7.2复数的四则运算巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2复数的四则运算 一、单选题 1．设复数满足，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的加减法运算以及复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由，则，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2．复数等于（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数除法和乘方法则进行求解即可. 【详解】 故选：D 3．已知复数（i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而得共轭复数，由虚部的概念即可得结论. 【详解】因为， 所以，故共轭复数的虚部为. 故选：D. 4．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 5．已知复数，，，其中为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，进而得，再求复数的模即可. 【详解】因为复数，，所以， 所以，故，， 所以. 故选：A 6．已知复数满足，其中i是虚数单位，则（    ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】结合题意求出，再利用模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得，由模长公式可得，故A正确. 故选：A 7．已知复数满足，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解． 【详解】由，可得, 所以的虚部为， 故选：C 8．已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 二、多选题 9．已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】BD 【分析】利用复数的除法运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B和D，利用复数模的运算可判断C. 【详解】由，故A错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； ，故C错误； 复数在复平面内表示在单位圆上的点，表示单位圆上的动点到定点的两点间距离， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BD 10．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，则的实部为2 B．若，则为实数 C．若，则 D．若，则的最大值为2 【答案】ABD 【分析】A选项为复数的实部与虚部知识点；B选项考查复数相等知识点；C选项为共轭复数的概念及运算；D选项考查复数的几何意义，与复数模相关的轨迹问题. 【详解】对于A，解方程，，的实部为2，A正确； 对于B，,则共轭复数， 则，若，则，得，故为实数，B正确； 对于C，举反例，设，则， 计算得：，，故，但是且，C错误； 对于D，表示复平面上以为圆心、半径为1的圆. 表示圆上点到原点的距离，最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，D正确. 故选：ABD 11．记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据方程在复数上的根结合韦达定理求解复数根，，，逐项判断即可得结论. 【详解】由方程可得， 该方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中， 所以，，是方程在复数上的两根， 则，故A，B正确； 设，则可得， 所以解得或， 故，两根为， 则，故C正确； ，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 12．若， ． 【答案】 【分析】设，则，根据 得出的值，然后利用复数求模公式求解即可. 【详解】设，则，则， 又，则，所以，即， 所以，则， 故答案为：． 13．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 14．已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 【答案】 【分析】根据题意，得到，列出方程组，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由是关于的方程的一个根， 可得，整理得， 所以，解得，所以，则. 故答案为：. 四、解答题 15．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【分析】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，． （2）因为为纯虚数，所以，所以． （3）， 所以该复数在复平面内对应的点，且在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 16．已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 【分析】（1）根据复数几何意义得，再结合共轭复数概念、复数乘方运算以及复数模的计算公式即可得到答案； （2）根据复数的乘方和除法运算即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）由题设知， 则， 故. （2）由， 有， 由题设条件，知， 根据复数相等的定义，得，解得. 17．已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解； （2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解. 【详解】（1）因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. （2）因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 18．已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. （2）因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 19．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【分析】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【详解】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2）， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得， 即实数的取值范围为. （3） 若，即时，, 则方程的两根为实数根，则， 解得，且满足； （4） 若，即时， 则方程的两根为虚数根，设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以，且满足； 综上，或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2复数的四则运算 一、单选题 1．设复数满足，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数等于（    ） A．16 B． C． D． 3．已知复数（i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知复数，，，其中为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，其中i是虚数单位，则（    ） A．5 B．4 C．3 D． 7．已知复数满足，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 8．已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．若复数满足，则的最大值为 10．已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，则的实部为2 B．若，则为实数 C．若，则 D．若，则的最大值为2 11．记方程的三个不相等的复数根分别为，，，其中，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若， ． 13．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 14．已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= . 四、解答题 15．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16．已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 17．已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 18．已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 19．已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $