涂色问题、数字排列问题、相邻问题、不相邻问题、分组分配问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学计数原理复习讲义通过分类梳理构建知识体系，以表格呈现考点目录，将涂色问题、数字排列等五种高频考点按“解题原理-思路-例题-变式”递进组织，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于“原理-例题-变式”的分层设计，如涂色问题结合分步乘法与分类加法培养数学思维，数字排列通过特殊优先策略提升逻辑推理能力。例题涵盖不同情境，变式训练分层，助力学生掌握方法，支持教师精准教学。

计数原理5种高频考点（涂色问题、数字排列问题、相邻问题、不相邻问题、分组分配问题）讲义 计数原理5种高频考点（涂色问题、数字排列问题、相邻问题、不相邻问题、分组分配问题）讲义 考点目录 涂色问题 数字排列问题 相邻问题 不相邻问题 分组分配问题 考点一 涂色问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理涂色重复/相邻约束，核心是按涂色顺序（区域/颜色）分步，相邻区域不同色为核心约束，颜色可重复使用但相邻必不同。 二、解题思路（2大主流法，按需选） 方法1：按区域顺序分步涂色（通用，首选） 1. 定顺序：按区域相邻关系定涂色顺序（如从相邻最多的区域开始，减少分类）； 2. 分步涂：依次给每个区域涂色，每一步确定当前区域的可选颜色数（排除相邻区域已涂颜色）； 3. 遇分类：若某一步涂色受后续区域约束（如颜色可选数不唯一），按可选颜色数分类，再对每类分步； 4. 算总数：步间乘、类间加，得总涂色方法数。 方法2：按颜色数量分类涂色（适用于颜色数固定、区域数少） 1. 定范围：确定完成涂色需用的颜色数（如个区域用种颜色，）； 1. 先选色：从总颜色中选种，用组合数（为总颜色数）； 1. 再涂色：将选好的种颜色按“相邻不同色”涂到区域，用排列数/分步乘法算方法数； 1. 算总数：每类（不同颜色数）内“选色×涂色”，各类间相加。 关键：优先从相邻区域最多的区域开始涂色，减少分类；颜色无区别时只分步，有区别时结合排列。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·月考）如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 例2．（25-26高二下·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    例3．（25-26高二下·江苏宿迁·月考）（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川广安·月考）如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．64 B．72 C．84 D．96 变式2．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 变式3．（24-25高二下·安徽·月考）给如图所示的五个区域涂色，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同. (1)最少需要几种颜色才可以完成涂色任务? (2)现有四种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法. 考点二 数字排列问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理数字的特殊约束（如首位非0、奇偶性、重复/不重复、某数位固定等），核心是先排特殊位置/特殊数字，再排普通位置/数字。 二、解题思路（核心：特殊优先，分类讨论） 1. 清约束：明确数字排列的约束条件（如数字是否可重复、首位非0、某数位为奇数/偶数、含特定数字等）； 2. 特殊优先： - 特殊位置优先排（如首位、指定数位）：先排有约束的位置，再排无约束的普通位置； - 特殊数字优先排（如0、奇数/偶数、指定数字）：先排特殊数字到对应位置，再排普通数字； 3. 分步/分类算： - 无重复数字：排完一个位置/数字，剩余可选数减1，步间乘； - 有重复数字：每步可选数不变，步间乘； - 约束冲突时分类（如0与奇偶性同时约束）：按特殊数字的位置/取值分类，类间加、步间乘； 4. 验结果：排除不符合约束的排列（如首位为0、数位奇偶性错误），确保结果有效。 关键：首位非0是高频核心约束，数字不重复时注意剩余数字的可选数，有重复时直接按步计算。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 例2．（24-25高二下·江苏南通·月考）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 例3．（24-25高二下·江苏泰州·期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的三位数? (2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·天津河西·期中）用0-5这六个数字可以组成没有重复的 (1)三位数有多少个? (2)四位偶数有多少个? (3)能被5整除的四位数有多少个? 变式2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答） (1)三位数？ (2)无重复数字的三位数？ (3)小于的无重复数字的三位数？ (4)无重复数字的三位数的奇数？ 变式3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 考点三 相邻问题 【知识点解析】 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南京·月考）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 例2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 例3．（2025·山东·一模）现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为__________.（结果用数字作答）. 例4．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共______种. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 变式2．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 变式3．（25-26高二下·上海·月考）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书形成的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有______种．（结果用数值表示） 变式4．（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 考点四 不相邻问题 【知识点解析】 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南通·月考）一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（   ）种. A．48 B．60 C．90 D．120 例2．（25-26高二下·河南驻马店·月考）3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．720 B．432 C．228 D．114 例3．（24-25高二下·上海宝山·期中）某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为__． 例4．（24-25高二下·新疆·月考）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 变式2．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 变式3．（25-26高二下·上海·月考）6个人站成一排，甲、乙、丙三人不都站在一起，有______种排法．（结果用数值表示） 变式4．（24-25高二下·天津·期中）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 考点五 分组分配问题 【知识点解析】 将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为，记 (1)无序非均匀分组：将个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为. (2)无序均匀分组：将个不同元素分成不编号（即无序）的组，每组元素数目相等，其分法种数为. (3)无序部分均匀分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有组元素个数相等，其分法种数为.如果再有组均匀分组，应再除以; (4)有序非均匀分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为. (5)有序均匀分组：将个不同元素均匀分成有编号（即有序）的组，其分法种数为. (6)有序部分均匀分组：将个不同元素分成有编号的组，其中有组元素个数相等,其分法种数为. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江西南昌·月考）含A，B，C，D在内的南昌二中的5位同学决定在五一假期期间打卡三清山、井冈山、庐山这三个江西的知名景区，若要求每位同学恰好打卡一个景区，每个景区至少安排一位同学打卡，且A，B不去同一个景区，则不同的打卡方案种数为（    ） A．90 B．114 C．132 D．150 例2．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 例3．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 例4．（2026·安徽淮北·一模）某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有__________种 例5．（25-26高二下·广东广州·月考）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 例6．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【变式训练】 变式1．（2026·陕西·二模）城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 变式2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 变式3．（2026·福建厦门·二模）某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 变式4．（25-26高三下·四川广安·月考）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 _______ .（用数字作答） 变式5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 变式6．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 2 学科网（北京）股份有限公司 $计数原理5种高频考点（涂色问题、数字排列问题、相邻问题、不相邻问题、分组分配问题）讲义 计数原理5种高频考点（涂色问题、数字排列问题、相邻问题、不相邻问题、分组分配问题）讲义 考点目录 涂色问题 数字排列问题 相邻问题 不相邻问题 分组分配问题 考点一 涂色问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理涂色重复/相邻约束，核心是按涂色顺序（区域/颜色）分步，相邻区域不同色为核心约束，颜色可重复使用但相邻必不同。 二、解题思路（2大主流法，按需选） 方法1：按区域顺序分步涂色（通用，首选） 1. 定顺序：按区域相邻关系定涂色顺序（如从相邻最多的区域开始，减少分类）； 2. 分步涂：依次给每个区域涂色，每一步确定当前区域的可选颜色数（排除相邻区域已涂颜色）； 3. 遇分类：若某一步涂色受后续区域约束（如颜色可选数不唯一），按可选颜色数分类，再对每类分步； 4. 算总数：步间乘、类间加，得总涂色方法数。 方法2：按颜色数量分类涂色（适用于颜色数固定、区域数少） 1. 定范围：确定完成涂色需用的颜色数（如个区域用种颜色，）； 1. 先选色：从总颜色中选种，用组合数（为总颜色数）； 1. 再涂色：将选好的种颜色按“相邻不同色”涂到区域，用排列数/分步乘法算方法数； 1. 算总数：每类（不同颜色数）内“选色×涂色”，各类间相加。 关键：优先从相邻区域最多的区域开始涂色，减少分类；颜色无区别时只分步，有区别时结合排列。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·月考）如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（   ） A．20种 B．19种 C．18种 D．17种 【答案】D 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】第一行全蓝（蓝蓝蓝）： 第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1(全蓝)+3(1个红)+1(2个不相邻红)种； 第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）： 第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为(蓝 X Y)， 要求X、Y不都红，共3种合法染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； 第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）： 第二行中间格子不能为红，第二行格式为(X 蓝 Y)， X、Y无相邻限制，共种合法染色； 第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）： 和第一种情况对称，共3种合法染色； 第一行两个红（红蓝红）： 第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为(蓝 X 蓝)， X可红可蓝，共2种合法染色. 所以总染色方法数：种，故选D. 例2．（25-26高二下·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    【答案】72 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：    ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 例3．（25-26高二下·江苏宿迁·月考）（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按区域顺序，结合相邻约束确定各区域颜色选择数，用分步乘法计数原理计算总方案数； （2）采用补集思想，先计算满足相邻不同的所有种植方法，再剔除仅使用2种作物的不符合情况，得到最终结果. 【详解】（1）由区域相邻关系，与、相邻，与、、相邻， 与、、相邻，与、相邻. 区域有种颜色可选，区域与相邻，有种颜色可选，区域与、均相邻， 有种颜色可选，区域仅需与、颜色不同，有种颜色可选. 所以方案数为. （2）先不考虑“3种作物全部种植”的限制，仅满足相邻试验田作物不同的条件： 第1块田有种作物可选，后续每块田只需与左侧相邻田作物不同， 各有种选择，总方法数为. 从种作物中选种，有种选法，种作物交替种植仅种方式， 故仅种种作物的方法数为. 所以方案数为. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川广安·月考）如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．64 B．72 C．84 D．96 【答案】B 【详解】根据题意可知需要5步才能涂完， 第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选； 第三步，涂区域，共有2种颜色可选； 第四步，涂区域， 若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选， 若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选， 利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种. 变式2．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解． 【详解】解： ①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，此时共有种， 综上，共有种． 变式3．（24-25高二下·安徽·月考）给如图所示的五个区域涂色，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同. (1)最少需要几种颜色才可以完成涂色任务? (2)现有四种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法. 【答案】(1)3种 (2)72 【分析】根据排列组合涂色问题解题方法，先分类再分步完成涂色即可. 【详解】（1）由题意得A，B，E三个区域的颜色互不相同，则需要三种颜色，D可以与B的颜色相同，C可以与A的颜色相同，所以最少需要3种颜色才可以完成涂色任务. （2）分两种情况: 情况一：A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有种涂法; 情况二：A，C同色，先涂A，C有4种，E有3种，B，D各有2种，有种涂法. 所以共有24+48=72种不同的涂色方法. 考点二 数字排列问题 【知识点解析】 一、解题原理 以分步乘法为核心，结合分类加法处理数字的特殊约束（如首位非0、奇偶性、重复/不重复、某数位固定等），核心是先排特殊位置/特殊数字，再排普通位置/数字。 二、解题思路（核心：特殊优先，分类讨论） 1. 清约束：明确数字排列的约束条件（如数字是否可重复、首位非0、某数位为奇数/偶数、含特定数字等）； 2. 特殊优先： - 特殊位置优先排（如首位、指定数位）：先排有约束的位置，再排无约束的普通位置； - 特殊数字优先排（如0、奇数/偶数、指定数字）：先排特殊数字到对应位置，再排普通数字； 3. 分步/分类算： - 无重复数字：排完一个位置/数字，剩余可选数减1，步间乘； - 有重复数字：每步可选数不变，步间乘； - 约束冲突时分类（如0与奇偶性同时约束）：按特殊数字的位置/取值分类，类间加、步间乘； 4. 验结果：排除不符合约束的排列（如首位为0、数位奇偶性错误），确保结果有效。 关键：首位非0是高频核心约束，数字不重复时注意剩余数字的可选数，有重复时直接按步计算。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【答案】(1)240 (2)352 (3)108 【分析】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【详解】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 例2．（24-25高二下·江苏南通·月考）在这个数字中选择若干个数. (1)能组成多少个无重复数字且为的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且不大于的四位数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分个位数为和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解； （2）分千位数为或和两种情况讨论，再根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可得解. 【详解】（1）当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； 当个位数为时，则万位数有种选法， 则千位数有种选法，百位数有种选法，十位数有种选法， 所以能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数， 综上所述，能组成个无重复数字且为5的倍数的五位数； （2）当千位数为或时， 则能组成个无重复数字且不大于3450的四位数； 当千位数为，百位数为，十位数为时，则符合题意的数只有一个； 当千位数为，百位数为，十位数不为时， 则十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种； 当千位数为，百位数不为， 则百位数有种选法，十位数有种选法，个位数有种选法， 所以符合题意的数有种， 综上所述，能组成个无重复数字且不大于3450的四位数. 例3．（24-25高二下·江苏泰州·期中）从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的三位数? (2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数? 【答案】(1)180 (2)105 【分析】（1）根据给定条件，任取3个数的排列数，去年百位数字是0的个数即可. （2）按个位数字是0和2，4，6之一分类求出三位偶数的个数即可. 【详解】（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个， 所以没有重复数字的三位数个数是. （2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个， 所以没有重复数字的三位偶数个数是. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·天津河西·期中）用0-5这六个数字可以组成没有重复的 (1)三位数有多少个? (2)四位偶数有多少个? (3)能被5整除的四位数有多少个? 【答案】(1)100 (2)156 (3)108 【分析】（1）先分析百位，再根据排列组合求解即可； （2）分析末尾的情况求解即可 （3）分末尾为0和5与首位的情况求解即可. 【详解】（1）百位不能为0，三位数共有个. （2）末位为0的四位偶数有5×4×3=60个； 末位为2的四位偶数有4×4×3=48个； 末位为4的四位偶数有4×4×3=48个； 故共有156个四位偶数. （3）能被5整除的数的个位数字是0或5. 根据分类计数原理知 当末位是0时，千位、十位和百位从5个元素中选3个进行排列有种结果， 当末位是5时，千位数字不能取零，有种取法，十位和百位从4个元素中选2个进行排列有种结果，共有个结果， 根据分类计数原理知共有60+48=108个能被5整除的四位数. 变式2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答） (1)三位数？ (2)无重复数字的三位数？ (3)小于的无重复数字的三位数？ (4)无重复数字的三位数的奇数？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）因为百位不能是0，可以有重复数字，按特殊优先原则，应用分步乘法计数原理可得解； （2）因为0不能做百位，故先安排百位的数字，然后剩下的数字中，分别选取百位及个位数字即可； （3）为百位是5的所有数据中最小的三位数，要求小于，则先确定百位的数只能取1,2,3,4中的其一，再在剩下的数据中，考虑十位及个位的数即可； （4）无重复数字的三位数的奇数，需考虑个位的数只能选奇数，百位的数字不能为0，则分类考虑百位为奇数和百位不为奇数的情况，再安排个位，最后在剩下的数据中考虑十位的安排即可. 【详解】（1）百位非零，则百位有9个数可选，十位和个位无要求，则个数字均可，共有个； （2）百位非零，则百位有9个数可选，要求无重复数字，则出现过的数不能再选择，共有个； （3）百位可为1，2，3，4中的任意数字，共有4种可能，十位有9种，个位有8种，共有个； （4）十个数字中有5个奇数5个偶数， 第一类：百位为奇数，则可以有5种选择，个位还有4个奇数可选，十位无限制，还有8个数字可选，共有个； 第二类：百位为非零偶数，则共有4种，个位有5个奇数可选，十位无限制，还有8个数字可选，共有个； 综上，共有个. 变式3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数. (1)可以组成多少个偶数？ (2)可以组成多少个大于24500的五位数？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用分类分步计数原理，借助优先特殊位置和排列数公式即可求解. 【详解】（1）第一类：排末位且数字不同的五位数有种； 第二类：排末位且数字不同的五位数有种； 所以可以组成数字不同的五位数的偶数有：种； （2）第一类：首位是比2大的五位数有：种； 第二类：首位是2，千位是比4大的五位数有：种； 第三类：首位是2，千位是4，百位比4大的五位数有：种； 所以大于24500的数字不同的五位数有：种. 考点三 相邻问题 【知识点解析】 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南京·月考）有6个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（   ） A．144 B．72 C．48 D．36 【答案】B 【详解】由题意，先让3人坐定，有种方法， 然后将相邻的两个空位看作一个座位，再将两个座位插入3人形成的4个空位中，有种方法， 因此，恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为. 例2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 例3．（2025·山东·一模）现有3名男生和3名女生要与班主任站成一排合影，班主任站中间，则3名女生有且仅有2名相邻的站法总数为__________.（结果用数字作答）. 【答案】 【分析】先确定班主任位置，再从3名女生中选2名，将“相邻”的女生与剩余1名女生排列，最后排列男生，根据分步乘法计数原理计算站法总数. 【详解】班主任站中间位置，只有1种站法； 从3名女生中选2名女生，有种选法， 将“相邻”的2名女生排列，有种排法，则另外一个女生有种排法， 将3名男生排入剩下的3个空位种，有种排法， 根据分步乘法计数原理，总站法数为. 故答案为： 例4．（2024·上海奉贤·一模）若五人站成一排，如果必须相邻，那么排法共______种. 【答案】48 【分析】元素相邻问题运用捆绑法求解. 【详解】第一步：把捆绑当作一个元素与进行排列共有种； 第二步：之间进行排列共有种； 根据分步计数原理可知：排法的总数共有种. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·江苏常州·期末）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】D 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 变式2．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 变式3．（25-26高二下·上海·月考）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著．书架的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书形成的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有______种．（结果用数值表示） 【答案】600 【详解】若四大名著中恰有3本相邻，先从四本名著中选出3本捆绑在一起，3本名著先进行全排列， 再从5个空中选择两个进行插空，有种插法， 若四大名著中4本均相邻，4本名著进行捆绑，进行全排列，再从5个空中选1个插空， 有种插法， 故不同的插法共有种. 变式4．（25-26高二上·陕西渭南·期中）有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 【答案】 【分析】由捆绑法，结合全排列即可求解. 【详解】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 考点四 不相邻问题 【知识点解析】 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏南通·月考）一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有（   ）种. A．48 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【详解】总共有 8 股道，要停放 4 列火车，那么剩下的空股道有股. 这 4 条空股道排好后，会形成 个可以插入火车的 “空隙”（包括两端）. 首先，从 5 个空隙中选 4 个，有 种选法， 然后，将 4 列不同的火车在这 4 个位置上进行全排列，有种排法. 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数，即：种. 例2．（25-26高二下·河南驻马店·月考）3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．720 B．432 C．228 D．114 【答案】B 【分析】根据题意，先排队头和队尾，再排4名女越野爱好者，最后将剩余的1名男越野爱好者插入，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先从3名男越野爱好者中选2名排在队头和队尾，有种排法， 再将4名女越野爱好者进行全排列，有种排法， 排好队头和队尾的2名男越野爱好者和4名女越野爱好者后，形成3个空位（女越野爱好者之间的空位）， 将剩余的1名男越野爱好者插入这3个空位中，有3种插法， 根据分步计数原理，可得共有种不同的排法. 例3．（24-25高二下·上海宝山·期中）某班3个男孩和2个女孩站成一排做游戏，这2个女孩不相邻的站法种数为__． 【答案】 【分析】采用插空法来求解.先排好个男孩，再在男孩形成的空位中插入个女孩，最后根据排列组合的乘法原理计算出所有的站法种数. 【详解】个男孩进行全排列，则个男孩的排列方法有种. 个男孩排好后会形成个空位（包括两端），从这个空位中选个空位安排个女孩. 则个女孩的排列方法有种. 根据排列组合的乘法原理： 所以个女孩不相邻的站法种数为（种）. 故答案为：72. 例4．（24-25高二下·新疆·月考）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种． 【答案】35 【分析】利用插空法将4盏熄灭的路灯插入7个符合题意的空隙中，计算即可得出结论. 【详解】根据题意可先将8盏没有熄灭的路灯排成一排， 因为两端的灯不能熄灭，所以有7个符合题意的空隙， 在7个空隙中选择4个插入4盏熄灭的路灯， 即共有种. 故答案为：35 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为（    ） A．12 B．26 C．52 D．104 【答案】A 【分析】分类讨论数字1出现的位置，即可由分类加法以及排列求解. 【详解】第一张为1时; 若第五张为1，则仅有1种排法； 若第三张为1，有种排法. 若第四张为1，有种排法. 第二张为1时; 若第四张为1，则共种排法， 若第五张为1，有种排法， 第三张为1时，第五张为1，有种排法， 综上可得：总计12种排法. 变式2．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（   ） A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 【答案】D 【分析】分类讨论求解， 第一类，甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻；第二类，甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件.从而得解. 【详解】甲和乙之间恰好有1人，有两种情况： 甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有种， 甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件，有种，共有种． 故选：D. 变式3．（25-26高二下·上海·月考）6个人站成一排，甲、乙、丙三人不都站在一起，有______种排法．（结果用数值表示） 【答案】576 【分析】先求出6人站成一排，有多少种排法，再计算把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有多少种排法，这样就可以用减法求出甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数. 【详解】求出6人站成一排，有种排法， 把甲、乙、丙3个人捆绑在一起，再跟剩下的3人排列，有种排法， 因此甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为. 变式4．（24-25高二下·天津·期中）甲乙丙丁在内的6位同学站成一排，则甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有______种.（用数字作答） 【答案】 【分析】利用捆绑法和插空法求解即可. 【详解】将丙丁捆绑和甲乙以外的两人排列，有种，形成了四个空， 再将甲乙插入四个空，有种， 所以甲乙不相邻，丙丁相邻的站位方式共有种. 故答案为：. 考点五 分组分配问题 【知识点解析】 将个不同元素分成组，且每组的元素个数分别为，记 (1)无序非均匀分组：将个不同元素分成组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为. (2)无序均匀分组：将个不同元素分成不编号（即无序）的组，每组元素数目相等，其分法种数为. (3)无序部分均匀分组：将个不同元素分成不编号的组，其中有组元素个数相等，其分法种数为.如果再有组均匀分组，应再除以; (4)有序非均匀分组：将个不同元素分成组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为. (5)有序均匀分组：将个不同元素均匀分成有编号（即有序）的组，其分法种数为. (6)有序部分均匀分组：将个不同元素分成有编号的组，其中有组元素个数相等,其分法种数为. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江西南昌·月考）含A，B，C，D在内的南昌二中的5位同学决定在五一假期期间打卡三清山、井冈山、庐山这三个江西的知名景区，若要求每位同学恰好打卡一个景区，每个景区至少安排一位同学打卡，且A，B不去同一个景区，则不同的打卡方案种数为（    ） A．90 B．114 C．132 D．150 【答案】B 【分析】将5位同学按分成3组，并分配到3个景点打卡方法数，再减去去同一景点的方法数即可. 【详解】依题意，5位同学分成3组，有种方法，将3组同学分配到3个景点打卡，有种方法， 因此每位同学恰好打卡一个景区，每个景区至少安排一位同学打卡的方法种数是， 其中去同一景点的打卡方法种数是， 所以不同的打卡方案种数为. 例2．（2026·山东青岛·一模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 例3．（2026·福建·二模）为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组．现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是__________．（用数字作答） 【答案】 【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算. 【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有与, 当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组,存在与两种分配情况, 此时,; 当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组,存在与两种分配情况, 此时,; . 例4．（2026·安徽淮北·一模）某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修学科，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修学科选完，则每位同学的不同选修方式有__________种 【答案】 【详解】由题意可知三年修完门学科，则每位同学每年所修课程数为，，或，，或，，， 1.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式， 再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式， 由乘法原理可得共有 种； 2.将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式， 再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式， 由乘法原理可得共有种； 3. 将门学科分成数量为，，的三组共有种不同方式， 再将这三组课程分配到三个学年，共有种不同分配方式， 由乘法原理可得共有 种． 所以每位同学的不同选修方式有种． 例5．（25-26高二下·广东广州·月考）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ (1)（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2)（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本； (3)（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本； (4)（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人； (5)（平均分组）平均分成三堆． 【答案】(1)60 (2)60 (3)360 (4)90 (5)15 【分析】（1）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （2）根据（1）中的结论进行求解即可； （3）根据（1）中的结论，结合排列的定义进行求解即可 （4）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可； （5）根据组合和排列的定义进行求解即可. 【详解】（1）先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）； （2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）． （3）分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）； （4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有 种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 种方法，所以一共有=90种方法． （5）把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有 种．所以＝ ，则(种）. 例6．（25-26高二上·甘肃嘉峪关·期末）甲、乙、丙等6名学生准备利用假期时间从三个社区中选一个参加志愿者活动，每个社区至少安排1人． (1)若每个社区刚好安排2人，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙、丙全部分到同一个社区，则不同的安排方法有多少种？ (3)若甲、乙、丙分别分到三个社区，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先平均分成3组，然后利用全排列和分步计数原理求解即可； （2）先将6名学生分成3组，其中甲、乙、丙在同一组，可分为两种情况：①甲、乙、丙为一组，其余3人分成两组；②甲、乙、丙与另外1人组成一组，其余2人各为一组。计算出两种情况下的安排方法数再相加即可； （3）先将甲、乙、丙分别安排到3个社区，然后剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，进而利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）将6名学生平均分成3组， 分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； （2）①甲、乙、丙看作一组，有1种分法． 将剩下的3人分成2组，分法数为（种）， 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； ②甲、乙、丙和剩余3人中的1人形成一组，其余2人各一组，有3种分法． 再将分好的3组全排列，安排到3个社区，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）； 综上不同的安排方法有（种）； （3）甲、乙、丙分别安排到3个社区，有（种）， 剩下的3人每人都可以选择3个社区中的任意一个，有（种）， 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有（种）. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西·二模）城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（    ）种不同的安排方式 A．9 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 变式2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 【答案】B 【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解． 【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况， 所以共有种不同情况． 变式3．（2026·福建厦门·二模）某校安排3名男生和2名女生分两组去甲、乙两地参加社会调研．已知每组至多3人，且至少有1名男生，则不同的安排方案共有______种（用数字作答）． 【答案】18 【分析】结合排列组合知识，按照分类加法原理和分步乘法原理求解即可. 【详解】先将3名男生和2名女生按要求分成两组，有两类分组方法： 第一类：由1男1女组成一组，其余2男1女组成一组，有种分法； 第二类：由1男2女组成一组，其余2男组成一组，有种分法. 所以共有种分组方法. 再将分好的两组分配到甲、乙两地参加社会调研，有种分法， 根据乘法分步原理，不同的安排方案有种. 变式4．（25-26高三下·四川广安·月考）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 _______ .（用数字作答） 【答案】30 【分析】分按和两种情况分组，结合排列数、组合数运算求解即可. 【详解】分两种情况讨论： ①按分组：根据题意，甲乙必在人组，再从{丙，丁，戊}中选人加入该组，有种选法， 此时形成的三个小组（一个人组，两个人组）安排到三个不同教室，有种方法， 故共有种方法； ②按分组：根据题意，甲乙自成一个人组。因丙丁不安排在同一教室，故另一个人组只能是{丙，戊}或{丁，戊}，有种选法， 此时形成的三个小组(两个2人组，一个1人组)安排到三个不同教室，有种方法， 故共有种方法； 综上可得：不同的安排方法数共有种. 变式5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲、乙、丙必须相邻，则不同的排列方案有多少种? (2)6名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种? (3)6名同学平均分成三组，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种? 【答案】(1)144 (2)144 (3)90 【分析】（1）采用捆绑法求解； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）利用平均分组分配的方法求解. 【详解】（1）将甲、乙、丙组成一个整体，再与其余3人全排列， 共有种排列方案； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）名学生平均分配到三项不同的社区有种方法. 变式6．（25-26高二上·辽宁·月考）（1）要把6本不同的课外书分给甲、乙、丙三名同学： （i）如果每人都得2本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果要求甲得1本，乙得2本，丙得3本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果要求一人得1本，一人得2本，一人得3本，则共有不同的分法多少种？ （2）要把6本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里： （i）如果一个袋子中1本，一个袋子中2本，一个袋子中3本，则共有不同的分法多少种？ （ii）如果每个袋子中都是2本，则共有不同的分法多少种？ （iii）如果每个袋子中至少1本，则共有不同的分法多少种？ （计算结果用数字作答） 【答案】（1）（i）种，（ii）种，（iii）种.（2）（i）种，（ii）种，（iii）种. 【分析】（1）（i）依次从6本书中选择2本分给甲，从剩余4本书中选择2本分给乙，剩余2本分给丙.（ii）按要求将书直接分配给甲乙丙三人即可.（iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，然后再分配给甲乙丙三人. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本，按照不平均分组进行计算即可.（ii）每个袋子中都是2本，即为平均分组，要除以重复部分，可计算结果;（iii）每个袋子至少1本，有可能2组各有1本，1组4本，有可能1组1本，1组2本，1组3本，有可能每组2本，按照平均分组和不平均分组的方式计算可得结果. 【详解】（1）（i）从6本书中选择2本书给甲，有种方法； 再从剩余4本书中选择2本书给乙，有种方法； 剩余的2本书给丙，有种方法;所以有种分配方法． （ii）从6本书中选一本给甲，有种分配方法；从剩余5本书中选2本给乙，有种分配方法，将剩余3本书给丙，有种分配方法. 所以分配方式共有种. （iii）将6本书按照1组1本，1组2本，1组3本的分组方式进行分组，有种方法，再将分好的组分给甲乙丙三人，则有种分配方法. （2）（i）因为手提袋相同，所以即为将6本不同的书分为3组，1组1本，1组2本，1组3本， 种方法， （ii）每袋2本，为平均分组，所以要除以重复的部分，所以共有种. （iii）每个袋子至少1本，有可能有2组各1本，1组4本，有种方法， 有可能1组1本，1组2本，1组3本，有种方法， 有可能每组2本，有种方法，所以共有种. 2 学科网（北京）股份有限公司 $