精品解析：安徽蚌埠市固镇县第二中学2025-2026学年高二年级下学期期中数学试题

高二年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 已知随机变量服从二项分布，，则的数学期望是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布期望公式求的数学期望即可. 【详解】因为， 所以的数学期望， 故选：B. 2. 某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类计数原理求解即可. 【详解】选择课程的方法有2类：从类课程中选一门有3种不同的方法， 从类课程中选1门有4种不同的方法，∴共有不同选法（种）． 故选：C. 3. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 5. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 6. 在展开式中的系数为（ ） A. -20 B. -30 C. -40 D. -50 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】展开式中的系数为. 故选：C. 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 二、多选题（共18分，每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目. 【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球，则还有2个红球，不同取法有，所以A正确，B错误. 取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况，第一种2个蓝球加1个红球， 第二种3个蓝球，则不同取法有，所以C正确. 取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可， 不同取法有，所以D正确. 故选：ACD. 10. 若，则下列选项正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B. C. D. 当时，除以8的余数为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A直接用二项式系数的性质判断；对于B用赋值法可得；对C可对二项式两边求导，然后再赋值可得；对于D则将按二项式展开式进行判断可得. 【详解】对于A：由二项式展开式中的二项式系数为，所以时二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故A不正确； 对于B：令，可得.再令，得， 所以，所以B正确； 对于C：对两边求导，得， 再令，得，所以C正确； 对于D：当时，， 而 ，即除以8的余数为1，所以D正确. 故选：BCD. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. ，是相互独立事件 B. 事件，互斥 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B、C，利用条件概率的定义与公式即可判断选项D. 【详解】根据概率加法公式可知，即， 所以. 选项A：因为，所以，相互独立，故A正确. 选项B：若，互斥，则，但，故B错误. 选项C：，， ，故C正确. 选项D：，，故D错误. 三、填空题（共15分，每空5分） 12. 设，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】由离散性随机变量均值的性质公式，可得答案. 【详解】． 故答案为：3 13. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可判断随机变量，利用二项分布的概率公式计算，即与的概率之和. 【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品（试验）取得次品（成功）的概率为， 从中取3次（做3次试验），为取得次品（成功）的次数，则， ． 故答案为： 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 【答案】1250 【解析】 【分析】由题意知，可求出，由得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可. 【详解】连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的,那么， ， 由得，即， 由切比雪夫不等式可得 可知 为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则 ，解得. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）根据组合数的性质计算即可； （2）利用排列数公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以或， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； （2）由， 得， 化简得，解得或（舍去）， 所以. 16. 在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中的第7项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可； （2）根据二项式的通项求解即可. 【小问1详解】 第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，即构成等差数列. 所以，即，且，. 整理，得，解得或（舍去）. 【小问2详解】 ， 令，则， 故展开式中的第7项为. 17. 某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）全体站成一排，男生互不相邻； （2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端； （3）若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面. 【答案】（1）1440 （2）960 （3）3720 【解析】 【分析】（1）不相邻问题采用插空法求解即可； （2）甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，求解即可； （3）采用间接法，先不考虑条件限制所有人全排，然后减去不符合题意的求解即可. 【小问1详解】 先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. 【小问2详解】 若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法， 将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种. 【小问3详解】 不考虑条件限制所有人全排有， 除去甲站在最左面有：，乙站在最右面有：； 其中甲站在最左面和乙站在最右面算了2次，补上一次； 总的方法为：. 18. “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2） X 1 5 9 P . 【解析】 【分析】（1）设B＝“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”（i＝1，2，3），结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”（i＝1，2，3）， 根据题意得， ； 所以 【小问2详解】 由题意可知，X的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列为： X 1 5 9 P 所以. 19. 2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术授助、非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. （1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分为. ①求生产该芯片I的前三道工序的次品率； ②第四道工序中，智能自动检测为次品（不会将合格品检测为次品）的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰为合格品的概率； （2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ.某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片Ⅰ的有40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速度满意的占.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取9人，再从这9人中选取4人进行座谈，记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X 的分布列及其数学期望. 【答案】（1）①；② （2）的分布列为 1 2 3 4 期望为【解析】 【分析】（1）①根据相互独立事件概率计算公式、对立事件的知识求得正确答案. ②根据条件概率的知识求得正确答案. （2）根据超几何分布的知识求得的分布列及其数学期望. 【小问1详解】 ①. ②设“芯片Ⅰ只能自动检测合格”为事件，“人工抽检合格”为事件， 由已知得，， 则工人在流水线进行人工抽检时，“抽检一个芯片，该芯片恰为合格品”为事件， . 【小问2详解】 对安装芯片Ⅰ的手机开机速度满意的人数为，对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为，所以采用分层抽样的方法的抽样比为，故所抽取的9人中，手机安装芯片Ⅰ的有3人，手机安装芯片Ⅱ的有6人，所以的说有可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 已知随机变量服从二项分布，，则的数学期望是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 3. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在展开式中的系数为（ ） A. -20 B. -30 C. -40 D. -50 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ） A. 42 B. 50 C. 54 D. 60 二、多选题（共18分，每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（ ） A. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B. 取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C. 取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D. 取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 10. 若，则下列选项正确的是（ ） A. 展开式中的二项式系数最大项为第3项和第4项 B. C. D. 当时，除以8的余数为1 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. ，是相互独立事件 B. 事件，互斥 C. D. 三、填空题（共15分，每空5分） 12. 设，则______ 13. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次数，则________． 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）已知，求实数的值 （2）解方程：. 16. 在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列． （1）求n的值； （2）求展开式中的第7项． 17. 某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）全体站成一排，男生互不相邻； （2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端； （3）若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面. 18. “村BA”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为．甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； 19. 2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术授助、非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. （1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分为. ①求生产该芯片I的前三道工序的次品率； ②第四道工序中，智能自动检测为次品（不会将合格品检测为次品）的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰为合格品的概率； （2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ.某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片Ⅰ的有40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速度满意的占.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取9人，再从这9人中选取4人进行座谈，记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X 的分布列及其数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $