第四单元长方体和正方体的体积解决问题高频常考易错题（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

第四单元长方体和正方体的体积解决问题高频常考易错题专项训练二 1．修路队用沙子铺路。铺的路宽2米，厚3厘米，把216立方米的沙子均匀铺在路上，能铺多少米？ 2．将如图中的铁皮折弯后焊接成一个无盖的长方体铁桶，这个铁桶最多可以装多少升水？（铁皮厚度不计） 3．把一块长和宽都是5厘米的长方体石块浸没到底面积为25平方厘米的长方体玻璃缸中，水面上升了2厘米，没有水溢出，（请你提出2个问题，并选择一个问题尝试解决） ？ ？ 4．某糖果包装盒长10厘米，宽和高都是2厘米。现有一纸箱，内侧的尺寸如图（单位：厘米）。这个纸箱中最多能放多少盒糖果？ 5．如下图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的体积相等。这时容器A中的水深是多少厘米？ 6．有一块长方形铁皮，长28厘米，在四角上剪去边长为3厘米的小正方形，再做成无盖的盒子，盒子的体积是528立方厘米，原来长方形铁皮的面积是多少？ 7．把一个铁球浸没在长1.5分米、宽1.2分米的长方体容器中，水面由4.5分米上升到6分米，求铁球的体积是多少立方分米？ 8．一个长方体玻璃缸，从里面量长40分米、宽25分米，缸内水深12分米，把一块石头假山浸没在水中后，水面的高度变为16分米，石头假山的体积是多少？ 9．“藕，微甜而脆，开胃清热，可生食也可煮食。”张老师买了一节藕，想算一下它的体积有多大，把它浸没在一个内壁长、宽都是35厘米，高是50厘米，水深30厘米的水槽中，水面上升到31厘米。这节藕的体积是多少？ 10．把一块长50厘米、宽30厘米的铁皮的四角各剪去一个边长为5厘米的正方形（如图①），然后制作成一个长方体水槽（如图②），这个水槽能盛多少升水？    11．中国国际航空公司规定，对于体积超过20厘米×40厘米×55厘米的行李（含任一对应的边超标），需要将它托运。王叔叔乘飞机时带了一个长35厘米、宽16厘米、体积是33.6立方分米的行李箱，这个行李箱需要办理托运吗？ 12．疫情还未结束，学校每周五放学后都对教室喷洒消毒液，一种长方体喷雾器从内部测量长5.2分米、宽3.5分米、高5分米。已知每分可喷洒消毒液1300毫升，把喷雾器装满，一共需要多长时间可以喷完？ 13．如图，在一个大正方体的盒子里装着一些小正方体，最多能装下多少个这样的正方体？如果每个小正方体的体积是8立方厘米，这个大正方体的容积是多少？ 14．如图，是一块长方形铁皮，剪掉四个角上所有阴影部分的小正方形（每个正方形都相同）后，沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒，分别求出这个铁盒的表面积和体积。（铁皮厚度不计）      15．一块长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖容器。这个容器的容积是多少？ 16．在一个长25厘米、宽12厘米、高20厘米的长方体玻璃缸中装入一个棱长为8厘米的正方体铅块，然后往缸里放一些水，使它完全淹没这个正方体铅块，当铅块从缸中取出时，缸中的水会下降多少厘米？ 17．一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米。把这个容器盖紧，竖放后使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深多少厘米？ 18．一个棱长4分米的正方体无盖空水箱。华华不小心在这个水箱的侧面扎了一个洞，洞口下沿距水箱底部2.2分米（如下图），如果往这个空水箱中缓慢地注入32升水，那么水是否会由这个洞口溢出？（水箱厚度忽略不计） 19．有一个长方体，底面是正方形，高是18厘米，侧面展开是一个长方形（如下图），长是宽的2倍。求这个长方体的体积。 20．一堆黄土如图所示，已知A的面积是25平方米，B的面积是15平方米，A处比B处高4米，现在把A处的土推向B处，使A、B两处同样高。A处下降了多少米？ 21．同学们在博物馆参加捏橡皮泥比赛，一位同学先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为8平方分米的长方体。这个长方体的高是多少？ 22．如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。 （1）这个玻璃缸中装了多少升水？ （2）向缸中放入一个棱长4分米的正方体铁块（铁块完全浸入水中且未溢出），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？ 23．小玲学了体积后，决定自己动手测量一个红薯的体积。她找来一个长和宽都是8厘米，高是17厘米的长方体玻璃缸，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口1厘米，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高12厘米。 （1）小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，请你做出判断，小玲说的对吗？为什么？ （2）根据你的思考，算一算红薯的体积是多少立方厘米？ 24．工人良叙计划粘贴一个无盖的玻璃鱼缸，现有下面7块玻璃，编号为①－⑦。《玻璃厚度和粘贴处忽略不计，单位：厘米） （1）要想粘贴这个玻璃鱼缸，应该选用（    ）号玻璃。（填序号） （2）粘贴这个鱼缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ （3）将这个鱼缸平放在桌面上，注入72立方分米的水，水面的高度是多少？ 25．学习长方体的知识时，每位同学都准备了12根小棒搭长方体框架。小棒的长度和数量如下图所示。（单位：分米） （1）下面是四位同学未搭完的框架。如果在此基础上用他们手中剩下的小棒继续搭，那么能搭成长方体框架的有（    ）。（填序号） （2）搭成这个长方体的棱长总和是（    ）分米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是（    ）分米。 （3）笑笑想在做好的长方体框架上贴上彩纸，请你帮她算一算，至少需要准备多大面积的彩纸？ （4）如果将搭好的长方体框架剪短，改成一个体积最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长之和是多少？ 参考答案 1．3600米 【分析】根据题意，可把铺的路看做长方体，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，用体积除以宽再除以厚度，代入数据计算，即可解答。注意单位要统一。 【详解】3厘米＝0.03米 216÷2÷0.03 ＝108÷0.03 ＝3600（米） 答：能铺3600米。 2．32升 【分析】通过观察图形可知，这个无盖长方体的底面是正方形，底面周长是80厘米，根据正方形的周长公式可以求出底面边长，底面边长加上高是100厘米，据此可以求出高，然后根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】底面边长：80÷4＝20（厘米） 高：100－20＝80（厘米） 20×20×80 ＝400×80 ＝32000（立方厘米） 32000立方厘米＝32升 答：这条铁桶最多可以装32升水。 3．这块石块的体积是多少？50立方厘米 这块长方体石块的高度是多少厘米？2厘米 【分析】根据题意可提问：这块石块的体积是多少？这块长方体石块的高度是多少厘米？可根据石块的体积＝上升的水的体积，长方体的体积＝底面积×高，算出石块的体积。因为石块也是长方体，所以石块的高＝体积÷长÷宽，据此算出石块的高度。 【详解】这块石块的体积是多少？ 这块长方体石块的高度是多少厘米？ （立方厘米） （厘米） 答：这块石块的体积是50立方厘米，这块长方体石块的高度是2厘米。 4．300盒 【分析】根据以长为边可以放20÷10＝2（个）；以高为边可以放20÷2＝10（层）﹔以宽为边可以放30÷2＝15（排）﹔根据乘法的意义用长、宽、高的数量相乘可得解。 【详解】20÷10＝2（个） 20÷2＝10（层） 30÷2＝15（排） 2×10×15 ＝20×15 ＝300（盒） 答：这个纸箱中最多能放300盒糖果。 5．6厘米 【分析】根据公式：长方体体积＝长×宽×高，求出容器B中水的体积，倒入容器A的水应该水的总体积的一半。求容器A中的水深即为长方体的高度，根据长方体体积（容器A中水的体积）÷长÷宽＝高，代入数据进行计算即可。 【详解】30×20×24÷2 ＝600×24÷2 ＝14400÷2 ＝7200（立方厘米） 7200÷40÷30 ＝180÷30 ＝6（厘米） 答：这时容器A中的水深是6厘米。 6．392平方厘米 【分析】根据题意，在一块长方形铁皮的四角上剪去边长为3厘米的小正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖的长方体盒子，那么这个长方体的长等于长方形的长减去2个3厘米，长方体的高等于小正方形的边长； 已知盒子的体积是528立方厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，可知长方体的宽＝体积÷长÷高，由此求出盒子的宽，再加上2个3厘米，即是原来长方形铁皮的宽； 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出原来长方形铁皮的面积。 【详解】长方体盒子的长：28－3－3＝22（厘米） 长方体盒子的宽： 528÷22÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 长方形的宽：8＋3＋3＝14（厘米） 长方形的面积：28×14＝392（平方厘米） 答：原来长方形铁皮的面积是392平方厘米。 7．2.7立方分米 【分析】水面上升的体积就是铁球的体积，铁球体积＝长方体容器的长×宽×水面上升的高度，据此列式解答。 【详解】1.5×1.2×（6－4.5） ＝1.8×1.5 ＝2.7（立方分米） 答：铁球的体积是2.7立方分米。 8．4000立方分米 【分析】水面升高的体积＝石头假山的体积；玻璃缸的长×宽×水升高的高度＝石头假山的体积。 【详解】40×25×（16－12） ＝40×25×4 ＝4000（立方分米） 答：石头假山的体积是4000立方分米。 9．1225立方厘米 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，再结合长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 【详解】35×35×（31－30） ＝1225×1 ＝1225（立方厘米） 答：这节藕的体积是1225立方厘米。 10．4升 【分析】求长方体容积的方法与求长方体体积的方法一样，长方体的体积＝长×宽×高，长方体的长为：50－5×2＝40（厘米），宽为：30－5×2＝20（厘米），高为：5厘米，则用40×20×5即可算出长方体的体积，再根据低级单位化高级单位除以进率，1升＝1立方分米＝1000立方厘米，用得到的结果除以1000即可把单位立方厘米转化成升；据此解答。 【详解】由分析可知： （50－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（50－10）×（30－10）×5 ＝40×20×5 ＝4000（立方厘米） 4000立方厘米＝4立方分米＝4升 答：这个水槽能盛4升水。 【点睛】本题考查长方体的容积的算法及容积单位和体积单位的换算，注意：求长方体容积和体积的方法一样。 11．需要 【分析】根据大单位化小单位乘进率，1立方分米＝1000立方厘米，33.6×1000＝33600，所以33.6立方分米＝33600立方厘米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，可推出：高＝长方体的体积÷长÷宽，即用33600÷35÷16可算出长方体的高，再把王叔叔行李的长、宽、高、体积分别与航空公司规定的行李标准作比较，若都小于等于这个标准，则不需要办理托运，只要有一项超过标准，就需要办理托运；据此解答。 【详解】由分析可知： 33.6立方分米＝33600立方厘米 33600÷35÷16 ＝960÷16 ＝60（厘米） 因为60＞55，超标了，所以需要办理托运； 答：这个行李箱需要办理托运。 【点睛】本题考查体积单位换算和长方体体积公式的灵活运用，注意：高＝长方体的体积÷长÷宽。 12．70分 【分析】先算出长方体喷雾器里的消毒液有多少升，即求长方体喷雾器的容积，用长×宽×高，即5.2×3.5×5，因为1立方分米＝1升＝1000毫升，所以用5.2×3.5×5×1000，即可算出消毒液有多少毫升，最后用得到的结果除以1300即可得解。 【详解】由分析可知： 5.2×3.5×5×1000÷1300 ＝18.2×5×1000÷1300 ＝91000÷1300 ＝70（分） 答：把喷雾器装满，一共需要70分钟可以喷完。 【点睛】本题考查长方体容积的求法，容积单位的换算，注意：容积的求法与体积一样。 13．64个；512立方厘米 【分析】观察上图可知：一行可放4个，一层可放4行，则一层共可放：4×4＝16（个），一共可放4层，所以最多能装下这样的正方体的个数为：16×4＝64（个）；容器所能容纳物体的体积，是这个容器的容积，所以用64乘8即可算出这个大正方体的容积。 【详解】由分析可知： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（个） 64×8＝512（立方厘米） 答：最多能装下64个这样的正方体，如果每个小正方体的体积是8立方厘米，这个大正方体的容积是512立方厘米。 【点睛】本题考查容积的意义，注意：容器所能容纳物体的体积，是这个容器的容积。 14．700平方厘米；1500立方厘米 【分析】根据题意知：长方体铁盒的长是40－5－5＝30厘米，宽是20－5－5＝10厘米，高是5厘米。根据长方体体积＝长×宽×高，将数值代入可求得铁盒的体积；铁盒表面积＝长方形铁皮面积－四个边长5厘米的小正方形面积。据此解答。 【详解】表面积：40×20－5×5×4 ＝800－100 ＝700（平方厘米） 铁盒长：（厘米）     铁盒宽：（厘米） 体积：（立方厘米） 答：这个铁盒的表面积是700平方厘米，体积是1500立方厘米。 【点睛】本题主要考查了学生对长方形表面积和体积公式的掌握，重点是让学生理解铁盒的表面积就是长方形的面积减去四个小正方形的面积。 15．3750立方厘米 【分析】根据题意可知，无盖长方体的长为：（40－5×2）厘米；宽为（35－5×2）厘米，高为5厘米，根据长方体体积（容积）公式：体积（容积）＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】长：40－5×2 ＝40－10 ＝30（厘米） 宽：35－5×2 ＝35－10 ＝25（厘米） 高：5厘米 30×25×5 ＝750×5 ＝3750（立方厘米） 答：这个容器的容积是3750立方厘米。 【点睛】解决本题关键是找出长方体的长宽高和原来长方形的长和宽之间的关系，求出长宽高即可解决问题。 16．1.7厘米 【分析】根据题意可知，水面下降的部分体积等于正方体的铅块体积，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铅块的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。 【详解】（8×8×8）÷（25×12） ＝（64×8）÷300 ＝512÷300 ≈1.7（厘米） 答：缸中的水会下降1.7厘米。 【点睛】解答本题的关键明确正方体的体积等于水面下降部分的体积，再利用正方体体积公式、长方体体积公式进行解答。 17．12.5厘米 【分析】正放时长方体容积的长是20厘米、宽是10厘米，水深5厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出容器内水的体积；因为这个容器是盖紧的，所以无论正放还是竖放，容器内水的体积不变；竖放时，容积的长是10厘米，宽是8厘米，根据长方体的高＝体积÷（长×宽），求出此时水的深度。 【详解】20×10×5＝1000（立方厘米） 1000÷（10×8） ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深12.5厘米。 【点睛】抓住立体图形等积变形中的“体积不变”以及灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。 18．水不会由这个洞口溢出。 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据求出高是2.2分米的长方体水箱的体积，再化成升，再和32升进行比较，大于32升，水会溢出，小于32升，水就不会溢出，据此解答。 【详解】4×4×2.2 ＝16×2.2 ＝35.2（立方分米） 35.2立方分米＝35.2升 35.2＞32，水不会溢出。 答：水不会有这个洞口溢出。 【点睛】熟记长方体体积公式以及体积单位的换算是解答本题的关键。 19．1458立方厘米 【分析】根据题意可知，侧面展开是一个长方形，长是宽的2倍，宽等于长方体的高；长方形的长：（18×2）厘米；长方形的长等于这个长方体的底面的周长，底面是正方形，根据正方形周长公式：周长＝边长×4；边长＝周长÷4；代入数据，求这个长方体的长与宽；再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】18×2÷4 ＝36÷4 ＝9（厘米） 9×9×18 ＝81×18 ＝1458（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1458立方厘米。 【点睛】本题考查长方体特征、长方体体积公式、正方形周长公式，以及正方形的特征，关键明确长方体侧面展开图是一个长方形，长与底面周长相等，宽与长方体的高相等。 20．1.5米 【分析】根据题意，A处下降的体积＝B处上升的体积，利用长方体的体积公式V＝Sh，设A处下降了x米，则B处上升了（4－x）米；据此根据等量关系列方程解答。 【详解】解：设A处下降了x米，则B处上升了（4－x）米。 25x＝15×（4－x） 25x＝60－15x 25x＋15x＝60 40x＝60 x＝60÷40 x＝1.5 答：A处下降了1.5米。 【点睛】本题主要考查学生对长方体体积公式的掌握与灵活运用，明确A处下降的高度加上B处上升的高度等于4米是解题的关键。 21．8分米 【分析】根据题意：橡皮泥在捏制过程中，形状发生了改变，但体积保持不变。先根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积；再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，用体积除以底面积求出长方体的高。 【详解】4×4×4÷8 ＝16×4÷8 ＝64÷8 ＝8（分米） 答：这个长方体的高是8分米。 22．（1）240升 （2）7.6分米 【分析】（1）水的容积等于长是8分米，宽是5分米，高是6分米的长方体容积；根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出水的容积，注意单位名数的换算。 （2）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积；再用正方体体积除以长方体玻璃缸的底面积，求出放入铁块后水面上升的高度，再加上水的高度，即可解答。 【详解】（1）8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个玻璃缸中装了240升水。 （2）（4×4×4）÷（8×5）＋6 ＝（16×4）÷40＋6 ＝64÷40＋6 ＝1.6＋6 ＝7.6（分米） 答：水面的高度是7.6分米。 23．（1）不对；红薯的体积等于溢出的水的体积加上上升1厘米高水的体积 （2）320立方厘米 【分析】（1）由题意可知，往里面倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口1厘米，即水面高度为17－1＝16厘米，说明水没有倒满，小玲把红薯放入水中，再把红薯取出，这时水面高12厘米，这时水的高度少了（16－12）厘米，因此，红薯的体积等于溢出的水的体积＋上升1厘米高水的体积。 （2）由（1）可知，红薯的体积溢出的水的体积＋上升1厘米高水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高可知，底面积是8×8＝64平方厘米，高为（16－12＋1），把数据代入公式即可求出红薯的体积。 【详解】（1）由分析可知： 小玲根据课堂经验认为溢出的水的体积就是红薯的体积，此说法不正确，红薯的体积等于溢出的水的体积加上上升1厘米高水的体积。 （2）17－1＝16（厘米） 8×8×（16－12＋1） ＝64×（4＋1） ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：红薯的体积是320立方厘米。 24．（1） （1）132平方分米 （3）15厘米 【分析】 （1）想要粘贴一个玻璃鱼缸，鱼缸相对的两个面必须大小相等，题干中两个相等的面只有与，与，能与这四个面围成鱼缸的底面就只能是，所以应该选用、、、、； （2）由所选玻璃可知，此鱼缸长80厘米，宽60厘米，高30厘米；要求至少需要多少平方分米的玻璃，就是求无盖的长方体鱼缸的表面积；无盖的长方体鱼缸的体积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此解答； （3）长方体的体积＝底面积×高，长方体的高＝体积÷底面积，据此用注入的水的体积除以长方体鱼缸的底面积即可解答。 【详解】 （1）两个相等的面只有与，与，能与这四个面围成鱼缸的底面就只能是，所以应该选用号玻璃。 （2）80×60＋（80×30＋60×30）×2 ＝4800＋（2400＋1800）×2 ＝4800＋4200×2 ＝4800＋8400 ＝13200（平方厘米） 13200平方厘米＝132平方分米 答：至少需要132平方分米的玻璃。 （3）72立方分米＝72000立方厘米 72000÷（80×60） ＝72000÷80÷60 ＝900÷60 ＝15（厘米） 答：水面的高度是15厘米。 25．（1）③④（2）48；12（3）94平方分米（4）36分米 【分析】（1）根据长方体的特征可知：长方体有12条棱，，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。因此所搭成的长方体框架可以是长为5分米，宽为4分米，高为3分米或者长为4分米，宽为3分米，高为5分米，③和④满足条件。 （2）根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，相交于一个顶点的三条棱长的长度之和＝长＋宽＋高，代入相应数值计算即可解答。 （3）要求至少需要多大面积的彩纸，也就是求做好的长方体框架的表面积；如果搭好的是③号长方体框架，即长方体的长是5分米，宽是4分米，高是3分米；如果搭好的是④号长方体框架，即长方体的长是4分米，宽是3分米，高是5分米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别代入相应的数值计算即可解答。 （4）把搭好的长方体框架剪短，改成一个体积最大的正方体框架，则正方体的棱长等于长方体的最短边，也就是3分米，利用正方体的棱长之和＝棱长×12，代入相应数值计算即可解答。 【详解】（1）在此基础上用手中剩下的小棒继续搭，能搭成长方体框架的有③和④。 （2）③号长方体的棱长总和为： （3＋4＋5）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 相交于一个顶点的三条棱的长度和是：3＋4＋5＝12（分米） ④号长方体的棱长总和为： （3＋4＋5）×4 ＝12×4 ＝48（分米） 相交于一个顶点的三条棱的长度和是：3＋4＋5＝12（分米） 因此搭成这个长方体的棱长总和是48分米，相交于一个顶点的三条棱长的长度和是12分米。 （3）③号长方体，即长是5分米，宽是4分米，高是3分米，该长方体表面积为： （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） ④号长方体，即长是4分米，宽是3分米，高是5分米，该长方体表面积为： （4×3＋4×5＋3×5）×2 ＝（12＋20＋15）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 答：至少需要准备94平方分米的彩纸。 （4）3×12＝36（分米） 答：这个正方体框架的棱长之和是36分米。 学科网（北京）股份有限公司 $