第十五章 四边形 强化训练 2025-2026学年北京版八年级数学下册

第十五章四边形强化训练2025-2026学年 北京版八年级下册 一、选择题 1.下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3．从六边形的一个顶点作对角线，把这个六边形分成三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 个 4.如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB＝12，BC＝14，则四边形BDFE的周长为（　　） A．13 B．21 C．26 D．52 6.如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 7．如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（） A．12 B．8 C．6 D．4 8.如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　） A．3 B．3.6 C．3.75 D．4 9.如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 10．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 11．若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形是　 　边形. 12.如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 13.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____． 14.如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 15.如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　　． 3、 解答题 17．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 18.如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 19.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 20.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长． 21.在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】 第十五章四边形强化训练2025-2026学年 北京版八年级下册 一、选择题 1.下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 3．从六边形的一个顶点作对角线，把这个六边形分成三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6 个 【答案】B 4.如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，若AB＝12，BC＝14，则四边形BDFE的周长为（　　） A．13 B．21 C．26 D．52 【答案】C． 6.如图，将绕点A顺时针旋转到，点E和点C是对应点，若，，则的长是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 7．如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点．若，，则的长为（） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 8.如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　） A．3 B．3.6 C．3.75 D．4 【答案】B 9.如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 10．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 二、填空题 11．若一个多边形的内角和等于 ，则这个多边形是　 　边形. 【答案】六 12.如图，将绕着点A顺时针旋转后，得到，则 ． 【答案】 13.如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为_____． 【答案】 14.如图，点在正方形内部，且是等边三角形，连接、，则 ． 【答案】 15.如图，菱形ABCD的边长为26，对角线AC的长为48，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为 　 　． 【答案】240． 16.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　　． 【答案】． 4、 解答题 17．如图，四边形ABCD对角线交于点O，且O为AC中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵O为AC中点， ∴OA＝OC， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∵DF∥BE， ∴∠E＝∠F， 在△BOE和△DOF中，， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴OB＝OD， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 18.如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在菱形中，， ， ， ， ． 19.在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若∠DAF＝∠BAF，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即DF＝BE， ∵DE＝BF，BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∵AE＝3，DE＝4， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∵DE∥BF， ∴∠ABF＝∠AED＝90°， ∴AF＝＝＝4． 20.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长． 【答案】（1）略 （2）2﹣2． 【解答】（1）证明：∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD， ∴AC＝BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠CBE＝3∠ABE， ∴∠ABE＝×90°＝22.5°， 在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝x， ∵BE＝2， ∴x+x＝2， ∴x＝2﹣2． 21.在正方形中，点P在对角线上，点E，F分别在边，上，且于点P． (1)特例发现：如图1，当点P在对角线，的交点处时，求证：； (2)探究证明：如图2，当点P不在对角线，的交点处时，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展运用：在（2）的条件下，若，，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴．    ∴都是等腰直角三角形． ∴．    ∵， ∴． ∴， 即．    在和中 ∴．    ∴． （2）解：过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ． ∵四边形是正方形， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是正方形． ∴． ∴即． 在和中 ∴． ∴． （3）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $