第十五章 四边形（单元自测·提升卷）数学新教材北京版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·北京·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2．（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个内角相等的条件列方程求解即可． 【详解】∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形的每个内角都是， ∴， 解得：． 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法错误的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．有一个角是的菱形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是解题的关键．根据菱形的定义，必须是一组邻边相等的平行四边形才是菱形，而A选项缺少“平行四边形”的条件，因此错误；其他选项均符合矩形、平行四边形和正方形的性质． 【详解】解：A．菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形，因此仅有一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故A错误，符合题意； B．矩形的对角线相等且互相平分，故B正确，不符合题意； C．平行四边形的对角相等，故C正确，不符合题意； D．有一个角是90°的菱形，由于菱形是平行四边形，且邻角互补，因此所有角都是90°，即为正方形，故D正确，不符合题意． 故选：A． 4．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作、的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，、的垂直平分线相交于点Q， 则旋转中心点Q． 故选：D． 5．（2025·北京·二模）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，先求解，，可得菱形的边长为，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴菱形的边长为， ∴边向左平移1个单位或个单位， 故选：C． 6．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中位线的性质，勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 设的中点分别为，连接，可证为的中位线，得到，，，再由勾股定理即可得到，同理可得即可求解． 【详解】解：设的中点分别为，连接， 在矩形中，O是对角线的中点， 为的中位线，即， ，， 又， ， 又为中点，， ， ， 同理可得， ， ． 故选：A． 7．（2025·北京昌平·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再根据旋转的性质、三角形中位线的性质及三角形的三边关系即可求出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵，，，， ∴． ∵将绕点B旋转得到， ∴． ∵分别是的中点， ∴线段为的中位线，线段为的中位线， ∴，， ∴， ∴的最小值为，的最大值为． 故选：D． 8．（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·北京·期中）已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查多边形的内角和公式与外角和定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式（为边数）以及多边形外角和为． 设多边形的边数为，根据内角和是外角和的4倍，结合内角和公式与外角和定理建立方程求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形内角和公式为，多边形外角和为， 由题意，内角和是外角和的4倍，可得方程：， 解得：， 故答案为：10． 10．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 11．（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，在中，，，于E，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键．由，得，则，而，所以． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用勾股定理求出再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，． ， ． ， ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，的中点D旋转到，已知，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先整理得，利用旋转的性质可知，且为直角三角形，运用勾股定理求得的值，即可作答． 【详解】解：连接 ∵，，D是的中点， ∴， ∵将绕点C顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， 即 ∵旋转， ∴（旋转后是对应边）， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． 15．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕 ． 【答案】 【分析】先过点F作于M．利用勾股定理可求出，再利用翻折变换的知识，可得到，，再利用平行线可得，故有．求出，再次使用勾股定理可求出的长． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，为等腰三角形； 过点F作于， 由折叠可知：， 设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·北京·期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在直角中，，在直角中，，在直角中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， 是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确，， ，，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， 即，故②正确， 在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，延长到点，过点作交于点，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质； 求出，证明即可得出结论． 【详解】证明：在正方形中，，， ∵， ， ， ， ． 18．（5分）（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，在七边形中，的延长线交于点0，若，，，对应的邻补角和等于，求的度数 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和、三角形的内角和及其外角性质，先根据多边形的外角和为求得，进而利用三角形的外角性质得到，然后根据三角形的内角和为求解即可． 【详解】解：延长交于，七边形中，1，2，3，4对应的邻补角和等于 ∴，，三角的外角和为： ∴ 又， ∴ ∴． 19．（6分）（24-25八年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，结合已知可得，根据平行线的性质与判定证明，进而根据两组对边分别平行的是四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，即，且 ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形 ∴ ∵， ∴，即 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形． 20．（6分）（24-25八年级下·北京通州·月考）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【详解】（1）证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； （2）解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 21．（6分）（24-25八年级下·北京朝阳·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 22．（8分）（25-26九年级上·北京·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 【答案】(1)是 (2)图2是一个长方形纸片，理由见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，然后通过两组对边相等，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）图2是一个长方形纸片，与（1）同理，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形； 即剪开后拼成的图2是一个长方形纸片； （2）解：图2是一个长方形纸片，理由如下： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形． 即图2是一个长方形纸片． 23．（8分）（2025·云南临沧·模拟预测）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，见解析 【详解】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形和矩形的判定．解题的关键在于利用矩形对角线互相平分的性质证明 ，并通过全等三角形证明 为平行四边形． （1）要证明，需利用矩形对角线互相平分的性质得到，结合 识别出 是 的中位线，再依据三角形中位线定理推导平行关系； （2） 判断四边形 的形状，先通过全等三角形证明对边相等且平行得到平行四边形，再结合矩形对边相等及已知条件推导邻边相等，进而判定为矩形． （1）证明：矩形， ， 又， 是的中位线， ， 即； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ， ， 矩形， ， ， 又， ， ， 由（1）可知， ， ， ， 又点E是的中点， ， ， ， 四边形是矩形． 24．（8分）（25-26九年级上·北京房山·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 【答案】(1)①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；②见解析； (2) 【分析】题目主要考查矩形的判定，中位线及垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据证明过程直接写出依据即可；②根据中位线的性质及垂直平分线的性质证明即可； （2）根据题意得出，确定，再由含30度角的直角三角形的性质得出，利用勾股定理及直接三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴． 25．（10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 【答案】(1)见解析 (2)①，②或 【分析】（1）要证明矩形是正方形，核心是证明矩形的邻边相等．利用正方形的对角线性质，构造辅助线，得到正方形；再通过角的互余关系证明，从而证得全等，推出，矩形即可判定为正方形． （2）①先由正方形边长，得对角线；结合​，可知，即为中点，此时与重合，矩形为正方形，故． ②分两种情况讨论：  当与夹角为时，利用正方形对角线的角性质和三角形内角和，计算得； 当与夹角为时，利用矩形和正方形的角性质，得． 【详解】（1）证明：如图①，过点E作，交DC的延长线于点P，，交BC的延长线于点Q，则四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴四边形为正方形，． ∵， ∴， ∴． 在和中: ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）解：①如图②，在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点F与点C重合，此时是等腰直角三角形， ∴矩形是正方形，． ②分以下两种情况讨论：①如图③，当与的夹角为时，． ∵， ∴． ∵， ∴； ②如图④，当与的夹角为时， ∵， ∴． 综上所述，当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、分类讨论思想，掌握正方形对角线平分内角、构造辅助线证明全等、分情况讨论角的位置是解题的关键． 26．（10分）（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在菱形中，，E是边上的点，点G在的延长线上，且． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)作点C关于直线的对称点P，连接，直接写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由菱形得，连接，证明，有和，即，利用等腰三角形得，即可证明； （2）由（1）知，，则有，进一步得，即可证明为等边三角形，则； （3）连接，在上截取点H，使得，由（2）知为等边三角形，则，有对称得，进一步得到，即可证明，有，结合菱形的性质得，由勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：连接，在上截取点H，使得，如图， 由（2）知为等边三角形，则， ∵点C关于直线的对称点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和对称的性质，解题的关键是熟悉菱形的性质以及全等三角形的判定性质，以及常用辅助线的做法． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·北京·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法错误的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．有一个角是的菱形是正方形 4．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（2025·北京·二模）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 6．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 7．（2025·北京昌平·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·北京·期中）已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为 ． 10．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 11．（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，在中，，，于E，则 ． 12．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为 13．（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 14．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，的中点D旋转到，已知，，则线段的长为 ． 15．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕 ． 16．（24-25八年级上·北京·期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，延长到点，过点作交于点，交于点．求证：． 18．（5分）（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，在七边形中，的延长线交于点0，若，，，对应的邻补角和等于，求的度数 19．（6分）（24-25八年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是平行四边形． 20．（6分）（24-25八年级下·北京通州·月考）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（6分）（24-25八年级下·北京朝阳·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 22．（8分）（25-26九年级上·北京·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 23．（8分）（2025·云南临沧·模拟预测）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 24．（8分）（25-26九年级上·北京房山·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 25．（10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 26．（10分）（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在菱形中，，E是边上的点，点G在的延长线上，且． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)作点C关于直线的对称点P，连接，直接写出线段，，之间的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·北京·一模）下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．（2026·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·期末）下列说法错误的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．平行四边形的对角相等 D．有一个角是的菱形是正方形 4．（25-26九年级上·北京大兴·期末）如图，在正方形网格中，点，和，的顶点均在格点上，将绕旋转中心旋转得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（2025·北京·二模）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A．1 B．2 C．1或11 D．2或11 6．（25-26九年级上·北京丰台·期末）如图，在矩形中，O是对角线的中点，E，F分别是，上的点，且．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 7．（2025·北京昌平·一模）如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取的中点，则的最大值是（   ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26九年级上·北京·期中）已知一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数为 ． 10．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，在中，，，，则当 时，四边形是矩形． 11．（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，在中，，，于E，则 ． 12．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，对角线与相交于点，且．若点是边的中点，，则的长为 13．（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为 ． 14．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，，将绕点C顺时针方向旋转到的位置，的中点D旋转到，已知，，则线段的长为 ． 15．（2025九年级下·北京·专题练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片沿折叠，使点C与点A重合，求折痕 ． 16．（24-25八年级上·北京·期末）如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（2025·陕西咸阳·二模）如图，在正方形中，延长到点，过点作交于点，交于点．求证：． 18．（5分）（24-25八年级下·北京延庆·期末）如图，在七边形中，的延长线交于点0，若，，，对应的邻补角和等于，求的度数 19．（6分）（24-25八年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是平行四边形． 20．（6分）（24-25八年级下·北京通州·月考）如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（6分）（24-25八年级下·北京朝阳·月考）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 22．（8分）（25-26九年级上·北京·期末）有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合． (1)你认为剪开后拼成的图2是一个长方形纸片吗？请回答“是”或“不是”； (2)如果图2是一个长方形纸片，请说明理由；如果图2不是一个长方形纸片，也请说明理由． 23．（8分）（2025·云南临沧·模拟预测）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接． (1)求证：； (2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明． 24．（8分）（25-26九年级上·北京房山·月考）新乡某初中数学小组在学完“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”后分组进行了交流，请你根据各小组的内容解答问题． (1)经典小组的同学们对该性质进行了证明：①下面是该小组的小亮截取的教材中的证明过程： 已知：如图1，在中，，CD是斜边AB上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接． ∵是斜边上的中线，∴．又∵， ∴四边形是平行四边形      I 又∵，∴四边形是矩形，    Ⅱ ∴，∴． 该证明过程中：I处的判定定理是_______；Ⅱ处的判定定理是________； ②该小组的小红提供了另一种证明方法，请你根据下面的思路，完成证明． 如图2，取的中点D，连接，根据中位线定理和其他知识进行证明． (2)创新小组在定理应用上进行了拓展：如图3，在四边形中，，，E，F分别为的中点，连接．若，平分，，过点E作于G，求的长． 25．（10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD为正方形，E为射线AC上一点，连接DE，过点E作，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． (1)如图①，当点E在线段AC的延长线上时，求证：矩形DEFG是正方形． (2)如图②，当点E在线段AC上时， ①若，，求CG的长度； ②当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是时，直接写出的度数：________________． 26．（10分）（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在菱形中，，E是边上的点，点G在的延长线上，且． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)作点C关于直线的对称点P，连接，直接写出线段，，之间的数量关系，并证明． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十五章 四边形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A A D C A D C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．10 10． 11．/20度 12． 13． 14． 15． 16．①②③④ 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】证明：在正方形中，，， ∵， ， ，·······································3分 ， ．········································5分 18．（5分） 【详解】解：延长交于，七边形中，1，2，3，4对应的邻补角和等于 ∴，，三角的外角和为： ∴·······································2分 又， ∴ ∴．·······································5分 19．（6分） 【详解】（1）证明：∵，即，且 ∴四边形是平行四边形．·······································2分 （2）∵四边形是平行四边形 ∴ ∵， ∴，即 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形．·······································6分 20．（6分） 【详解】（1）证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ；·······································3分 （2）解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ．·······································6分 21．（6分） 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意；·······································2分 ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：；·······································4分 ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．·················6分 22．（8分） 【详解】（1）解：如图所示： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形； 即剪开后拼成的图2是一个长方形纸片；·······································3分 （2）解：图2是一个长方形纸片，理由如下： 依题意，， ∴四边形是平行四边形， ∵有一张的正方形纸片．把这张纸片按图1所示剪开，把剪出的四个小块按图2所示重新拼合， ∴， ∴四边形是矩形． 即图2是一个长方形纸片．·······································8分 23．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，见解析 【详解】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形和矩形的判定．解题的关键在于利用矩形对角线互相平分的性质证明 ，并通过全等三角形证明 为平行四边形． （1）要证明，需利用矩形对角线互相平分的性质得到，结合 识别出 是 的中位线，再依据三角形中位线定理推导平行关系； （2） 判断四边形 的形状，先通过全等三角形证明对边相等且平行得到平行四边形，再结合矩形对边相等及已知条件推导邻边相等，进而判定为矩形． （1）证明：矩形， ， 又， 是的中位线， ， 即；·······································3分 （2）解：四边形是矩形，理由如下： ， ， 矩形， ， ， 又， ， ，·······································5分 由（1）可知， ， ， ， 又点E是的中点， ， ， ， 四边形是矩形．·······································8分 24．（8分） 【详解】（1）解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②证明：∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的垂直平分线， ∴；·······································3分 （2）在中， 由中点可知，， 在中， ∵E是中点， ∴， ∵， ∴， 由条件可知， ∵点E是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴点G是的中点， ∴．·······································8分 25．（10分） 【详解】（1）证明：如图①，过点E作，交DC的延长线于点P，，交BC的延长线于点Q，则四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴四边形为正方形，． ∵， ∴， ∴． 在和中: ∴， ∴， ∴矩形是正方形．·······································3分 （2）解：①如图②，在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴点F与点C重合，此时是等腰直角三角形， ∴矩形是正方形，．·······································6分 ②分以下两种情况讨论：①如图③，当与的夹角为时，． ∵， ∴． ∵， ∴； ②如图④，当与的夹角为时， ∵， ∴． 综上所述，当线段与正方形的某条边的夹角是时，的度数为或． ·······································10分 26．（10分） 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴；·······································3分 （2）解：如图， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴；·······································6分 （3）解：连接，在上截取点H，使得，如图， 由（2）知为等边三角形，则， ∵点C关于直线的对称点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则．·······································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $