山东省聊城第一中学（老校区、新校区）2025-2026学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

聊城一中老校区、新校区高二下学期第二次阶段性测试 数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．某新能源汽车生产公司，为了研究某生产环节中两个变量x，y之间的相关关系，统计样本数据得到如下表格：由表格中的数据可以得到y与x的经验回归方程为，据此计算，x取30时的残差为（ ） 20 23 25 27 30 2 2.4 3 3 4.6 A．0.35 B．0.4 C．-0.35 D．-0.4 3．某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（ ） A．72 B．108 C．216 D．288 4．设~，且，则（ ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 5．现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种． A．1440 B．120 C．72 D．1560 6．在的展开式中，含项的系数为（ ） A．240 B．-240 C．80 D．-80 7．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A． B． C． D． 8．关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数r越接近于1 B．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 C．已知事件A，B，若，且，，则 D．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 10．某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中A的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A． B． C．X的数学期望 D．随机变量的方差 11．已知函数（），则（ ） A．的图象关于对称 B．若有三个不同的零点，则 C．当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若恰有9个不同的实数根，则m的取值范围关于原点对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的值为_______． 13．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为X，则_______． 14．已知函数（），若，则最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查． （1）为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析无人快递车故障与维保是否有关联． 维保 未维保 合计 故障 12 40 未故障 合计 120 200 （2）对过去的投放量x（单位：百辆）与服务次数y（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格： x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 13 32 79 200 501 1259 拟用函数模型或（，）对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程． 参考公式：，其中，，． 参考数据：， 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 298.4 1.9 13262 64.4 2 16．（15分）已知（）的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列． （1）求a和n的值； （2）若，且，求被5除的余数； （3）若，求的展开式中系数最大的项． 17．（15分）已知函数，其中． （1）当时，求函数单调区间极值； （2）若，求a的取值范围． 18．（17分）随着生活水平的提高，一些进口水果也成了热销商品．某品牌车厘子大小等级划分为XL、J、JJ、JJJ、JJJJ五个等级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，．从该品牌车厘子中随机抽取1000颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图． （1）质量指标值越高，车厘子越大、质量越好，若质量指标值低于180的为二级，质量指标值不低于180的为一级．现利用分层随机抽样的方法按比例从样本中随机抽取12颗，再从抽取的12颗车厘子中随机抽取3颗，记其中一级的颗数为X，求X的分布列及数学期望； （2）甲、乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌车厘子的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由n（，）箱车厘子构成．假设甲、乙两人抢购成功的概率均为，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到车厘子总箱数为Z． ①求Y的分布列及数学期望； ②当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值． 19．（17分）已知函数． （1）若方程恰有两个实数解，求实数k的取值范围； （2）若的一个实根为，且 ①求实数a的取值范围； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城一中老校区、新校区高二下学期第二次阶段性测试 数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A C A D D D B BCD BC ACD 12．【答案】69 13．【答案】1 14．【答案】 15．（13分）（1）补充列联表如下： 维保 未维保 合计 故障 12 28 40 未故障 108 52 160 合计 120 80 200 2分 零假设：无人快递车故障与维保无关 3分 ， 5分 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为无人快递车故障与维保关联， 此推断犯错误的概率不大于0.01 6分 （2）适宜作为投放量x与服务次数y的回归方程模型． 7分 由，两边同时取常用对数得， 设，则， 8分 因为，，所以， 把代入，得， 12分 所以．所以，则， 故y关于x的回归方程为． 13分 16．（15分）（1）由二项式系数性质，仅第5项最大，则n为偶数且，解得 2分 第4、5、6项系数、、，成等差数列得， 3分 即，整理得，解得或． 故，或； 5分 （2）由（1）知，或．因为，所以． 6分 又，则． ，故被5除的余数为1． 9分 （3）由（1）知，或．因为，所以 展开式通项为，系数为， 11分 设第项系数最大，则满足，即，即，解得 又，所以或 13分 故系数最大的项为第3项和第4项：，； 15分 17．（15分）【解析】（1）当时，，，因为，所以在单调递增． 2分 又，x，，列表如下： x 1 - 0 + 单调递减 单调递增 所以的单减区间为，单增区间为； 5分 时有极小值，无极大值 6分 （2）①当时，，不满足题意； 7分 ②所以，此时， 因为，所以是上的增函数， 当时，；时，， 所以存在唯一正实数使得，即 此时在上单调递减，在上单调递增． 所以 10分 由题意得，由得， 代入上式得，整理得 解得，即 12分 令，其中． 则，所以是区间上的增函数 13分 因为，， 所以，所以a的取值范围是 15分 18．（17分）【详解】（1）由频率分布直方图，质量指标低于180的二级频率为，不低于180的一级频率为，故二级与一级的数量比为． 分层抽样抽取12颗车厘子，得二级品颗，一级品颗 1分 随机抽取3颗，一级颗数X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3 2分 ，， ， 6分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 8分 （2）①甲、乙抢购成功的概率均为，两人抢购相互独立，故~， Y的可能取值为0，1，2． ，， 11分 Y的分布列为： Y 0 1 2 P 13分 ②由，得，即 15分 由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 又，，故时取得最大值． 17分 19．（17分）（1）方程，即有两个实数解，所以 所以，即，，即与图象有两个交点． 设，，，令，得． 时，，单调递增；时，，单调递减； 所以 3分 又时，；又时，； 所以图象如图所示：所以实数k的取值范围为 5分 （2）①由，可得，所以，即 令，则，，即， 8分 令，，则，所以在上单调递增， 又，时，，所以实数a的取值范围是 11分 ②欲证，即证， 12分 左不等式：因为，所以 13分 右不等式：要证，即证， 易知，即证 14分 ， 设，，令，得 且在上递减，在上递增 又，，所以，即； 综上： 17分 学科网（北京）股份有限公司 $