精品解析：山东平邑赛博中学2025-2026学年九年级下学期第一次学科素养展示数学试题A、B卷

九年级下学期第一次学科素养展示 数学试题A卷 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数的绝对值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴得：点P表示的数为，再根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：观察数轴得：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的绝对值是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. （m＋3）2＝m2＋9 C. （xy2）3＝xy6 D. 2x＋3y＝5xy 【答案】A 【解析】 【分析】A.根据同底数幂的除法计算； B.根据完全平方公式计算； C.根据积的乘方，把积的每一个因式分别乘方再把所的幂相乘计算． D.不能合并同类项． 【详解】A.原式＝a5，∴符合题意； B.原式＝m2＋6m＋9，∴不符合题意； C.原式＝x3y6，∴不符合题意； D.原式＝2x＋3y，∴不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法、完全平方公式的计算、积的乘方及合并同类项等知识点，熟练掌握并应用上述知识点是解答本题的关键． 3. 下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析． 【详解】解：①三视图都是正方形；②的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是圆；③的主视图和左视图是半圆，俯视图是圆；④的主视图是梯形，梯形的内部有一条纵向的实线，左视图是梯形，俯视图的内外两个相似三角形，且对应的三角形的顶点相连． 所以②的主视图和左视图相同，③主视图和左视图相同． 故选：B． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题关键是正确判断各个几何体的三视图． 4. 2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：万=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入方程，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个非零根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 6. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. m＞2 B. m＜2 C. 0＜m≤2 D. m≥2 【答案】D 【解析】 【分析】首先解每一个不等式，然后根据不等式组无解确定m的范围． 【详解】解： 解不等式①得，x≥m． 解不等式②得，x＜2， ∵不等式组无解， ∴m≥2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 7. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　　) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】过A点作AB∥a，则有∠1=∠2，由题意易得AB∥b，然后根据平行线的性质及三角板的度数可进行求解． 【详解】解：如图，过A点作AB∥a， ∴∠1=∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故选A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意判断的运动轨迹，再根据折叠性质得到，根据全等三角形的判定与性质推得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：依题得：点的运动轨迹是以为圆心，以的长为半径的圆， 当落在上时，取得最小值， 作延长线，交于点，如下图所示， ，是的中点， ， 根据折叠可知，， 中，，， 且， ，， ，， 和中， ， ， ， 中，， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的特征、勾股定理、两点之间线段最短的应用，解题关键是确定的位置． 9. 如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交BC于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是BD的中点，可得BE=EF，进而解答即可． 【详解】解：过点D作交BC于F，如图， ∵， ∴， ∵O是BD的中点， ∴BO=OD， ∴BE=EF， ∵， ∴， ∴CF=2EF， ∴BE:EC=BE:3BE=1:3， ∵BE=1， ∴EC=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键． 10. 如图，，…是分别以，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，…均在反比例函数的图象上．则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，解一元二次方程，过分别作x轴的垂线，垂足分别为，可证明，则；设，则，解得或（舍去），即；根据中点坐标公式可得，则；设，则，，，把代入反比例函数解析式中可得，同理，据此规律可得，据此计算求解即可． 【详解】解：过分别作x轴的垂线，垂足分别为， 则， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 解得或（舍去）， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴； 设，则，， ∴， 把代入中得， 解得或（舍去），即， 同理， ， …… ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 原价为元的书包，现按8折出售，则售价为___________元. 【答案】0.8a 【解析】 【分析】列代数式注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．  ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． 【详解】解：依题意可得， 售价为0.8a 故答案为: 0.8a 【点睛】本题考查了列代数式，能根据题意列出代数式是解题的关键． 12. 2020年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面接缝处忽略不计，如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为8cm，那么这张扇形纸的面积是_____cm2（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据底面圆的半径求出底面圆的周长，即为扇形的弧长，再根据扇形面积计算公式计算即可； 【详解】∵底面半径为8cm， ∴底面圆的周长， ∴扇形的面积； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，准确结合圆锥侧面展开图计算是解题的关键． 13. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s(km)与甲出发的时间t(h)的关系如图所示，则乙由B地到A地用了______h． 【答案】10 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由B地到A地所用的时间． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：36÷6=6(km/h)， 则乙的速度为：=3.6(km/h)， 则乙由B地到A地用时：36÷3.6=10(h)， 故答案为10． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 14. 如图，直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点．连接OA，OB，若△AOB的面积是6.则双曲线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）的对称性求得△AOC≌△BOD，即可求得S△AOC＝1，利用三角形面积公式求得A的纵坐标，进而求得横坐标，进一步求得反比例函数的解析式． 【详解】解：如图，∵直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）关于直线y＝x对称， ∴△AOC≌△BOD， ∵直线y＝﹣x＋4与x轴相交于C点，与y轴交于D， ∴C（4，0），D（0，4）， ∴S△COD8， ∵△AOB的面积是6， ∴S△AOC＝1， ∴4×yA＝1， 解得：yA， 代入y＝﹣x＋4得，x＋4， 解得x， ∴A（，）， ∵直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）相交于A，B两点， ∴k， ∴双曲线的表达式是：y， 故答案为：y． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数的对称性，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，，点M，N是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若菱形边长为4，M是的中点，连接，则线段，其中正确的结论有：_______（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠NBE=∠EDM =60°，从而易得∠DEM=∠BNE，则可判断①正确，从而即可判断②正确；设菱形的边长为3a，则DE=a，BE=2a，设AM=x，AN=y，由①得：，由ME=AM，NE=AN，即，则有3ax=ay+xy，3ay=2ax+xy，消去xy，整理即可得x:y=4：5，故可判断③错误；过M点作MF⊥CD交CD的延长线于点F，则在直角△MFD中，可分别求得MF、DF的长，从而在直角△MFC中，由勾股定理即可求得MC的长，从而可判断④正确与否． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD ∵∠A==60° ∴△ABD是等边三角形 ∴AB=AD=BD，∠NBE=∠EDM=60° 根据折叠的性质，得∠MEN=∠A=60° ∴∠DEM+∠BEN=120° ∵∠BEN+∠BNE=120° ∴∠DEM=∠BNE ∴△MED∽△ENB 故①正确 ∵△MED∽△ENB ∴∠BEN=∠DME=20° ∴∠ENB=180°-∠BEN-∠NBE=100° 故②正确 设菱形的边长为3a，AM=x，AN=y ∵DE:BE=1:2 ∴DE=a，BE=2a ∵△MED∽△ENB ∴ 根据折叠的性质，得：ME=AM，NE=AN ∴ 即 ∴， 则有3ax-xy=ay，3ay-xy=2ax 消去xy，整理得：5ax=4ay 即得：x:y=4：5 ∴AM:AN =4：5 故③错误 如图，过M点作MF⊥CD交CD的延长线于点F ∵AB∥CD ∴∠MDF=∠A=60° 在直角△MFD中，∠FMD=90°-∠MDF=30° ∴FD=MD ∵M是线段AD的中点，且AD=4 ∴FD=4 ∴CF=CD+FD=6 在直角△MFD中，由勾股定理得 在直角△MFC中，由勾股定理得： 故④正确 ． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是设相应的参数，根据相似三角形对应边成比例得出两个方程，解出AM与AN的关系． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式 ． 17. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　； （2）图1中∠α的度数是　 　，并把图2条形统计图补充完整； （3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）40； （2）54°，如图： （3）7000； （4）． 【解析】 【分析】（1）由统计图可得：B级学生12人，占30%，即可求得本次抽样测试的学生人数； （2）由A级6人，可求得A级占的百分数，继而求得∠α的度数；然后由C级占35%，可求得C级的人数，继而补全统计图； （3）首先求得D级的百分比，继而估算出不及格的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：＝40（人）； 故答案为40； （2）根据题意得：∠α＝360°×＝54°， C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）， （3）根据题意得： 35000×＝7000（人）， 答：不及格的人数为7000人． 故答案为7000； （4）画树状图得： ∵共有12种情况，选中小明的有6种， ∴P（选中小明）＝ 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18. 如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题： （1）求AC的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45.） 【答案】（1）（32+32）cm （2）62cm 【解析】 【分析】（1）过F作FH⊥DE于H构造直角三角形，利用30°和45°特殊边关系，求CD＝CH+DH＝（12+12）cm，再由CE：CD＝1：3，得DE＝CD＝（16+16）cm，因为AB＝BC＝DE，得AC＝（32+32）cm. （2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G构造直角三角形，利用45°特殊边关系，求AG＝AC＝16+16，代入参考数据即可. 【小问1详解】 ：过F作FH⊥DE于H． ∴∠FHC＝∠FHD＝90°． ∵∠FDC＝30°，DF＝24cm， ∴FH＝DF·sin30°＝12cm，DH＝DF·cos30°＝12cm， ∵∠FCH＝45°， ∴CH＝FH＝12， ∴CD＝CH+DH＝（12+12）cm， ∵CE：CD＝1：3， ∴DE＝CD＝（16+16）cm， ∵AB＝BC＝DE， ∴AC＝（32+32）cm； 【小问2详解】 过A作AG⊥ED交ED的延长线于G， ∵∠ACG＝45°， ∴AG＝AC·sin45°＝16+16＝61.8≈62（cm）． 答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为62cm． 【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形是解决问题的关键. 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集； （3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，难度适中．利用数形结合是解题的关键． （1）先将点代入，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围即可； （3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由直线的解析式可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，结合函数图象及，可知在的右边，进而求出点纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：直线过点， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 在点右边，即时，直线在双曲线上方， 所以不等式的解集是； 【小问3详解】 解：如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则． 直线的解析式为， 直线的解析式为． 由，解得， 点的坐标为； ，且点在点右边， 点纵坐标的取值范围是． 20. 为迎接“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的公用设施全面更新改造，根据建设的需要，须在25天内完成工程．现有甲、乙两个工程队都有意向参与这项工程的建设．经调查分析：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，且甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，且若采取合作方式时两队工作的天数必须相同．请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【答案】（1）甲工程队单独完成此项工程需20天，乙工程队单独完成此项工程需30天 （2）甲、乙两工程队合作完成 【解析】 【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需1.5x天，根据甲工程队完成的工程量＋乙工程队完成的工程量＝总工程量，列分式方程求解即可； （2）由规定须在25天内完成，可得出有两种方案，方案一由甲工程队单独完成，方案二由甲、乙两工程队合作完成，利用总工程费用＝每天的过程费用×工作时间，可分别求出选择两方案所需总工程费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需1.5x天 依题意得：， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， ∴1.5x＝1.5×20＝30， 答：甲工程队单独完成此项工程需20天，乙工程队单独完成此项工程需30天． 【小问2详解】 解：∵规定须在25天内完成， ∴有如下两种方案： 方案一：由甲工程队单独完成，所需工程费用为4×20＝80（万元）； 方案二：由甲、乙两工程队合作完成，所需工程费用为（4＋2.5）×12＝78（万元）． ∵80＞78， ∴应该选择甲、乙两个工程队合作完成该项工程． 答：由甲、乙两工程队合作完成，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于正确的列方程求解． 21. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线； （2）证明：连接AC，如图1所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH•EA； （3）. 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线； （2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接BE，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=， ∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6， ∴EA===8， ∵， ∴BE=CE=6， ∵CE2=EH•EA， ∴EH==， 在Rt△BEH中，BH===． 22. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D． （1）如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，直接写出线AB，AC，CD之间的数量关系； （2）BC的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接EC，EB． ①如图2，若∠ABE=60°，判断AB，AC，CE之间有怎样的数量关系并证明； ②如图3，若AB+AC=AE，求∠BAC的度数． 【答案】（1） （2） ①AB=AC+CE， 证明如下： 在线段AB上截取AH=AC，连接EH，如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE， 在△ACE和△AHE中， ， ∴△ACE≌△AHE(SAS)， ∴CE=HE， ∵EF垂直平分BC， ∴CE=BE， ∴HE=BE， 又∵∠ABE=60°， ∴△EHB是等边三角形， ∴BH=HE， ∴CE=HB， ∴AB=AH+HB=AC+CE； ② 【解析】 【分析】(1) 过D作DE⊥AB于E，证Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，得AC=AE，再证△BDE为等腰直角三角形，得BE=DE=DC，即可得出结论； (2)①在线段AB上截取AH=AC，连接EH，证△ACE≌△AHE(SAS)，得CE=HE，再证△EHB是等边三角形，得BH=HE，即可得出结论； ②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，过E作EM⊥AB于点M，同①得：△ACE≌△AHE(SAS)，得CE=HE，再由等腰三角形的性质得HM=BM，则AC+AB=AH+AB=2AM，然后证AM=AE，再由锐角三角函数定义求出∠EAB=30°，即可求解． 【小问1详解】 解：AB=AC+CD， 理由如下： 过D作DE⊥AB于E，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC为锐角，AB＞AC， ∴∠ACB=90°，∠B=45°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC， ∴DC=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)， ∴AC=AE， ∵DE⊥AB，∠B=45°， ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE=DE=DC， ∴AB=AE+EB=AC+CD； 【小问2详解】 解：①略 ②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，过E作EM⊥AB于点M，如图所示： 同①得：△ACE≌△AHE(SAS)， ∴CE=HE， ∵EF垂直平分BC， ∴CE=BE， ∴HE=BE， ∴△EHB是等腰三角形， ∵EM⊥AB， ∴HM=BM， ∴AC+AB=AH+AB=AM﹣HM+AM+MB=2AM， ∵AC+AB=AE， ∴AM=AE， 在Rt△AEM中，， ∴∠EAB=30°， ∴∠CAB=2∠EAB=60°． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）CP的长为3﹣或3﹣3；（3）a的值为1﹣或2+． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案； （3）分对称轴x=1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 代入y＝x2+bx+c，得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图所示： 由抛物线解析式知C（0，﹣3）， 则OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， 若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°， ∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝， ∴CP＝3﹣； 若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°， ∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3， ∴CP＝3﹣3； 综上，CP的长为3﹣或3﹣3； （3）若a+1＜1，即a＜0， 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得a＝1﹣（正值舍去）； 若a＜1＜a+1，即0＜a＜1， 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； 若a＞1， 则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a， 解得a＝2+（负值舍去）； 综上，a的值为1﹣或2+． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期第一次学科素养展示 数学试题A卷 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数的绝对值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. （m＋3）2＝m2＋9 C. （xy2）3＝xy6 D. 2x＋3y＝5xy 3. 下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 4. 2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有一个非零根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 6. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ） A. m＞2 B. m＜2 C. 0＜m≤2 D. m≥2 7. 将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是(　　) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45° 8. 如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D在AC边上，AD:DC=1:2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，，…是分别以，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，…均在反比例函数的图象上．则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 原价为元的书包，现按8折出售，则售价为___________元. 12. 2020年的圣诞节初三年级的一名同学用一张半径为24cm的扇形纸做一个如图所示的圆锥形的圣诞帽侧面接缝处忽略不计，如果做成的圆锥形圣诞帽的底面半径为8cm，那么这张扇形纸的面积是_____cm2（结果保留） 13. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s(km)与甲出发的时间t(h)的关系如图所示，则乙由B地到A地用了______h． 14. 如图，直线y＝﹣x＋4与双曲线y（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点．连接OA，OB，若△AOB的面积是6.则双曲线的表达式是______． 15. 如图，在菱形中，，点M，N是边，上任意两点，将菱形沿翻折，点A恰巧落在对角线上的点E处，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若菱形边长为4，M是的中点，连接，则线段，其中正确的结论有：_______（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是　 　； （2）图1中∠α的度数是　 　，并把图2条形统计图补充完整； （3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　． （4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 18. 如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝24cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题： （1）求AC的长度（结果保留根号）； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45.） 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，不等式的解集； （3）在反比例函数图象的第一象限上点右边有一动点，当时，直接写出点纵坐标的取值范围． 20. 为迎接“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的公用设施全面更新改造，根据建设的需要，须在25天内完成工程．现有甲、乙两个工程队都有意向参与这项工程的建设．经调查分析：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，且甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，且若采取合作方式时两队工作的天数必须相同．请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 21. 已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH•EA； （3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长． 22. 在△ABC中，∠BAC为锐角，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D． （1）如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，直接写出线AB，AC，CD之间的数量关系； （2）BC的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接EC，EB． ①如图2，若∠ABE=60°，判断AB，AC，CE之间有怎样的数量关系并证明； ②如图3，若AB+AC=AE，求∠BAC的度数． 23. 如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $