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数四则运算，简单概率公式计算等．根据题意分情况计算出符合题意得情况，继而利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵当时，， ∴，即：，， ∴不是正整数，不满足题意， 当时， ∴，即：，， ∴是正整数，满足题意， 当时， ∴，即：，， ∴不是正整数，不满足题意， 当时， ∴，即：，， ∴不是正整数，不满足题意， ∴满足此猜想的概率是：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算二次根式，再化简，最后合并即可得到答案． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 运用整式的混合运算法则计算，再代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：移项得， 配方得，即， 两边开方，得， 所以，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是明确配方法的步骤，熟练运用配方法解方程． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）一次函数的图象与y轴交于点B，过点B作直线平行于x轴，交反比例函数图象于点C，连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的表达式：，一次函数的表达式： （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法解反比例函数表达式，解一元一次方程，函数面积结合问题等． （1）先将代入中即可求出反比例函数表达式，再将点代入中即可求出一次函数表达式； （2）先求出点的坐标，再求出，继而利用面积公式即可求出面积． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数 的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式： ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式：； 【小问2详解】 解：∵一次函数图象交y轴于点 B， ∴， ∴将代入反比例函数的表达式中， 得： 20. 如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． （1）求抛物线状沙丘的表达式： （2）求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 【答案】（1）该抛物线的表达式为 （2）梭梭树较茂密地带宽度CE的长为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等． （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为 ∵抛物线经过点， ∴， 解得： ∴该抛物线的表达式为： 【小问2详解】 解：∵， ∴点C的横坐标为30． ∴当时， ∴梭梭树较茂密地带宽度的长为 ． 21. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【答案】标志物C到桥面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，解一元一次方程等．根据题意过点C作于点 D， 设，再表示出和，最后列出方程计算即可． 【详解】解： 如图，过点C作于点 D， 设， 在中， 在中，， ， ∵， ∴，解得：， 即标志物C到桥面的距离约为． 22. 随着人工智能（）技术的不断突破，我国已发展为世界领先的大语言模型，问答在很多领域展现出独特价值．问答方式随着技术的发展而变化，某研究小组将相关数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下： 信息一：2014—2023年问答演变： 其中，2014—2023这十年间问答演变中“已接受的答案”的数量（单位：千个）分别为：； 信息二：2014—2023年问答演变的统计量如下表： 统计量类别 平均数（千个） 中位数（千个） 方差 问题 119 答案 116 已接受的答案 m 16 （以上数据来源于世界经济合作与发展组织） 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：上表中________； （2）根据以上信息，下列结论正确的是________；（只填序号） ①2014—2023年，问答演变中“答案”“已接受的答案”的数量都在逐年增加； ②2014—2023年，问答演变中“已接受的答案”的数量比“问题”的数量更稳定； ③2022年问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差小于2023年问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差； ④预测2026年问答演变中“问题”的数量在问答演变中数量可能均高于其它两类． （3）若研究小组成员又计算了2014—2023这十年间连续9年问答演变中“问题”数量的平均数，发现计算的平均数比信息二中的平均数大，你认为该小组有可能去掉的年份是________． 【答案】（1） （2）②③④ （3）2014 【解析】 【分析】本题考查中位数定义，平均数定义，方差定义，观察图表回答问题等． （1）先将数据从小到大排序，后计算中位数即可； （2）通过数据出现先后即可判断①错误，利用方差大小即可判断②正确；利用条形图即可得到③正确；通过图表即可判断④正确； （3）利用平均数定义即可解答． 【小问1详解】 解：∵数据为：， ∴从小到大排序为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵并不是逐渐减小或增大， ∴2014—2023年，AI问答演变中“答案”“已接受的答案”的数量都在逐年增加是不对的，即①错误， ∵已接受的答案的方差为16，问题的方差为119， ∴②2014—2023年，AI问答演变中“已接受的答案”的数量比“问题”的数量更稳定是正确的， ∵通过条形图可知，2022年AI问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差：， 2023年AI问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差：， ∴③正确， ∵通过图表可得，从2014—2023年AI问答演变中“问题”的数量在AI问答演变中数量可能均高于其它两类， ∴预测2026年AI问答演变中“问题”的数量在AI问答演变中数量可能均高于其它两类， ∴④正确， 故答案为：②③④； 【小问3详解】 解：∵计算的平均数比信息二中的平均数大， ∴去掉的是最小的数值，即2014年的数值， 故答案为：2014． 23. 综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 24. 如图，内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，正切值的计算，掌握直径所对圆周角为直角，等边对等角，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，正切值的计算方法是关键． （1）连接，由直径所对圆周角为直角得到，由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角得，根据垂直的定义得，根据等边对等角得，则，，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得，在中，，可得，根据角的计算得到，则，在中，，则，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【小问1详解】 证明： 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵在中， 点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 25. 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； 【小问2详解】 证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ， ； 【小问3详解】 解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 26. 在平面直角坐标系中，已知两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果且，则称点是点，的“等距直角拐点”．例：如图，已知，，，因为且，所以点是点，的“等距直角拐点”． （1）如图，在点、中，是点，“等距直角拐点”的是_________； （2）如图，已知直线分别与轴、轴交于，两点，点在线段上．若点是点，的“等距直角拐点”，求的取值范围； （3）如图，已知点在以为圆心，半径为的圆上，，若在直线上存在点，使点是点，的“等距直角拐点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】根据点、、、的坐标，分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可； 根据“等距直角拐点”的定义可知点在线段以点为中心逆时针或顺时针旋转得到的线段上，根据旋转的性质分情况求出的取值范围即可； 根据“等距直角拐点”的定义可知点在以或为圆心，为半径的圆上，分别求出点在以点为圆心，为半径的圆上时，的取值范围是；点在以点为圆心，为半径的圆上时，的取值范围是． 【小问1详解】 解：点、、的坐标分别为，，， ，，， ， 又， ， ， 点是点，的“等距直角拐点”； 点、、的坐标分别为，，， ，，， ， 点不是点，的“等距直角拐点”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如下图所示， 当时，， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 点在线段上．若点是点，的“等距直角拐点”， 点在线段以点为中心逆时针或顺时针旋转得到的线段上， 当线段以点为中心逆时针旋转得到线段时， 点的坐标是，点的坐标是， 此时， 当线段以点为中心顺时针旋转得到线段时， 点的坐标是，点的坐标是， 此时， 的取值范围是； 【小问3详解】 解：如下图所示， 当点绕点逆时针旋转得到点时， 根据题意可知，， 把以点为中心顺时针旋转后，延长与轴交于点， 则， 是等腰直角三角形， 连接，、， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 点的坐标为， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 当点绕点顺时针旋转得到点时， 同理可得：点在以为圆心，为半径的圆上， 点在以或为圆心，为半径的圆上， 如下图所示， 当直线与相切于点，与轴交于点时，连接， ，，， ， 此时， 即； 同理可知，当直线与相切于点时， ； 同理可知，当点绕点顺时针旋转得到点时，， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、勾股定理的逆定理．本题中给出了一个新定义“等距直角拐点”，解决本题的关键是理解“等距直角拐点”，根据“等距直角拐点”的定义找边和角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年兰州市九年级诊断考试 数 学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2、考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上． 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 一元一次不等式的解集为（ ） A B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. 1 D. x 4. 如图，在中，已知，，D为边上一点，且．则（ ） A. B. C. D. 5. 一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C上，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，连接，过点D作，交的延长线于点E，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 某次物理实验中，小刚将两种不同弹性的小球在相同高度自由下落并记录它们的第一次反弹高度，随后改变起始高度并记录8组数据绘制如下统计图，以下结论正确的是（ ） A. 小球反弹高度与小球的起始高度无关 B. 比较两个小球反弹高度的变化情况，小球的弹性大 C. 比较每个小球的反弹高度和起始高度，小刚认为反弹高度会超过起始高度 D. 当两个小球的起始高度相同时，小球的反弹高度总是小于小球的反弹高度 11. 下面的三个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积y与斜边长x； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积y与其中一个正数x； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积y与半径x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 13. 如图，的对角线相交于坐标原点O，若点A的坐标为，则点C的坐标为________． 14. 如图，在正方形中，E是对角线上的一点，，连接．若，则的面积为________． 15. 在数学实践课中，小明提出“任何可以写成的正整数是一个平方数与一个素数的两倍之和，其中n为正整数”的猜想，即：，n为正整数，x为整数，p为素数．例如，当时，可以找到整数，素数，使满足猜想．若整数x在1，2，素数p在3，5中各取一个数，则满足此猜想的概率是________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 用配方法解方程：． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）一次函数的图象与y轴交于点B，过点B作直线平行于x轴，交反比例函数图象于点C，连接，求的面积． 20. 如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． （1）求抛物线状沙丘的表达式： （2）求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 21. 西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下： 问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？ 工具 皮尺、测领器等测量工具 图形 说明 根据实际问题画出示意图（如上图），为测得玻璃栈桥正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点的另一观测点B，利用测倾器测量的度数，最后求得标志物C到桥面的距离． 数据 ，，． 根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面的距离．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 22. 随着人工智能（）技术的不断突破，我国已发展为世界领先的大语言模型，问答在很多领域展现出独特价值．问答方式随着技术的发展而变化，某研究小组将相关数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下： 信息一：2014—2023年问答演变： 其中，2014—2023这十年间问答演变中“已接受的答案”的数量（单位：千个）分别为：； 信息二：2014—2023年问答演变的统计量如下表： 统计量类别 平均数（千个） 中位数（千个） 方差 问题 119 答案 116 已接受的答案 m 16 （以上数据来源于世界经济合作与发展组织） 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：上表中________； （2）根据以上信息，下列结论正确的是________；（只填序号） ①2014—2023年，问答演变中“答案”“已接受的答案”的数量都在逐年增加； ②2014—2023年，问答演变中“已接受的答案”的数量比“问题”的数量更稳定； ③2022年问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差小于2023年问答演变中“问题”的数量与“答案”的数量的差； ④预测2026年问答演变中“问题”的数量在问答演变中数量可能均高于其它两类． （3）若研究小组成员又计算了2014—2023这十年间连续9年问答演变中“问题”数量的平均数，发现计算的平均数比信息二中的平均数大，你认为该小组有可能去掉的年份是________． 23. 综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 24. 如图，内接于，是直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 26. 在平面直角坐标系中，已知两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果且，则称点是点，的“等距直角拐点”．例：如图，已知，，，因为且，所以点是点，的“等距直角拐点”． （1）如图，在点、中，是点，“等距直角拐点”是_________； （2）如图，已知直线分别与轴、轴交于，两点，点在线段上．若点是点，的“等距直角拐点”，求的取值范围； （3）如图，已知点在以为圆心，半径为圆上，，若在直线上存在点，使点是点，的“等距直角拐点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$