第四单元长方体和正方体的体积解决问题高频常考易错题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

第四单元长方体和正方体的体积解决问题高频常考易错题专项训练一 1．奇思想要做竹编，他先用竹条做了一个长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体框架，再用同样长的竹条做了一个正方体框架，这个正方体的体积是多少？ 2．博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 3．一个无水的长方体鱼缸，从里面量长是50厘米，宽是30厘米，高是45厘米，里面放有一块高是25厘米，体积是250立方厘米假山石作为装饰，如果向鱼缸内注水，那么至少需要多少毫升的水才能将假山石淹没？ 4．某市进行了一个环保招标，主要是制作长方体太阳能支架坑，其中一家中标的公司标书给出的方案是：每个太阳能板支架坑长4米，宽2米，深0.6米，每立方米填沙费用50元。按这个方案制作2000个这样的太阳能板支架坑需要的总费用是多少？ 5．如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 6．一个长方体的水箱，从内部测量，长16分米，宽是长的，高5分米，水箱内有540升水，放入一块石头后，石头完全浸没在水中，发现水溢出了125.8升。这块石头的体积是多少立方分米？ 7．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖紧后竖放，这时里面的水深是多少厘米？ 8．下图是生活中常见的连通器，当连通器中只有同一种液体时，在液体静止的情况下，连通器各容器中液面的高度总是同样高。 安安用甲、乙两个长方体容器和一个粗吸管自制了一个连通器，其中，甲容器的底面是一个正方形。如果给甲容器倒入45升水，乙容器倒入135升水，那么此时甲容器内水的高度是多少分米？（吸管的容积忽略不计） 9．如图，石块的体积是多少立方厘米？   10．如下图，把这个长方体左面沿长的方向截去5厘米之后，表面积减少40平方厘米，并且剩下部分是一个正方体。求原来长方体的体积是多少立方厘米？ 11．有一块正方体的橡皮泥，它的棱长是8厘米，笑笑把它捏成一个长方体，长方体的长是16厘米，宽是5厘米，这个长方体的高是多少厘米？ 12．笑笑想利用纸板制作一个礼物盒。下面是礼物盒的展开图，求这个礼物盒的表面积和体积。（纸板厚度和重叠部分忽略不计，单位：厘米） 13．在科技馆的趣味实验展示区，有一个利用水位变化测量物体高度的实验装置，该装置是一个长方体水箱，齐齐往里面放了一个长方体铁块，水箱相关尺寸以及放入铁块前后水位的变化情况如下图所示，那么放入的铁块的高是多少？ 14．如图，一个从里面量长为8厘米、宽为5厘米的长方体容器内装有6厘米深的水。放入10颗相同的玻璃珠后，水位上升至6.4厘米，平均每颗玻璃珠的体积是多少立方厘米？ 15．如下图，一块长40厘米、宽25厘米的长方形铁皮，从四个角切掉边长为5厘米的正方形，焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是多少立方厘米？ 16．公园的凉亭里有一张石桌，如下图所示，这张石桌的体积是多少立方分米？ 17．一种背负式喷雾器的形状是长方体，从里面量长是25厘米，宽是10厘米，高是56厘米，王阿姨将喷雾器灌满药液后，给蔬菜喷洒农药。如果每分喷出药液700毫升，喷完一箱药液需用多少分？ 18．一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 19．某汽车油箱的长、宽、高如右图所示。（单位：厘米） （1）这个油箱能装多少升汽油？ （2）如果每升汽油可行驶10千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 20．一个无水鱼缸（如图）中放有一块高28厘米，体积为4200立方厘米的假山石，如果自来水管以每分7立方分米的流量向鱼缸内注水，至少要多少分钟才能将假山石完全淹没？ 21．一个无盖的玻璃鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高35厘米，缸内水位高20厘米（如下图）。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方厘米的玻璃？ （2）如果向这个鱼缸倒入3000毫升水和一些细沙，这时水面上升到30厘米，倒入了多少立方厘米的细沙（玻璃厚度忽略不计）？ 22．下面是一个长方体盒子的展开图。（单位：厘米） （1）长方体盒子的表面积是多少平方厘米？ （2）长方体盒子的体积是多少立方厘米？ 23．如图是一个无盖的长方体玻璃容器。 （1）这个长方体玻璃容器的表面积是多少平方厘米？ （2）如果放进一个铁块并完全浸没在水中（如图所示），1立方厘米的铁块重7.9克，这个铁块有多少克？ 24．李叔叔要做一个长方体无盖玻璃鱼缸（成品如图）。他手中有大量玻璃和一些长短不一的铝材。铝材数量和长度如下：（共15分） 铝材长度/分米 10 6 5 铝材的数量/根 5 2 11 （1）这个鱼缸的长是（    ）分米，宽是（    ）分米，高是（    ）分米。 （2）鱼缸制成后，李叔叔放入水草和鱼，再倒一些水进去，让水没过水草，这时水面高3.5分米，再放一些石头进去后，水面刚好与缸口持平，没有水溢出。石头的体积是多少立方分米？ （3）这个鱼缸内鱼和水草的体积占鱼缸总容积的，石头的体积占鱼缸总容积的，剩下的都是水，水的体积占鱼缸总容积的几分之几？ 25．阅读材料，解决问题。 材料一：国家游泳中心又名“水立方”，在北京冬奥会期间变身成“冰立方”，成为世界首个泳池上架设冰壶赛道的双奥场馆。 材料二：“水立方”拥有国际标准的游泳池，长50米，宽25米，池深3米，水深2米。 材料三：冬奥会冰壶赛场通常每条赛道长约46米，宽5米，铺设约0.045米厚度的冰面。 （1）在“水立方”游泳池的四壁和底面贴瓷片，则贴瓷片的面积至少是多少平方米？ （2）“冰立方”内铺设有4条冰壶赛道，一共需要用冰大约多少立方米？ 参考答案 1．125立方厘米 【分析】题目中已知用同样长的竹条做长方体框架和正方体框架，则长方体棱长总和等于正方体棱长总和。根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4求出竹条的总长度，这个长度也是正方体的棱长总和。再利用棱长总和÷12，求出正方体的棱长，最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长解答。 【详解】 （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的体积是125立方厘米。 2．10.15 分米 【分析】先将正方体铁块的棱长单位厘米换算成分米。根据排水法原理，铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于铁块的体积。先求出铁块的体积，再求出水箱的底面积，用铁块体积除以水箱底面积得到水面上升的高度，最后加上原来的水深即为现在的水深。（正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的底面积＝长×宽） 【详解】30 厘米 = 3 分米 （立方分米） （分米） 答：水箱中水深10.15分米。 3． 37250 毫升 【分析】刚好淹没假山石时，水面高度与假山石高相同，水与假山石的总体积＝鱼缸长×鱼缸宽×假山石高；水的体积＝水与假山石的总体积－假山石的体积；最后根据 1 立方厘米=1 毫升进行单位换算。 【详解】50×30×25－250 ＝1500×25－250 ＝37500－250 ＝37250（立方厘米） 37250立方厘米＝37250毫升 答：至少需要37250毫升的水才能将假山石淹没。 4．480000元 【分析】先根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，求出一个太阳能板支架坑的体积。再根据“总价＝单价×数量”，求出一个坑的填沙费用，再乘其数量 2000 个，即可求出总费用。 【详解】4×2×0.6×50×2000 ＝8×0.6×50×2000 ＝4.8×（50×2000） ＝4.8×100000 ＝480000（元） 答：按这个方案制作 2000 个这样的太阳能板支架坑需要的总费用是480000元。 5．2立方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，10颗弹珠放入后排开的水可看作长方体，长宽均为10厘米，高为5.2－5＝0.2（厘米）。代入数据先求得10颗弹珠的体积，再除以10即可得解。 【详解】10×10×（5.2－5）÷10 ＝100×0.2÷10 ＝2（立方厘米） 答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。 6．545.8立方分米 【分析】“宽是长的”，把长看作单位“1”，长×＝宽，根据长方体体积＝长×宽×高求得水箱容积，“排水法”测物体体积时，排开水的体积＝物体的体积，因为浸没石头后有水溢出，所以水箱的容积＋溢出水的体积－原来水的体积＝石头体积 【详解】16××16×5 ＝12×16×5 ＝192×5 ＝960（立方分米） 125.8升＝125.8立方分米 540升＝540立方分米 960＋125.8－540 ＝1085.8－540 ＝545.8（立方分米） 答：这块石头的体积是545.8立方分米。 7．12.5厘米 【分析】把长方体的容器竖放后，容器中水的体积没有变，先根据长方体体积＝长×宽×高（水深），求出竖放前水的体积，再除以竖放后容器的底面积即可。 【详解】20×10×5÷（10×8） ＝200×5÷80 ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是12.5厘米。 8． 5分米 【分析】甲、乙容器底部连通，静止时液面高度相同，所以可将两个容器视为一个整体来计算水面高度。先将两个容器中的水相加求出总水量，将升换算为立方分米（1升＝1立方分米）；然后分别算出甲、乙两个长方体容器的底面积（正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽），再相加得到连通后水的总底面积；最后用总水量除以总底面积，即可得到最终的液面高度，也就是甲容器内水的高度。 【详解】45＋135＝180（升） 180升＝180立方分米 3×3＋9×3 ＝9＋27 ＝36（平方分米） 180÷36＝5（分米） 答：此时甲容器内水的高度是5分米。 9．4000立方厘米 【分析】石块的体积等于放入石块后水上升的体积，水上升的体积可根据长方体的体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为水上升的高度）计算，这里水上升的高度为放入石块前后水面高度之差。 【详解】40×25×（20－16） ＝40×25×4 ＝4000（立方厘米） 答：石块的体积是4000立方厘米。 10．28立方厘米 【分析】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，剩下部分是一个正方体，说明长方体的宽和高相等，所以表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和，每个长方形的长是5厘米，宽是正方体的棱长。 已知表面积减少了40平方厘米，那么一个这样的长方形的面积是40÷4＝10平方厘米。又因为长方形的长是5厘米，根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得长方形的宽（即正方体的棱长）为10÷5＝2厘米。原来长方体的长比正方体的棱长多5厘米，所以原来长方体的长为2＋5＝7厘米。原来长方体的宽和高都等于正方体的棱长，即2厘米，根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 【详解】把长方体左面沿长的方向截去5厘米后，表面积减少的部分是4个相同的长方形的面积之和。 40÷4＝10（平方厘米） 10÷5＝2（厘米） 2＋5＝7（厘米） 7×2×2＝28（立方厘米） 答：原来长方体的体积是28立方厘米。 11．6.4厘米 【分析】已知一块正方体橡皮泥的棱长是8厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，求出橡皮泥的体积； 把这块正方体橡皮泥捏成一个长方体，橡皮泥的体积不变；根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算，求出这个长方体的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷（16×5） ＝512÷80 ＝6.4（厘米） 答：这个长方体的高是6.4厘米。 12．表面积：792平方厘米； 体积：1296立方厘米 【分析】由图可知，长方体的长是18厘米，高是12厘米，2个长与2个宽的和为48厘米，用48减去2个长再除以2计算出宽，即（48－18×2）÷2＝6厘米。 根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出该礼物盒的表面积；根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出该礼物盒的体积。 【详解】（48－18×2）÷2 ＝（48－36）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） （18×6＋18×12＋6×12）×2 ＝（108＋216＋72）×2 ＝（324＋72）×2 ＝396×2 ＝792（平方厘米） 答：这个礼物盒的表面积是792平方厘米。 18×6×12 ＝108×12 ＝1296（立方厘米） 答：这个礼物盒的体积是1296立方厘米。 13．8厘米 【分析】铁块放入水中水面上升部分的水的体积就是铁块的体积。这部分水看作长方体，长宽高分别是10厘米、8厘米、9.5－8＝1.5（厘米），根据V＝abh计算铁块体积，再根据h＝V÷ab求出铁块高即可。 【详解】10×8×（9.5－8）÷（5×3） ＝10×8×1.5÷15 ＝120÷15 ＝8（厘米） 答：放入的铁块的高是8厘米。 14．1.6立方厘米 【分析】根据题意，上升的水的体积就是10颗玻璃珠的体积，上升的水的体积＝容器的长×容器的宽×水上升的高度，再除以10，即可算出每颗玻璃珠的体积。 【详解】8×5×（6.4－6）÷10 ＝40×0.4÷10 ＝16÷10 ＝1.6（立方厘米） 答：平均每颗玻璃珠的体积是1.6立方厘米。 15．2250立方厘米 【分析】长方形铁皮的长－正方形边长×2＝长方体的长，长方形铁皮的宽－正方形边长×2＝长方体的宽，正方形边长＝长方体的高，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出长方体铁盒的容积。 【详解】40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 25－5×2 ＝25－10 ＝15（厘米） 30×15×5＝2250（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是2250立方厘米。 16．180立方分米 【分析】石桌由上下两个长方体组成，体积＝上面长方体体积＋下面长方体体积。分别计算两个长方体体积再相加。依据长方体体积公式V＝a×b×c（a，b，c为长、宽、高），据此解答。 【详解】上面长方体体积： 5×6×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 下面长方体体积： 5×4×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 总体积：60＋120＝180（立方分米） 答：这张石桌的体积是180立方分米。 17．20分 【分析】已知长方体喷雾器的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出喷雾器的容积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位； 已知每分喷出药液700毫升，用喷雾器的容积除以每分喷出药液的量，即可求出喷完一箱药液需用的时间。 【详解】25×10×56 ＝250×56 ＝14000（立方厘米） 14000立方厘米＝14000毫升 14000÷700＝20（分） 答：喷完一箱药液需用20分。 18．176立方厘米 【分析】根据题意可知，这个零件的体积相当于长为8厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体的体积减去棱长为4厘米的正方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【详解】8×6×5－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 答：铸造一个零件需要这种金属176立方厘米。 19．（1）60升 （2）600千米 【分析】（1）已知汽车油箱长50厘米、宽40厘米、高30厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1升＝1000立方厘米”，求出这个油箱能装汽油的升数。 （2）用每升汽油可行驶的距离乘油箱装汽油的升数，即是这箱油最多可供这辆汽车行驶的距离。 【详解】（1）50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 答：这个油箱能装60升汽油。 （2）10×60＝600（千米） 答：这箱油最多可以供这辆汽车行驶600千米。 20．3分钟 【分析】假山石高28厘米，只有水面高度达到28厘米，才能将假山石完全淹没。根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长45厘米，宽20厘米，高28厘米的长方体的体积（水与假山石的体积之和），再减去假山石的体积，就得注水的体积。根据1立方分米＝1000立方厘米，将水的体积换算成立方分米。最后根据每分注水7立方分米，用水的体积除以7即可求出注水时间。 【详解】45×20×28－4200 ＝25200－4200 ＝21000（立方厘米） 21000立方厘米＝21立方分米 21÷7＝3（分钟） 答：至少要3分钟才能将假山石完全淹没。 21．（1）7100平方厘米 （2）12000立方厘米 【分析】（1）这个无盖的玻璃鱼缸有下面和前后左右面积，玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可，求出需要玻璃的面积。 （2）3000毫升＝3000立方厘米。水面从20厘米上升到30厘米，上升了30－20＝10厘米，这高10厘米的长方体的体积就是倒入的水和细沙的体积之和。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算，求出体积之和，再减去水的体积，就是沙子的体积。 【详解】（1）50×30＋50×35×2＋30×35×2 ＝1500＋3500＋2100 ＝7100（平方厘米） 答：制作这个鱼缸至少需要7100平方厘米的玻璃。 （2）3000毫升＝3000立方厘米 50×30×（30－20）－3000 ＝50×30×10－3000 ＝15000－3000 ＝12000（立方厘米） 答：倒入了12000立方厘米的细沙。 22．（1）148平方厘米 （2）120立方厘米 【分析】（1）观察长方体盒子的展开图，可以确定长方体的长6厘米，宽5厘米，高4厘米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答。 【详解】（1）表面积： （平方厘米） 答：长方体盒子的表面积是148平方厘米。 （2）体积：（立方厘米） 答：长方体盒子的体积是120立方厘米。 23．（1）410平方厘米 （2）790克 【分析】（1）求无盖长方体玻璃容器的表面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，长方体玻璃容器中放入一个铁块后，水面上升了（8－6）厘米，那么水上升部分的体积等于铁块的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个铁块的体积，再乘每立方厘米铁块的重量，即是这个铁块的总重量。 【详解】（1）10×5＋10×12×2＋5×12×2 ＝50＋240＋120 ＝410（平方厘米）         答：这个长方体玻璃容器的表面积是410平方厘米。 （2）10×5×（8－6） ＝10×5×2 ＝100（立方厘米） 100×7.9＝790（克）         答：这个铁块有790克。 24．（1）10；5；5；（2）75立方分米；（3） 【分析】（1）根据长方体的特征可知，组成长方体需要有4条长、4条宽和4条高，6分米的铝材不够4根，所以这个长方体长应是10分米，宽和高都是5分米； （2）根据题意可知，放入石头后，水面升高了（5－3.5）分米，根据不规则物体的体积相当于水上升部分的体积，水上升部分的体积＝长×宽×上升部分的高度，代入数据即可求出石头的体积； （3）把总容积看作单位“1”，根据分数减法的意义，用1－－即可求出水的体积占鱼缸总容积的几分之几。 【详解】（1）根据分析可知，这个鱼缸的长是10分米，宽是5分米，高是5分米。 （2）10×5×（5－3.5） ＝10×5×1.5 ＝75（立方分米） 答：石头的体积是75立方分米。 （3）1－－ ＝－ ＝－ ＝ 答：水的体积占鱼缸总容积的。 25．（1）1700平方米 （2）41.4立方米 【分析】（1）根据题意，在游泳池的四壁和底面贴瓷片，求贴瓷片的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可； （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，求出一条冰壶赛道用冰的体积，再乘4即可得解答。 【详解】 ＝1700（平方米） 答：贴瓷片的面积至少是1700平方米。 ＝41.4（立方米） 答：一共需要用冰大约41.4立方米。 学科网（北京）股份有限公司 $