微拓展 涂色问题5种常见考法归类讲义（39题）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 微拓展 涂色问题5种常见考法归类（39题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直线型涂色问题 考点二 平面直线涂色问题 考点三 区域型涂色问题 考点四 立体型涂色问题 考点五 探索型涂色问题 在高中数学的排列组合知识体系中，涂色问题因其需要综合运用分类讨论、分步乘法计数原理等知识，成为极具代表性的题型。这类问题通常以“相邻区域不同色”为约束条件，考查学生的逻辑推理与分类整合能力。 典例：用4种颜色涂如图5个区域，相邻区域不同色，可以有不用的颜色，则共有多少种涂法? 一、常规分类讨论法：保底的解题逻辑 常规分类讨论法是解决涂色问题的基础方法，其核心思想是按照一定顺序对区域依次涂色，在过程中根据颜色是否相同进行分类，最终利用“分类加法计数原理”和“分步乘法计数原理”计算总数。 （一）解题步骤 1.选择起始区域：优先选择相邻区域最多的区域作为起始涂色对象，在本题中，区域与均相邻，是最优起始区域。区域的涂色方法有种。 2.涂相邻区域：选择与相邻的区域（如），因需与颜色不同，故有种方法。 3.涂下一个相邻区域：选择与相邻的区域（如），需与颜色不同，有种方法。 4.分类讨论关键区域：涂区域时，因与不相邻，需分两类讨论： (1)若与同色，区域需与颜色不同，有种方法。 (2)若与不同色，区域只有种选择（因已用3种颜色），区域需与颜色不同，也只有种方法。 5.计算总数：根据分类加法和分步乘法原理，总数为种。 （二）方法评析 该方法逻辑清晰，是解决涂色问题的“保底”策略，适用于所有涂色问题。但当区域数量较多时，分类情况会大幅增加，解题过程较为繁琐。 二、捆绑法：化不相邻为相邻的技巧 捆绑法的核心是将不相邻但颜色选择存在关联的区域“捆绑”为一个元素，通过减少元素数量简化问题，再结合分类讨论求解。 （一）解题步骤 1.识别捆绑组：在本题中，不相邻的区域组为和，将其分别捆绑。 2.分类讨论捆绑组颜色： (1)若与同色、与同色：有种选择，有种选择，有种选择，共种。 (2)若与同色、与不同色：有种选择，有种选择，有种选择，有种选择，共种。 (3)若与不同色、与同色：此情况与“与同色、与不同色”对称，共种。 (4)若与不同色、与不同色：此时需用4种不同颜色，无颜色可选，故此情况不存在。 3.计算总数：将前三种情况相加，种。 （二）方法评析 捆绑法通过整合不相邻区域，减少了分类的复杂度，适用于存在明显不相邻区域组的涂色问题。但需注意判断“捆绑后颜色冲突”的情况（如上述第四种情况）。 三、交集枚举法：聚焦最多相邻元素的高效策略 交集枚举法的关键是先确定“最多相邻元素组”（即一组区域中任意两个区域均相邻），再通过枚举该组的涂色方式，结合后续区域的涂色可能性计算总数。 （一）解题步骤 1.确定最多相邻元素组：在本题中，区域两两相邻，构成最多相邻元素组。 2.枚举最多相邻元素组的涂色方式：对进行涂色，有种选择，有种选择，有种选择，共种方式。 3.分析剩余区域的涂色可能性：对于每一种的涂色方式，区域的涂色方式有种（通过枚举可验证）。 4.计算总数：总数为种。 （二）方法评析 交集枚举法通过聚焦“最多相邻元素组”，大幅减少了分类次数，计算效率最高。但对“最多相邻元素组”的识别要求较高，需要学生具备较强的图形分析能力。 四、三种方法的对比与总结 方法类型 优点 缺点 适用场景 常规分类讨论法 逻辑基础，通用性强 区域多时分类繁琐 所有涂色问题，尤其是作为保底方法 捆绑法 整合不相邻区域，减少分类 需判断捆绑后颜色冲突情况 存在明显不相邻区域组的问题 交集枚举法 计算高效，步骤简洁 对“最多相邻元素组”识别要求高 存在清晰最多相邻元素组的问题 综上，三种方法各有优劣，在实际解题中，学生可根据题目特点选择合适的方法。常规分类讨论法是基础，捆绑法和交集枚举法是提升解题效率的进阶策略，掌握这三种方法，可全面攻克排列组合中的涂色问题。 考点一 直线型涂色问题 1．（2026高二·江苏常州·期末）从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．24种 B．72种 C．108种 D．120种 【答案】C 【分析】分类讨论，利用排列知识可求得答案. 【详解】用两种颜色时，涂法有种； 用三种颜色时，涂法有种； 用四种颜色时，涂法有种； 所以不同的涂色方法共有种. 故选：C. 2．（2026高二·重庆綦江·月考）用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种. 【答案】 【分析】根据题意，可分四种颜色、三种颜色和两种颜色，分类讨论，结合组合数公式和计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，若用四种颜色时，有种涂法； 若用三种颜色时，则“爱国，诚信”或“爱国，友善”或“敬业，友善”中有一个时同色， 先选三种颜色种选法，再从上述中选一个同色的有， 根据分步计数原理，有种涂法； 若用两种颜色时，则“爱国，诚信”同色，“敬业，友善”同色， 先选两种颜色种选法，有种涂法， 由分类计数原理，共有种不同的涂法. 3．（2026高二·河北邯郸·期中）如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 【答案】13020 【分析】对最中间的4个方格进行分类讨论，分为中间4个方格中有2个方格涂红色、中间4个方格中只有1个方格涂红色、中间4个方格都不涂红色三种，每一种逐个根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】设方格从左至右分别命名为， 因为两端都涂红色，且相邻方格不同颜色，所以中间4个方格也可以涂红色， ①当中间4个方格中有2个方格涂红色时， 涂红色的位置有方格3、5或方格4、6或方格3、6共3种选择， 剩下的4个方格，还有两个单独和两个相邻的，而其左右两边皆为红色方格， 对于两个单独的方格而言，除红色外其他颜色都可选取，共种， 对于相邻的两个方格，其中第一块方格可选除红色外的5种颜色， 第二块方格选取剩余4种颜色，共种， 所以该类涂法一共有种； ②当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择， 未涂色区域划分为两部分，其中对于每一部分， 其中第一块方格都可以涂除红色外的5种颜色， 剩余的都只能涂除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色， 故剩下的共有种选择，所以该类涂法一共有种； ③当中间4个方格都不涂红色时， 中间一大块区域每个方格均只能涂上除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色， 共有种； 综上，不同的涂色方法共有种． 4．（2026高二·江苏宿迁·月考）（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按区域顺序，结合相邻约束确定各区域颜色选择数，用分步乘法计数原理计算总方案数； （2）采用补集思想，先计算满足相邻不同的所有种植方法，再剔除仅使用2种作物的不符合情况，得到最终结果. 【详解】（1）由区域相邻关系，与、相邻，与、、相邻， 与、、相邻，与、相邻. 区域有种颜色可选，区域与相邻，有种颜色可选，区域与、均相邻， 有种颜色可选，区域仅需与、颜色不同，有种颜色可选. 所以方案数为. （2）先不考虑“3种作物全部种植”的限制，仅满足相邻试验田作物不同的条件： 第1块田有种作物可选，后续每块田只需与左侧相邻田作物不同， 各有种选择，总方法数为. 从种作物中选种，有种选法，种作物交替种植仅种方式， 故仅种种作物的方法数为. 所以方案数为. 考点二 平面直线涂色问题 5．（2026·浙江杭州·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解． 【详解】解： ①②同色时，矩形A另外两边有种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种； 若①②同色，③④同色，则有种； 若①④同色，②③同色，则有种； 此时共有种； 综上，共有种． 考点三 区域型涂色问题 6．（2026高二·宁夏·期中）如图，某社区为墙面四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．84种 【答案】D 【分析】不妨先涂，再分和同色或异色，结合分步乘法和分类加法计数原理进行求解即可． 【详解】解：不妨先涂，共有4种颜色可选， 当和同色时，和有三种颜色可选，也有3种颜色可选， 当和异色时，不妨先涂，则有3种颜色可选，再涂，则有种颜色可选， 最后涂D，则有种颜色可选， 综上，共有种涂法． 7．（2026高二·重庆·月考）如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（   ） A．24 B．72 C．20 D．48 【答案】B 【分析】按照的序号分步选择颜色，在4号区域选颜色时根据它与2号区域是否同色分类. 【详解】由题意第一步1号区域有4种方法，第二步2号区域有3种方法，第三步3号区域有2种方法，第四步4号区域有2种方法：与2号相同颜色的一种，则第五步有2种方法，与2号不同颜色的一种，则第五步有1种方法， 所以方法数为. 8．（2026高二·甘肃白银·期末）如图，一环形花坛分成A，B，C，D，E五块区域，现有5种不同的花供选种，要求在每块区域里种一种花，且相邻的2块区域种不同的花，则不同的种法总数为（    ） A．420 B．380 C．360 D．320 【答案】A 【分析】分类讨论，按照所种的花的种数考虑，根据分步乘法以及分类加法原理，即可求得答案 【详解】由题意可分三类情况：种三种花时，种同种花，有种种法； 种四种花时，其中之一相对的区域种同种花，有种种法； 种五种花有种种法，故共有（种）. 故选：A 9．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期中）现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有_______种． 【答案】420 【分析】按照⑤①②③④的顺序分步涂色，注意涂③时再根据它与①是否同色分类． 【详解】第一步涂⑤有5种方法，第二步涂①有4种方法，第三步涂②有3种方法， 第四步涂③，它与①同色时有1种方法，然后第五步涂④有3种方法， 第四步涂③，它与①不同色时有2种方法，然后第五步涂④有2种方法， 所以共有方法数为． 10．（2026高三·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 【答案】D 【分析】直接根据，，，，，，按顺序涂色，逐步分析各个步骤的可能数，最后根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 11．【多选】（2026高三·湖南邵阳·月考）用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 【答案】ABD 【分析】由分类乘法计数原理结合相邻区域不能同色的条件，即可求解. 【详解】对于A，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种涂法，再涂区域，有2种涂法， 最后涂区域，因为要保证4种颜色全部使用，故只有1种涂法， 故共有种方法，所以A正确； 对于B，先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法， 再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以B正确； 对于C，若用4涂色，则区域有3种方法，区域有2种方法， 区域有1种方法，由A知总情况有24种，则概率为，所以C错误； 对于D，若用2涂色，则区域有2种方法，区域有1种方法， 区域有1种方法，由B知总情况有6种，则概率为，所以D正确； 12．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（    ） A．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B．四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C．任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D．，两个区域涂同种颜色的概率是 【答案】BCD 【详解】先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法，故共有种方法，故A错误； 四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故B正确； 当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法， 当，不同色时，由选项B可知有种方法， 即任选若干种颜色涂色的不同方法数为180，故C正确； 由选项C可知，，两个区域涂同种颜色的概率是，故D正确. 13．（2026高二·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 【答案】C 【详解】先分组，再种植，共有5种分组方式，同组种植一种植物， 则不同的种植方案种数为． 14．（2026高二·四川广安·阶段检测）如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．64 B．72 C．84 D．96 【答案】B 【详解】根据题意可知需要5步才能涂完， 第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选； 第三步，涂区域，共有2种颜色可选； 第四步，涂区域， 若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选， 若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选， 利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种. 15．（2026高二·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式可求得结果. 【详解】用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完， 则不同的涂色方法种数为种. 16．（2026高二·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 17．（2026高二·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 【答案】D 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 18．（2026高二·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 19．（2026高二·河北衡水·期中）如图，若从种不同的颜色中选种颜色涂在图中的号区域，要求相邻区域不同色，且所选的种颜色都要用到，不同的涂法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】由题知，种颜色都要用到，则必有两块区域颜色一致，且不相邻， 图中有且仅有两块不相邻区域同色，其中和不相邻，和不相邻，共组，从组中选一组，有种， 把这一组看作一个整体，从种颜色中选种，涂在区域上，有种，故共有种. 20．（2026高二·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 21．（2026高二·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 【答案】260 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案． 22．（2026高二·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 【答案】 【分析】分别确定“英语角”、“语文学苑”、“理综世界”、“数学天地”这四个区域所用粉笔的颜色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】完成工作可分四步： 第一步，“英语角”用的粉笔颜色有种不同的选法； 第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法； 第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有种不同的选法： 第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法． 由分步乘法计数原理知，该板报共有种不同的书写方案． 23．（2026高二·广东梅州·阶段检测）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    【答案】72 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：    ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 24．（2026高二·江苏淮安·月考）用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 【答案】260 【分析】根据题意，分用4种不同颜色、3种不同颜色、2种不同颜色，根据计数原理及排列、组合计算求解. 【详解】由题意可得要给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色， 且有邻边的区域颜色不能相同，最多可用4种不同颜色，最少可用2种不同颜色： 第一种情况，若用4种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 此时有种不同的涂色方法； 第二种情况，若用3种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则或颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 第三种情况，若用2种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色， 则，颜色相同，此时有种不同的涂色方法； 综上：不同的涂色方法种数为种. 25．（2026高二·江苏泰州·月考）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 【答案】 1024； 48 【分析】利用分步乘法计数原理可得空一；分同色和不同色计算可得空二. 【详解】空一：每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择， 则有种不同涂法； 空二：若同色：先涂有4种，然后涂有种， 此时共有种； 若不同色：先涂有种，然后涂有种，最后涂有1种， 此时共有种. 综上，共有种. 26．（2026·贵州六盘水·模拟预测）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 【答案】42 【分析】先求出1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花的方法数，再减去只栽种两种花的情况，即可得答案. 【详解】先给1区任选一种花进行栽种，其它区域不和1区栽种相同的花，不同的栽种方法有种. 只栽种两种花的情况有. 故有公共边的部分不栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种的方法数有种 考点四 立体型涂色问题 27．（2026高二·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 28．（2026高三·全国·竞赛）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可使用，则不同的染色方法的总数为（    ） A．120 B．260 C．340 D．420 【答案】D 【分析】分别求出用五种，四种，三种颜色涂色的方法数，再求和即可. 【详解】由题设四棱锥为，若用五种颜色，则共有（种）方法； 若用四种颜色，A，C同色，或B，D同色，共有（种）方法； 若用三种颜色，则底面的两组对角顶点必须分别同色（A和C同色，B和D同色），且与顶点P的颜色不同，相当于从5种颜色中选3种对P点、点组、点组进行全排列，方法数为（种）； 综上，不同染色方法共有120+240+60=420（种）． 故选：D 29．（2026高二·广东广州·期中）用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种． 【答案】264 【分析】根据给定条件，按用4色、3色分类，再利用排列计数问题及分步乘法计数原理列式求解. 【详解】用4种颜色涂，涂点有种方法，从中选一点涂第四种颜色有种方法， 涂余下两点有3种方法，不同涂色方法有种； 用3种颜色涂，涂点有种方法，再涂点有2种方法，不同涂色方法有种， 所以所求涂色方法种数为. 30．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 【答案】B 【分析】根据使用颜色种数分类，利用排列组合可得. 【详解】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故选：B 31．【多选】（2026高二·河南洛阳·期中）在直三棱柱中，下列说法正确的是（   ）    A．以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个 B．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 C．过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对 D．给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种 【答案】ABD 【分析】对于A，直接考虑选取的四面体的个数即可；对于B，直接考虑选取两个不同点的情况即可；对于C，结合A选项，根据每个四面体有3对异面直线求解；对于D，按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂三点涂法数，再讨论点A，B，C的涂法数即可. 【详解】对于A，三棱柱有六个顶点，可组成个四面体，即三棱锥有12个，故A选项正确； 对于B，三棱柱有六个顶点，可组成条直线，故B选项正确； 对于C，三棱柱有六个顶点，可组成个四面体，而每个四面体有3对异面直线，则共有对，故C错误； 对于D，计算不同涂色方法数有两类方法： 当涂四色时，先涂，，，有种涂法，再从A，B，C中选一点涂第四种颜色，如A，再涂B， 若B与同色，则C有2种涂法，若B与异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法， 当涂三色时，先涂，，，有种涂法，再涂A，有2种涂法，则B，C各有1种涂法，故有种涂法， 利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为： (种)， 所以不同的涂色方法共有264种，故D选项正确. 32．（2026高二·天津南开·期中）将图中四棱锥的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色，共有______种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有______种不同涂法． 【答案】 72 48 【分析】分两种情况：用三种颜色和四种颜色，分别求出每种情况数即可得到答案． 【详解】当只用三种颜色时， 同色、 同色且P与两组皆异色， 而从4种颜色选择3种，有种选择； 当用四种颜色时，同色或同色，所以从和中二选一，涂相同颜色，看成一组，再将四种颜色进行全排列，故有种选择； 综上，共有种选择，其中4种颜色全部使用时，有种． 33．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有______种.    【答案】420 【分析】根据颜色分类，利用排列组合可得. 【详解】若5种颜色全涂，有种； 若5种颜色涂4种，则左右侧面或前后侧面涂同种颜色，有种； 若5种颜色涂3种，则左右侧面涂同种颜色，前后侧面涂同种颜色，有种 可得，故不同的涂色方案共有420种. 故答案为：420 34．（2026高二·全国·课后作业）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 【答案】420 【分析】按，是否同色分两类，求出两类的染色情况数； 再利用分类加法计数原理进行计算求解即可. 【详解】按照的顺序进行染色，按照，是否同色分类： 第一类，，同色，则有（种）不同的染色方法． 第二类，，不同色，则有（种）不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的染色方法． 故答案为：420 35．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完，则不同的涂法有______种． 【答案】264 【分析】根据涂色需要的颜色数量分别结合排列组合计算求解. 【详解】根据题意可得，用3种颜色涂色有（种），用4种颜色涂色有（种）， 共有（种）． 故答案为：. 考点五 探索型涂色问题 36．（2026高三·全国·专题练习）可将此类题型进行推广：将一个圆分成一个小圆和个扇环（如图所示），用种不同的颜色对这个区域着色，每一个区域着一种颜色，相邻区域着不同颜色，共有多少种不同的着色方法？ 【答案】，，． 【分析】涂色问题，特殊位置要求不同，先确定小圆的涂色，再确定圆环的涂色，根据分步计数原理可得结果. 【详解】小圆有种颜色可选， 第一个扇环有种颜色可选，其余扇环(从第二个到第个)在不与相邻区域颜色相同的情况下，每个扇环有种颜色可选； 由于第个扇环与第一个扇环相邻，需要考虑循环着色问题，利用包含排斥原理计算， 扇环颜色总的涂色方法数为 种， 所以总的着色方法为，，． 37．（2026高三·全国·专题练习）将圆分为个扇形，每个扇形用种不同颜色之一染色，要求相邻扇形所染的颜色不同，问：有多少种染色方法？ 【答案】 【分析】找到将圆分成个扇形与分成个扇形之间的联系，从而建立递推关系，再利用等比数列的求和公式进行求解即可. 【详解】设圆分成的扇形为，且一共有种染色方法， 则，， 当时，有种染法，有种染法，，有种染法，共有种方法； 但这种方法只保证与的颜色不同，不能保证与的颜色不同，所以可以分为两类： 第一类：与颜色不同，有种方法； 第二类，与颜色相同时，可将两个扇形与视为同一个扇形，便是将圆分成个扇形时同色不相邻的情况，有种方法， 故， 所以 ． 38．（2026高二·江西宜春·月考）在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数       (1)当时，求 (2)当时，找出的关系，并求出的通项公式. (3)用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）根据题意，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理，计算即可； （2）根据题意得到递推关系式，利用累加法求通项公式； （3）将问题转化成（2）小问中已有的结论，代入数值计算即可. 【详解】（1）由题意，用3种颜色给有4个区域的圆环涂色，要求相邻区域不同色， 先给涂色，有种方法， 接下来，若与同色，则有2种涂色方法，即种；若与不同色，则都只有1种涂色方法， 所以，. （2）先考虑的取值： 假设不区分是否同色，则用种颜色涂这个区域等价于对以下区域涂色： 因此共有 种，但是这其中包含了同色的情况；因此的取值应该减去同色的情况； 而同色时，可以将这两个相邻区域看成一个整体，即则用种颜色给个区域涂色， 其方法数也就是，所以有： 接下来，利用递推关系求， 由，两边同除以得：， 移项得： 利用累加法： ，又因为， 所以 ， 所以， （3）先给中间的区域涂色，共有种方法，接下来就是用剩下的种颜色涂含有个区域的“圆环涂色问题”，即（2）中的， 所以方法总数为 39．（2026高二·河南信阳·期末）绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为.    (1)求的分布列与期望； (2)若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【分析】（1）分别计算种两种、三种、四种花卉的种植方法，得到总共的种植方法，再进一步得到概率、分布列、数学期望； （2）利用分步乘法计数原理，第一步先给中间的涂色有5种方式，第二步中，每个区域都不能与同色，进而有个区域，有4种花卉可选，共有种方式，要保证与不同色，进而得到与的递推关系，转化为数列问题，构造等比数列得到，再结合第一步得到答案. 【详解】（1）的所有可能值为2，3，4. 若种两种花卉，则种植方法有； 若种三种花卖，则种植方法有； 若种四种花卉，则种植方法有； 所有的种植方法有. 所以，，， 所以的分布列为 2 3 4 的期望. （2）分两步， 第一步种植区域，有种种植方法； 第二步种植区域，在块区域种植不同的花卉（有4种花卉供选择），设不同的种植方法有种. 显然，； 当时，有4种种植方法，有3种种植方法，…有3种种植方法（不论是否与同种），所以共有种种植方法， 其中包含了与同种的情况，此时，可以看成和合为一个区域，则共有个区域，即种种植方法， 所以，可得， 所以，数列是以为公比的等比数列，又， 所以，，. 又，，也适合上式， 所以，当时，. 由分步乘法原理知，在这个区域上种植花来，不同的种植方法有，. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 微拓展 涂色问题5种常见考法归类（39题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直线型涂色问题 考点二 平面直线涂色问题 考点三 区域型涂色问题 考点四 立体型涂色问题 考点五 探索型涂色问题 在高中数学的排列组合知识体系中，涂色问题因其需要综合运用分类讨论、分步乘法计数原理等知识，成为极具代表性的题型。这类问题通常以“相邻区域不同色”为约束条件，考查学生的逻辑推理与分类整合能力。 典例：用4种颜色涂如图5个区域，相邻区域不同色，可以有不用的颜色，则共有多少种涂法? 一、常规分类讨论法：保底的解题逻辑 常规分类讨论法是解决涂色问题的基础方法，其核心思想是按照一定顺序对区域依次涂色，在过程中根据颜色是否相同进行分类，最终利用“分类加法计数原理”和“分步乘法计数原理”计算总数。 （一）解题步骤 1.选择起始区域：优先选择相邻区域最多的区域作为起始涂色对象，在本题中，区域与均相邻，是最优起始区域。区域的涂色方法有种。 2.涂相邻区域：选择与相邻的区域（如），因需与颜色不同，故有种方法。 3.涂下一个相邻区域：选择与相邻的区域（如），需与颜色不同，有种方法。 4.分类讨论关键区域：涂区域时，因与不相邻，需分两类讨论： (1)若与同色，区域需与颜色不同，有种方法。 (2)若与不同色，区域只有种选择（因已用3种颜色），区域需与颜色不同，也只有种方法。 5.计算总数：根据分类加法和分步乘法原理，总数为种。 （二）方法评析 该方法逻辑清晰，是解决涂色问题的“保底”策略，适用于所有涂色问题。但当区域数量较多时，分类情况会大幅增加，解题过程较为繁琐。 二、捆绑法：化不相邻为相邻的技巧 捆绑法的核心是将不相邻但颜色选择存在关联的区域“捆绑”为一个元素，通过减少元素数量简化问题，再结合分类讨论求解。 （一）解题步骤 1.识别捆绑组：在本题中，不相邻的区域组为和，将其分别捆绑。 2.分类讨论捆绑组颜色： (1)若与同色、与同色：有种选择，有种选择，有种选择，共种。 (2)若与同色、与不同色：有种选择，有种选择，有种选择，有种选择，共种。 (3)若与不同色、与同色：此情况与“与同色、与不同色”对称，共种。 (4)若与不同色、与不同色：此时需用4种不同颜色，无颜色可选，故此情况不存在。 3.计算总数：将前三种情况相加，种。 （二）方法评析 捆绑法通过整合不相邻区域，减少了分类的复杂度，适用于存在明显不相邻区域组的涂色问题。但需注意判断“捆绑后颜色冲突”的情况（如上述第四种情况）。 三、交集枚举法：聚焦最多相邻元素的高效策略 交集枚举法的关键是先确定“最多相邻元素组”（即一组区域中任意两个区域均相邻），再通过枚举该组的涂色方式，结合后续区域的涂色可能性计算总数。 （一）解题步骤 1.确定最多相邻元素组：在本题中，区域两两相邻，构成最多相邻元素组。 2.枚举最多相邻元素组的涂色方式：对进行涂色，有种选择，有种选择，有种选择，共种方式。 3.分析剩余区域的涂色可能性：对于每一种的涂色方式，区域的涂色方式有种（通过枚举可验证）。 4.计算总数：总数为种。 （二）方法评析 交集枚举法通过聚焦“最多相邻元素组”，大幅减少了分类次数，计算效率最高。但对“最多相邻元素组”的识别要求较高，需要学生具备较强的图形分析能力。 四、三种方法的对比与总结 方法类型 优点 缺点 适用场景 常规分类讨论法 逻辑基础，通用性强 区域多时分类繁琐 所有涂色问题，尤其是作为保底方法 捆绑法 整合不相邻区域，减少分类 需判断捆绑后颜色冲突情况 存在明显不相邻区域组的问题 交集枚举法 计算高效，步骤简洁 对“最多相邻元素组”识别要求高 存在清晰最多相邻元素组的问题 综上，三种方法各有优劣，在实际解题中，学生可根据题目特点选择合适的方法。常规分类讨论法是基础，捆绑法和交集枚举法是提升解题效率的进阶策略，掌握这三种方法，可全面攻克排列组合中的涂色问题。 考点一 直线型涂色问题 1．（2026高二·江苏常州·期末）从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．24种 B．72种 C．108种 D．120种 2．（2026高二·重庆綦江·月考）用4种颜色为“爱国、敬业、诚信、友善”涂色，相邻不同色，共有______种. 3．（2026高二·河北邯郸·期中）如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种． 4．（2026高二·江苏宿迁·月考）（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法． 考点二 平面直线涂色问题 5．（2026·浙江杭州·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 考点三 区域型涂色问题 6．（2026高二·宁夏·期中）如图，某社区为墙面四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则涂法有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．84种 7．（2026高二·重庆·月考）如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（   ） A．24 B．72 C．20 D．48 8．（2026高二·甘肃白银·期末）如图，一环形花坛分成A，B，C，D，E五块区域，现有5种不同的花供选种，要求在每块区域里种一种花，且相邻的2块区域种不同的花，则不同的种法总数为（    ） A．420 B．380 C．360 D．320 9．（2026高二·湖北省直辖县级单位·期中）现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有_______种． 10．（2026高三·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 11．【多选】（2026高三·湖南邵阳·月考）用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 12．【多选】（2026高二·重庆渝北·期中）用1，2，3，4，5五种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（    ） A．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为12 B．四个区域都涂不同颜色的不同方法数为120 C．任选若干种颜色涂色的不同方法数为180 D．，两个区域涂同种颜色的概率是 13．（2026高二·辽宁·开学考试）如图，在六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（   ） A．48 B．96 C．120 D．192 14．（2026高二·四川广安·阶段检测）如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ） A．64 B．72 C．84 D．96 15．（2026高二·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 16．（2026高二·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 17．（2026高二·宁夏吴忠·期中）现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种. A．1440 B．120 C．720 D．1560 18．（2026高二·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 19．（2026高二·河北衡水·期中）如图，若从种不同的颜色中选种颜色涂在图中的号区域，要求相邻区域不同色，且所选的种颜色都要用到，不同的涂法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 20．（2026高二·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 21．（2026高二·广东·期中）某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有__________种不同的颜色搭配方案． 22．（2026高二·江苏镇江·期中）用种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有__________种不同的书写方案． 23．（2026高二·广东梅州·阶段检测）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    24．（2026高二·江苏淮安·月考）用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______． 25．（2026高二·江苏泰州·月考）将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 26．（2026·贵州六盘水·模拟预测）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为_________. 考点四 立体型涂色问题 27．（2026高二·全国·课后作业）将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 28．（2026高三·全国·竞赛）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可使用，则不同的染色方法的总数为（    ） A．120 B．260 C．340 D．420 29．（2026高二·广东广州·期中）用四种不同颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有______种． 30．（2026高二·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有（    ）    A．360 B．420 C．480 D．660 31．【多选】（2026高二·河南洛阳·期中）在直三棱柱中，下列说法正确的是（   ）    A．以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥有12个 B．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条 C．过三棱柱任意两个顶点的直线中，异面直线有39对 D．给6个顶点各涂一种颜色，要求图中同一条线段的两个端点的颜色不同，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有264种 32．（2026高二·天津南开·期中）将图中四棱锥的五个顶点涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择，每条棱的两个端点不同色，共有______种不同涂法；若要求4种颜色全部使用，则共有______种不同涂法． 33．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，现要给固定位置的四棱锥的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择的颜色共有5种，则不同的涂色方案共有______种.    34．（2026高二·全国·课后作业）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 35．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完，则不同的涂法有______种． 考点五 探索型涂色问题 36．（2026高三·全国·专题练习）可将此类题型进行推广：将一个圆分成一个小圆和个扇环（如图所示），用种不同的颜色对这个区域着色，每一个区域着一种颜色，相邻区域着不同颜色，共有多少种不同的着色方法？ 37．（2026高三·全国·专题练习）将圆分为个扇形，每个扇形用种不同颜色之一染色，要求相邻扇形所染的颜色不同，问：有多少种染色方法？ 38．（2026高二·江西宜春·月考）在排列组合的学习中，我们会遇到一类涂色问题“圆环涂色”问题（如图一）：用种颜色给有个区域（不含最中间区域）的圆环涂色，且要求相邻区域不同色，用表示完成这一涂色的方法数       (1)当时，求 (2)当时，找出的关系，并求出的通项公式. (3)用种颜色给图二中个区域（含最中间区域）涂色，要求相邻区域不同色，求方法总数. 39．（2026高二·河南信阳·期末）绿化美化环境，建设美丽乡村.某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为.    (1)求的分布列与期望； (2)若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？ $