精品解析：山东省临沂一中北校强基部2025-2026学年高二4月月考数学试题

2024级强基部高二下数学第一次月考试卷 一、单选题 1. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 72 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 5. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，，则 B. 的展开式中，的系数为20 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为 10. 若（≠0），则（ ） A. B. C. D. 11. 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 13. 已知对于，都有，则的最大值为___________． 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题 15. 如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图. （1）根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）； （2）是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由. （参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：） 16. 已知函数． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围． 17. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若，求的展开式中系数最大的项； （3）若，且，求被5除的余数. 18. 近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 19. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. （1）求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； （2）求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； （3）若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级强基部高二下数学第一次月考试卷 一、单选题 1. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 3. 如图，一个地区分为5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ） A. 20 B. 24 C. 48 D. 72 【答案】D 【解析】 【详解】 如图所示，首先涂A，剩下BCDE只有3种颜色可供选择， 若BD不同色则CE必同色，反之亦然，即BD或CE同色， 以颜色为主分类计数，按颜色的多少分两类： 第一类：用3种不同颜色时，则区域BD必同色，区域CE也必同色，故共有种 ， 第二类：用4种不同颜色时，若区域BD同色有种，若区域CE同色有种 故用四种颜色有种 ， 由加法原理得不同的涂色方法数共有 种 ，D正确. 4. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 5. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 6. 已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可． 【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布， 故 所以 ， ， 故选：D． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造，，可知在内单调递增，结合函数单调性比较大小即可. 【详解】构造，，则， 可知在内单调递增， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 则，所以， 综上所述：. 8. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，，则 B. 的展开式中，的系数为20 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A: ，，解得，所以该选项错误； 对于B：可得的系数为，故该选项错误； 对于C：由解得，故该选项正确； 对于D： ，故该选项正确． 【详解】对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以该选项错误； 对于B：的展开式的通项为，令，可得的系数为，故该选项错误； 对于C：由，得，解得，故该选项正确； 对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以，故该选项正确． 故选：CD． 10. 若（≠0），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；对于B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；对于C：利用赋值法进行求解即可；对于D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】对于A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，A错误； 对于B：因为，B正确； 对于C：在中， 令，得， 令，得，C正确； 对于D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，D错误. 11. 已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 某实验中学第一党支部拟选5名党员到A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种. 【答案】 【解析】 【详解】将5名党员按1，1，3分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 将5名党员按1，2，2分为三个组有种分法， 再把这三个组安排到A、B、C三个社区有， 由分步乘法计数原理有种不同的安排方法； 所以不同的安排方法共有. 13. 已知对于，都有，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可转化为，设，则，结合函数单调性可知，分离参数，构造新函数，根据导数判断单调性可得最值，即可得解. 【详解】解：因为，此时，即， 令，设，函数定义域为， 可得，因为函数在上单调递增，又，所以， 即，整理得， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，取极小值也是最小值，最小值， 即，则的最大值为． 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图. （1）根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）； （2）是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由. （参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：） 【答案】（1），与的线性相关程度较高 （2）可以用线性回归模型拟合与的关系，，到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元 【解析】 【分析】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得近似为0.96,进而判断 与是否具有较高的线性相关程度; （2）计算可得 关于的回归方程为，可得2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元. 【小问1详解】 由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得， ， ， 所以. 因为近似为0.96，所以与的线性相关程度较高. 【小问2详解】 由（1）知，与的相关系数近似为0.96，说明与的线性相关程度较高， 从而可以用线性回归模型拟合与的关系. 由及（1）得， ， 所以关于的回归方程为. 因为，所以 所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元 16. 已知函数． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法一：求导，根据得，再检验即可； 法二：求导研究函数的极值得在和处取得极值，再结合得解方程即可得答案. （2）由题得在上恒成立，再结合二次函数在区间上恒成立求解即可. 【小问1详解】 解：法一： 因为在处取得极值，所以，解得 检验：将代回得， 令得或， 所以，在和单调递增，在区间单调递减 所以在处取得极小值，满足题意. 所以 法二：令， 因为， 所以有两个实数根，解得 所以和时，，则单调递增，，，则单调递减 所以在和处取得极值 对于， 当时，； 当时，，，， 所以， 因为在处取得极值， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 解：在区间上单调递减，故在上恒成立， 即在上恒成立，令， 故，解得 所以a的取值范围为. 17. 已知的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项､第5项､第6项的系数成等差数列. （1）求和的值； （2）若，求的展开式中系数最大的项； （3）若，且，求被5除的余数. 【答案】（1）, 或 . （2）,. （3）1 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质求的值，再利用等差数列的性质求解； （2）根据相邻项系数的关系列不等式可求的展开式中系数最大的项； （3）根据，利用二项展开式求解. 【小问1详解】 由二项式系数性质,仅第5项最大,则 为偶数且 ,解得 . 第4、5、6项系数、、,成等差数列得 . 代入 ,,, 整理得 ,解得 或 . 故 , 或 ； 【小问2详解】 由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 展开式通项为 ,系数为 ,. 设第 项系数最大,则满足由 得 ,即 . 由组合数计算公式得 .,故 ,解得. 由 得 ,即 . 故 ,解得. 综上 ,即 或 . 故系数最大的项为第3项和第4项:,； 【小问3详解】 由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 . 又 ,则 故 被5除的余数为 . 18. 近期，我国国产AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，并且通过开源策略和高性价比的模式，为AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了200名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据： 高满意度 低满意度 频繁使用DeepSeek 70 30 不频繁使用DeepSeek 50 50 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联； （2）若已知样本中学生人数为120人，其中高满意度用户数为80人，教师人数为80人，其中高满意度用户数为40人．以样本频率估计总体的概率． ①若从全校使用DeepSeek的用户中每次抽取1名用户，直到抽出2名高满意度用户即停止抽取．求恰好第4次抽取后停止抽取的概率． ②若从全校使用DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取2名，设这4人中学生和教师的高满意度用户数分别为和，令，求的分布列． 参考公式：，其中，． 【答案】（1）认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联 （2）① ；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据计算公式计算即可得出结论； （2）①由题意转化为前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户，利用独立事件同时发生的乘法公式求解；②分别求出对应取值的概率，据此计算对应取值的概率，列出分布列即可. 【小问1详解】 零假设为：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联． 根据表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联． 【小问2详解】 （1）由题知，样本中DeepSeek高满意度用户的频率为， 设事件“恰好第4次抽取后停止抽取”， 需在前3次抽取中恰有1次抽取的是高满意度用户，第4次恰好抽取的是高满意度用户， 则． 即恰好第4次抽取后停止的概率为． （2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为，教师的高满意度用户频率为． 又，，， ，，， 的所有可能取值为0，1，2， 则 ， ． 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 P 19. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有，，三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则下一天在，，三个餐厅就餐的概率分别为，，；若他在餐厅就餐，则他下一天到，，三个餐厅就餐的概率分别为，，. （1）求小丁同学第2天在餐厅就餐的概率； （2）求小丁同学第天在餐厅就餐的概率； （3）若小丁同学前天到餐厅就餐的天数为，求数学期望. （若小丁第天到餐厅就餐的天数为，则 ） 【答案】（1） （2），； （3），. 【解析】 【分析】（1）由题可得第一天在任意餐厅就餐的概率均为，利用全概率公式可得第二天在B餐厅就餐的概率； （2）设小丁第天在餐厅就餐的概率为，第天在餐厅就餐的概率为，利用全概率公式可得，由此可得数列的递推公式，构造等比数列 ，可得的表达式. （3）利用分组求和法求即可. 【小问1详解】 （1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B餐厅就餐的概率为 于是：； 【小问2详解】 设小丁第天在餐厅就餐的概率为,，第天在餐厅就餐的概率为则： 当时， 即，即， 所以 是以为公比，为首项的等比数列； 所以，于是，； 【小问3详解】 依题意： ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $