专项训练 立体几何初步（全国卷）-2026届高考数学二轮复习

2026年高考数学专项训练--立体几何初步（全国卷） 一、单选题 1．球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入的水，水面高度恰好为棱台高度的，且，，则这个容器的容积为（　　） A． B． C． D． 3．已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（　　） A． B．1 C． D．2 4．如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（　　） A．18 B． C． D．34 5．一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（　　） A． B． C． D． 6．三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 7．某厂生产一批圆台形灯罩，灯罩的上、下底面都是空的，上、下底面的半径之比为1：2，高为15cm，母线长为25cm．现要对100个这样的灯罩的内、外表面都涂上一层防潮涂料，若每平方米需要100克涂料，则共需涂料（　　） A．克 B．克 C．克 D．克 8．如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（　　） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面 9．已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，为下底面的中心，则下列结论中错误的是（　　） A．平面平面 B． C． D．平面 12．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，过直线的平面截该正方体所得截面，则当平面与平面的所成角为最小时，截面的面积为（　　） A． B． C． D． 13．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为（　　） A． B． C． D． 14．如图，在四面体中，分别为的中点，且，则该四面体体积的最大值为（　　） A． B． C． D．1 15．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 16．在正方体中分别是的中点.下列说法正确的是（　　） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若点在正方体表面上运动，且点到点的距离与到点的距离之比为，则点的轨迹长度为 17．如图，已知棱长为2的正方体中心为，将四棱锥绕直线顺时针旋转之后，得到新的四棱锥，则（　　） A． B．当时，四棱锥顶点运动的轨迹长度为 C．当时，平面平面 D．存在旋转的角度，使得四点共面 18．如图，四棱台的底面是正方形，，底面.动点满足，则下列判断正确的是（　　） A．点可能在直线上 B．点可能在直线上 C．若点在底面内，则三棱锥的体积为定值 D．若点在棱上，则 19．三棱锥中，平面平面，，，其各顶点均在球O的表面上，则（　　） A． B．点A到平面的距离为 C．二面角的余弦值为 D．球O的表面积为 20．已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，，分别是棱BC，的中点，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（　　） A． B．多面体的体积为 C．存在一点，使得 D．若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是 21．已知四棱锥中，平面，四棱锥的外接球的球心为．记四棱锥的体积分别为，三棱锥的体积分别为，则下列说法中正确的有（　　） A． B． C． D．若二面角的平面角大小为，则的最大值为 22．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（　　） A．一定是异面直线 B．存在点，使得 C．直线与平面所成角的正切值的最大值当 D．过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值 23．如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A． B．直线与所成角的正弦值为 C．平面 D． 24．如图，在直三棱柱中，为的中点，则（　　） A． B．三棱锥的体积为 C．直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题 25．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则这个圆台的侧面积为　 　. 26．如图所示，将一个圆心角为的扇形纸板剪掉扇形，得到扇环，现将扇环围成一个圆台侧面.若，则该圆台的体积为　 　. 27．如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为　 　. 28．已知圆台，其上底面圆的直径为2，下底面圆的直径为8，母线长为5，则该圆台的体积为　 　. 29．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为　 　． 30．已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为　 　. 31．我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体中，，四边形，，为等腰梯形，且平面平面.其中，，（），且到平面的距离为，和的距离为，若，，，，，则该“羡除”的体积为　 　. 32．直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为　 　. 四、解答题 33．如图，在直三棱柱中，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 34．如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 35．如图，长方体中，，，，E，F分别为棱AB，的中点． （1）过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长； （2）设T为线段上一点，当平面平面时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值． 36．在三棱锥中，，.为的中点，为的中点，平面. （1）求证：平面平面； （2）若与底面所成角的正切值是2，求二面角的余弦值. 37．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 38．如图，在三棱柱中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点. （1）求证：平面GED； （2）若，求二面角的余弦值. 39．如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值的取值范围． 40．如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面 （1）证明：平面 （2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 41．如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，． （1）求证：平面PBC； （2）求二面角的正弦值． 42．在直三棱柱中，，，，，， （1）若平面，求的值； （2）若二面角与二面角的大小相等，求的值． 43．在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. （1）若，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 参考答案 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】B 13．【答案】D 14．【答案】B 15．【答案】B 16．【答案】A,B,D 17．【答案】B,C,D 18．【答案】A,C,D 19．【答案】A,B,D 20．【答案】B,D 21．【答案】A,B,D 22．【答案】A,D 23．【答案】A,C 24．【答案】B,C 25．【答案】 26．【答案】​​​​​​​ 27．【答案】 28．【答案】 29．【答案】 30．【答案】 31．【答案】40 32．【答案】 33．【答案】（1）证明： 在直三棱柱中，面，因为面，所以， 又因为，，面，所以面， 又因为面，所以， 又因为，所以四边形是正方形，所以， 又因为，面，所以平面； （2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： ， 则，， ，，， 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 则，令，则，即平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 34．【答案】（1）证明：方法一：在直三棱柱中，， 所以， 则，所以， 又因为，所以，，， 则，所以， 所以， 则， 因为平面， 所以平面． 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则 所以， 则 因为平面， 所以平面． （2）解：方法一：如图，延长交于点，过点作，垂足为， 连结， 由平面，得， 所以为平面与平面的夹角， 在中，， 所以， 则， 又因为， 所以， 则， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得， 因为平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 方法三：由（1）知：， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以，平面与平面夹角的余弦值为． 35．【答案】（1）解：延长DA，CE交于点P，连接PF交于点G，连接GE；延长GF，交于点Q，连接交于点H，连接FH，如图所示： 则多边形CEGFH即为所求截面， 由E为AB中点，可得A为DP中点，从而与相似，所以， 又F为中点，从而与全等． 又与相似，所以， 所以，，，，， 故所求截面多边形的周长为． （2）解：当T为线段中点时，平面平面，理由如下： 易得，，，故， 所以．又，故．取CD中点M，连接，TM，EM． 因为E，M分别为AB，CD中点，故，所以E，F，，M四点共面，易知四边形为正方形，故．又平面，平面，故， 而，故平面．因为平面，所以．又，所以平面，而平面CEF，故平面平面． 以D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，则，． 设平面TCF的法向量， 则，可取． 又，， 设平面CEF的法向量，则，可取． 则． 故平面TCF与平面CEF夹角的余弦值为． 36．【答案】（1）证明：延长与相交于M，连接， 根据，为的中点，则，，则， 在中，，为的中点，则. 在中，，则， 同理在中，， 在中， ， 由于，则，即. 已知平面，平面，则. 平面，且. 则平面，平面，则平面平面. （2）解：由于平面，，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过O作，可作为z轴，建立空间直角坐标系如图所示： 由于平面，则与底面所成角为， 根据题意，，则. 得到相关点坐标：， 所以，，. 设平面的法向量为，则且. ； ； 令，则，，所以. 设平面的法向量为，同理且. ； ； 令，则，所以. 设二面角为，且； ； . 所以. 通过观察图形可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 37．【答案】（1）证明：在四棱锥中， 底面，底面， 则， 由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 则， 又因为平面， 所以平面. （2）证明：由（1）知，， 由，得， 又因为且平面， 所以平面. （3）解：由（1）知，，且， 设平面的法向量为， 则，取，得， 因为，又因为， 则， 所以， 则平面的一个法向量为， 则， 又因为， 所以， 所以，平面与平面的夹角为. 38．【答案】（1）证明：取DE的中点M，连接OM，GM， 在△BDE中，，. 又因为G为CF的中点，所以，， 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以， 又面，面， 所以平面. （2）解：因为平面ABED，所以，， 又因为，所以四边形ABED为菱形，所以， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，连接CE ， 于是，，， ，， 设平面BCE的一个法向量为， 则即 不妨令，则，，取. 又为平面ACE的一个法向量， 设二面角A－CE－B平面角的大小为θ，显然θ为锐角， 于是， 故二面角A－CE－B的余弦值为. 39．【答案】（1）证明：因为 四边形为直角梯形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：如图所示，分别取、的中点、，连接、、， 因为、分别为、的中点，所以， 在直角梯形中，，所以， 因为为的中点，，所以，， 所以四边形为矩形，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角是二面角的余角， 所以二面角的正弦值等于， 因为， 因为，所以，所以， 综上所述，二面角正弦值的取值范围是. 40．【答案】（1）证明：如图所示，取中点，中点，连接， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，，平面PCE，∴平面， 又平面，∴， ∵，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 又平面，∴， ∵，，，，平面 ∴平面 （2）解：解法一：如图所示，以点F为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， ∴，，，设点， ∴，， 设平面PAB的法向量， 则，令x=a，则，∴， ∴，解得 ∴平面PAB的法向量， 由(1)易知平面PAC的法向量， 设平面PAB与平面PAC夹角为，∴， ∴ 平面与平面夹角的余弦值为 解法二：如图所示，作，垂足为 M，连接 ∵平面，，∴平面， 为与平面所成角， ∴，解得， 设，则， 由，得，解得 作，垂足为，连接， 为平面与平面夹角， ，由得，， ， ， 平面与平面夹角的余弦值为 41．【答案】（1）证明：因为 四边形ABCD是正方形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）解：由平面，且四边形为正方形，所以直线两两垂直， 如图所示，以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，则， 所以， 设平面的法向量， 则，取，则y=1，z=2，所以， 设平面的法向量， 则，取，则a=0，b=1，所以， 设二面角的大小为， 则， 因为，所以， 所以二面角的正弦值为. 42．【答案】（1）解：连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 又是的中点，故是的中点 . （2）解：因为二面角与二面角的大小相等， 所以二面角是二面角的大小的一半， 法一：几何法 过点在平面内作，垂足为，连接、， ，，，、平面， 平面， 平面，， 又，，、平面，平面， 又、平面，，， 二面角和二面角的平面角分别为、， 分别记作和，则为锐角，且， 因为，，，故， 所以，， 即，解得， 又，解得，所以． 法二：空间向量法 在直三棱柱中，平面，， 以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面的一个法向量分别为、， 设二面角与二面角的平面角分别为、，且， 则，取，可得， ，取，可得 则，， 由，即，因为，解得. 即. 43．【答案】（1）证明：在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，，平面，， 所以平面. （2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，， 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $