精品解析：2026年辽宁铁岭市铁岭县中考模拟考试数学试卷（一）

2026年铁岭县中考模拟考试 数学试卷（一） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某地4个时刻的气温(单位：)分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，，，，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2.5 7. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 13 B. 9 C. 6 D. 3 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，根据题意列方程为，其中表示（　　） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 总路程 D. 规定的时间 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，则点的坐标是___________． 13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 14. 如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． （1）这两种中国结各编织了几个？ （2）如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 18. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 19. 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜批发价格是每千克4元． （1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式； （2）销售此种蔬菜每日可获最大利润为多少元？ 20. 学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图①）．设计了如下测量方案： 课题 测量信号塔的高 实物图 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量示意图 说明 如图②，点均在同一竖直平面内，线段的长度表示信号塔的高度，点B表示坡底角处，表示斜坡，表示坡底水平线，平行于水平线． 测量数据 如图②，同学们测得，斜坡的长为，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为，的长为． 参考数据 ，，， 任务 求信号塔的高（结果精确到）． 21. 如图，已知内接于，是的直径，点E在弧上，过E作的切线，交的延长线于点F，若平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等.请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长. 23. 如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. （1）求该二次函数的解析式； （2）已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； （3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年铁岭县中考模拟考试 数学试卷（一） （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某地4个时刻的气温(单位：)分别为，0，1，，其中最低的气温是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最低的气温是； 故选A． 2. 如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是明确从正面看得到的视图是主视图． 根据从正面看得到的视图是主视图，观察即可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是， 故选：B． 3. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 4. 下列图形中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称和轴对称图形的定义逐个判断，从而得出选项． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故答案是：C． 【点睛】本题考查轴对称图形的判定和中心对称图形的判定，掌握图形对称的基本概念，是求解的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则，幂的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】A．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，而不是，所以 A 选项错误． B．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，，而不是，所以 B 选项错误． C．根据幂的乘方，，而不是，所以 C 选项错误． D．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，， D 选项正确． 故选D． 6. 如图，直线，，，，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵直线， ∴，即， ∴， 故选：D． 7. 在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ） A. 13 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的意义，摸出红球的概率等于红球个数除以袋中球的总个数，先求出总球数，再减去红球个数即可得到黑球个数． 【详解】设袋中球的总个数为， ∵ 红球有个，摸出红球的概率为， ∴ ， 解得， ∴ 黑球个数为 ． 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：D． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，根据题意列方程为，其中表示（　　） A. 快马的速度 B. 慢马的速度 C. 总路程 D. 规定的时间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间． 【详解】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为， 表示慢马的速度，表示快马的速度； 把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天， 表示规定的时间． 故选：D． 10. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，为的角平分线， 在上截取， ， 是等腰直角三角形， ，，即垂直平分， 为点A关于的对称点， 连接，交于点E， ， 此时最小，即的值， ，为边的中点， ，， ， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．利用点平移的坐标规律“右移加，左移减，上移加，下移减”，把点的横坐标加1，纵坐标减4即可得到点的坐标． 【详解】解：点先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是，即． 故答案为：． 13. 如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 14. 如图，过y轴上任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A，B．若C为x轴上任意一点，连接，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，其中，通过反比例函数表示出点A和点B的坐标，可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设，其中， 则． 直线轴，则点A和点B的纵坐标都为， 又点A和点B分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，化简绝对值，计算零次幂，立方根，然后计算加减法即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，其中一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米． （1）这两种中国结各编织了几个？ （2）如果小芳想编织这两款中国结共15个，那么50米的绳子最多可以编织几个大号的中国结？ 【答案】（1）大号的中国结2个，小号的中国结4个 （2）5个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据小明用20米的绳子编织了6个大小两种规格的中国结，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合一个大号的需要用绳4米，一个小号的需要用绳3米进行列式计算，即可作答． （2）先根据小芳编织这两款中国结共15个，设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个，再结合“50米的绳子”这个条件进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， ∴（个）， ∴大号的中国结2个，小号的中国结4个； 【小问2详解】 解：设大号的中国结编织了个，则小号的中国结编织了个， 依题意，， 解得， 则50米的绳子最多可以编织个大号的中国结． 18. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 19. 某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜批发价格是每千克4元． （1）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式； （2）销售此种蔬菜每日可获最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）120 【解析】 【分析】本题是一次函数与二次函数实际应用的综合题，掌握待定系数法求一次函数的步骤及二次函数求最值是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）先设利润为，根据利润等于（售价成本）数量建立函数关系式，再由二次函数性质求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 代入,得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设利润为，由题意得：， ∵， ∴当时，每日可获最大利润为120元． 20. 学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度（图①）．设计了如下测量方案： 课题 测量信号塔的高 实物图 测量工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 测量示意图 说明 如图②，点均在同一竖直平面内，线段的长度表示信号塔的高度，点B表示坡底角处，表示斜坡，表示坡底水平线，平行于水平线． 测量数据 如图②，同学们测得，斜坡的长为，在点D处测得信号塔最高点A的仰角为，的长为． 参考数据 ，，， 任务 求信号塔的高（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，则：，    ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∴ 在中，， ∴， 在中，， ∴． 答：信号塔的高为． 21. 如图，已知内接于，是的直径，点E在弧上，过E作的切线，交的延长线于点F，若平分． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点， 与相切于点， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，从而可得，再利用垂径定理可得，从而可得是的中位线，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，再利用线段的和差关系可得，从而可得，最后利用平行线分线段成比例可得，从而进行计算可得：，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∵经过圆心， ， ， 是的中位线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 的长为． 22. 【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等.请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长. 【答案】 探究发现：证明∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 类比迁移：； 拓展提升： 【解析】 【分析】探究发现：根据正方形的性质，利用证明，即可； 类比迁移：连接，连接，证明，得到，推出，即，在中，，等量代换得到，即可； 拓展提升：过A作于K，连接，设交于R，三线合一得到，得到，中位线定理，得到，推出，得到，得到，在中，，求出，推出， ，设，则， ，在中，，列方程求出的长，进而得到的长即可. 【详解】探究发现：略 类比迁移： 解：连接，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，即， 在中，， ∴； 拓展提升： 解：过A作于K，连接，设交于R，如图： ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 设，则， ， 在中，， ∴， 解得或（此时为负数，舍去）， ∴， ∴. 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理。综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是构造特殊三角形，全等和相似三角形. 23. 如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线：经过，两点. （1）求该二次函数的解析式； （2）已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点. ①当的长度随的增大而增大时，请直接写出的取值范围； ②当时，求点的横坐标； （3）如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值. 【答案】（1） （2）①；②或 （3）2个公共点：或；3个公共点：或 【解析】 【分析】（1）由直线与坐标轴交点得到求出，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）①根据题意得到，根据两点之间距离公式得到，由分类讨论去绝对值，将化为二次函数，由二次函数图象与性质求解即可得到答案；②由①知，，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，根据题意，作出图象，得到当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，令得；令得； ， 将代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：①如图所示： ∵点为线段上一点，设其横坐标为，则， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的长度随着的增大而增大， 则此情况； 当时，，则； 综上所述，当的长度随的增大而增大时，的取值范围是； ②由①知，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴或， 则或， 解得或或或， ， ∴点的横坐标为或； 【小问3详解】 解：在中，令得， 解得或， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 如图所示： 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当与相切时，只有一组公共解， 即方程的判别式为， ∴，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代得： ，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数图象与性质、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $