8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积核心知识点，先通过展开图解析表面积公式，再梳理体积公式及公式间关联，辅以基础训练和表面积、体积、组合体三类题型，构建梯度进阶的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，通过微点助解明晰展开图与公式关系，思维建模总结解题步骤，如例3旋转四边形形成组合体问题，培养学生空间观念与推理能力。课中助力分层教学，课后针对训练帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式. 2.能用表面积与体积公式求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积,且会求组合体的表面积与体积. 1.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 名称 公式 圆柱 S圆柱=2πrl+2πr2(r是底面半径,l是母线长) 圆锥 S圆锥=πrl+πr2(r是底面半径,l是母线长) 圆台 S圆台=π(r'2+r2+r'l+rl)(r',r分别是上、下底面半径,l是母线长) 球 S=4πR2(R是球的半径) |微|点|助|解| (1)准确认识圆柱、圆锥、圆台的展开图 名称 侧面展开图 底面 表面积 圆柱 矩形 两个全等的圆 侧面积+底面积 圆锥 扇形 一个圆 圆台 扇环 两个同心圆 (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系 S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r')lS圆锥侧=πrl. 2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积 名称 公式 圆柱 V圆柱=πr2h(r是底面半径,h是高) 圆锥 V圆锥=πr2h(r是底面半径,h是高) 圆台 V圆台=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高) 球 V=πR3(R是球的半径) |微|点|助|解| 对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识 (1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 V圆柱=πr2hV圆台=πh(r'2+r'r+r2)V圆锥=πr2h. (2)柱体、锥体、台体的体积公式可统一如下: V柱体=Sh;V锥体=Sh(S为底面积,h为高);V台体=(S'++S)h(S',S分别为上、下底面面积,h为高). 基础落实训练 1.球的体积是,则此球的表面积是 (　　) A.12π B.16π C. D. 解析:选B　设球的半径为R,则πR3=, ∴R=2,∴S球=4πR2=16π. 2.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为　　　　.  解析:由底面周长为2π可得底面半径为1.S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π. 答案:6π 3.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=　　　　.  解析:设底面半径为r,则πr2×4=4π,解得r=,即底面半径为. 答案: 　　　　　　　　题型(一)　圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积 [例1]　(1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积为　　　.  (2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为　　　　.  解析:(1)设母线长为l,由题意得l·lsin 60°=,所以母线长l=2.又底面半径为1,所以侧面积为π×1×2=2π. (2)圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,则它的母线长为l===5r=10,所以r=2,R=8. 故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π, S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π. 答案:(1)2π　(2)168π 　　|思|维|建|模| 求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加. [提醒]　解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图. 　　[针对训练] 1.已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2,圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为=.故选A. 2.如图,将一个圆柱2n(n∈N*)等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,n越大,重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积为　　　　　　.  解析:显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积.设圆柱的底面半径为r,高为h,则2rh=10,所以圆柱的侧面积为2πrh=10π. 答案:10π 题型(二)　圆柱、圆锥、圆台的体积 [例2]　(1)已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形,则圆锥SO的体积为 (　　) A.2π B.π C.π D.π (2)已知圆台的上、下底面的半径分别为1,3,其表面积为26π,则该圆台的体积为 (　　) A. B. C. D. 解析:(1)如图所示,在圆锥SO中,底面圆半径为r=OA=1,高为h==,所以圆锥SO的体积为V圆锥=×π×12×=π.故选D. (2)设圆台的母线长为l,高为h,所以π×12+π×32+π×(1+3)l=26π,解得l=4,所以h==2.所以该圆台的体积V=×(π×12+π×32+)×2=.故选D. 答案:(1)D　(2)D 　　|思|维|建|模|　圆柱、圆锥、圆台的体积求法 直接法 根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出 分割法 将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积 补体法 将几何体补成易求解的几何体,先求再去 　　[针对训练] 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 (　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 解析:选B　设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为 ,因为它们的侧面积相等,所以2πr·=πr·,即2=,故r2=9,故圆锥的体积为π×9×=3π.故选B. 4.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 (　　) A.5π B.6π C.20π D.10π 解析:选D　用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图所示,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π. 题型(三)　旋转体组成的组合体的表面积与体积 [例3]　 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积. 解:作CE垂直于AD的延长线于点E,如图(1),将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台,如图(2). 由题意得CD=2,AD=2,CE=ED=2,AB=5,AE=4,BC=5, 所以S=π·EC·DC+π(EC+AB)·BC+π·AB2=4π+35π+25π=60π+4π,V=π(CE2+AB2+CE·AB)·AE-π·CE2·DE=52π-π=. 　　|思|维|建|模| 　　旋转体组成的组合体的表面积与体积的求法与多面体组成的组合体的表面积与体积的求法一致,主要是将组合体分解为若干个柱、锥、台、球的基本面,以“分割”“补形”为工具解题. 　　[针对训练] 5.一个内角为30°且斜边长为2的直角三角形,求绕斜边旋转一周所得几何体的表面积与体积. 解:在Rt△ACB中,AB=2,∠CAB=30°,则AC=2cos 30°=,BC=1.将Rt△ACB沿斜边AB旋转一周,旋转形成的几何体为两个同底的圆锥,如图所示.又CO=ACsin 30°=, 故所求几何体的表面积S=π××(BC+AC)=π××(1+)=π.体积V=S圆O·AB=π·OC2·AB=π××2=. 学科网（北京）股份有限公司 $