7.1.2 全概率公式 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 第七章 随机变量及其分布 高二数学备课组 2026/4/10 7.1 条件概率与全概率公式 1. 条件概率： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即 由条件概率公式可得 2. 概率的乘法公式： 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率. 3. 概率的加法公式： 如事件B，C互斥，则有 下面，再看一个求复杂事件概率的问题. LOGO 2 问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 分析：因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是 . 但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响. 下面我们给出严格的推导. LOGO 3 用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1, 2. 如图示，那么事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2. 问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? P(R2 | R1) P(B2 | R1) P(R2 | B1) P(B2 | B1) 利用概率的加法公式和乘法公式，得 LOGO 4 问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 ，那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢? 按照某种标准, 将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并, 再由概率的加法公式和乘法公式，求得这个复杂事件的概率. LOGO 5 问题2：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,....An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ 加法公式 A1∪A2∪…∪An=Ω B=ΩB=(A1∪A2∪…∪An)B B=BA1∪BA2∪…∪BAn P(B) = P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn) 乘法公式 =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) 对结论的理解： 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B由原因Ai(i=1,2)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2)发生概率的总和. LOGO 6 1.全概率公式： 一般地，设A1, A2, ···，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2，，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中最基本的公式之一. ①A1, A2, ···，An两两互斥 运用条件： ②A1∪A2∪…∪An=Ω ③P(Ai)>0，i=1,2，，n，B⊆Ω. LOGO 7 （1）若P(A)>0， P(A)>0，则P(B) =P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) . ( ) （2）若事件A1, A2, A3互斥且P(Ai)>0，i=1,2,3，则P(B) = . ( ) √ × 判断正误： LOGO 8 一般地，设A1, A2, ···，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2，，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 ····· ····· 对公式的理解：某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和. 可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”. 关键 找先发生原因 LOGO 9 例1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 由全概率公式可知 P(B | A)= P(A)= P(B | )= P( )= LOGO 10 例2 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 设A1＝“第1天去A餐厅”, B1＝“第1天取B餐厅”, A2＝“第2天去A餐厅”, 则 解： 设事件 写概率 代公式 P(A2 | A1)=0.6 P(A1)=0.5 P(A2 |B1)=0.8 P(B1 )=0.5 A1 B1 LOGO 11 1.画图：确定原因事件A1, A2, …, An ，结果事件B画出“树状图”或“韦恩图”； 3.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),及每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai))； 4.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B)). 2.利用全概率公式求复杂事件的概率的一般步骤： P(A1)，P(A2)…… P(An ) P(B|A1 ) ,P(B| A2)….. P(B|An ) 2.设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因. LOGO 12 全概率 数学知识 1、全概率公式 2、运用全概率公式 数学方法 1、几何图表:实际问题直观化 2、化整为零:复杂问题简单化 数学思想 1、数形结合:样本空间图形化 2、化归转化:目标事件分解化 笛卡尔在《方法论》一书中指出对于复杂的问题，尽量分解为多个小问题来研究，一个一个解决，直至解决复杂问题，这就是化整为零的思想以及分析技巧。引入”化整为零“思维，把整体分割成部分，逐个击破. LOGO 13 解： 课本52页 1. 现有12道四选一 的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25. 张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率. 设A＝“选到有思路的题”, B＝“选到的题做对”, 则由全概率公式, 可得 设事件 写概率 代公式 代公式 LOGO 14 例3 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 分析：取到的零件可能来自第1台车床，也可能来自第2台或第3台车床，有3种可能.设Ai=“零件为第i台车床加工”，i(i＝1，2，3),B=“任取一零件为次品”，如图所示，可将事件B表示为3个两两互斥事件的并，利用全概率公式可以计算出事件B的概率. A1 A2 A3 A3B A1B A2B LOGO 15 例3 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. 设B＝“任取一个零件为次品”, Ai＝“零件为第i台车床加工” (i＝1, 2, 3), 则 解： 设事件 写概率 代公式 LOGO 16 例3 有 3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. (1) 任取一个零件，计算它是次品的概率； (2) 如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率. “如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1, 2, 3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率，即 (2) LOGO 17 思考 例5中P(Ai)，P(Ai|B)的实际意义是什么? P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率，当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，通常称为后验概率. 如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么 就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额. 将例5中的问题(2) 一般化，可以得到贝叶斯公式.（选学内容，不作考试要求） 3.贝叶斯公式： LOGO 18 例4在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 解： LOGO 19 例4 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的. (1) 分别求接收的信号为0和1的概率； (2) 已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 解： LOGO 20 1.求结果事件B的概率：利用全概率公式求结果事件B的概率P(B)； 3.求概率P(Ai|B)：利用贝叶斯公式； 4.利用贝叶斯公式求概率的步骤： 2.计算P(AiB)：P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai ); 小结： 求某个结果的概率 已知各个原因 第一阶段： 第二阶段： 全概率公式 随机试验 已知某个结果 求引起此结果某个原因的概率 贝叶斯公式 LOGO 21 解： 2. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 设A＝“取到合格品”, Bi＝“取到的产品来自第i批”(i＝1, 2), 则 LOGO 22 LOGO 23 0.8 0.2 由贝叶斯公式可知 LOGO 24 0.8 0.2 由贝叶斯公式可知 LOGO 25 LOGO 26 LOGO 27 LOGO 28 1. 全概率公式： 2. 贝叶斯公式： LOGO 29 LOGO 30 THANKS 31 例5某商业银行对在校贫困大学生提供助学贷款，某大学生承诺毕业三年内还清助学贷款，否则视该生不遵守承诺. 假设贷款学生中可信的学生占比为80%，可信的学生不遵守承诺的概率为0.1，不可信的学生不遵守承诺的概率为0.95. 用事件A表示“该生不遵守承诺”，事件B表示“该生可信”. （1）若该生在毕业三年内未还清贷款，则该生是可信的学生的概率是多少？ （2）若该生在毕业三年内还清贷款，则该生是可信的学生的概率是多少？（注：结果保留到0.01） P(A|B)＝0.1，P(A|B)＝0.95. ∴P(A )=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=0.8×0.1+0.2×0.95=0.27 P(B|A)＝eq \f(P(B)P(A|B),P(A))＝eq \f(0.8×0.1,0.27)≈0.30. 例5某商业银行对在校贫困大学生提供助学贷款，某大学生承诺毕业三年内还清助学贷款，否则视该生不遵守承诺. 假设贷款学生中可信的学生占比为80%，可信的学生不遵守承诺的概率为0.1，不可信的学生不遵守承诺的概率为0.95. 用事件A表示“该生不遵守承诺”，事件B表示“该生可信”. （1）若该生在毕业三年内未还清贷款，则该生是可信的学生的概率是多少？ （2）若该生在毕业三年内还清贷款，则该生是可信的学生的概率是多少？（注：结果保留到0.01） P(A|B)＝0.9，P(A|B)＝0.5. P(B|A)＝eq \f(P(B)P(A|B),P(A))＝eq \f(P(B)P(A|B),P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B))＝eq \f(0.8×0.9,0.8×0.9+0.2×0.5)≈0.99. 例5某商业银行对在校贫困大学生提供助学贷款，某大学生承诺毕业三年内还清助学贷款，否则视该生不遵守承诺. 假设贷款学生中可信的学生占比为80%，可信的学生不遵守承诺的概率为0.1，不可信的学生不遵守承诺的概率为0.95. 用事件A表示“该生不遵守承诺”，事件B表示“该生可信”. （1）若该生在毕业三年内未还清贷款，则该生是可信的学生的概率是多少？ （2）若该生在毕业三年内还清贷款，则该生是可信的学生的概率是多少？（注：结果保留到0.01） 解：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}， Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2. 由题意P(A1)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(3,5)，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88， 由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2) ＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 1．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为________． 解：设事件 B 为“任取一件为次品”，事件Ai为“任取一件为i厂的产品”，i＝1,2,3，则 P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2， P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01. 由全概率公式得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 2．有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%, 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 解：设A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被i人击中}，i＝1,2,3，则 P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1． P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36， P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41， P(B3)＝0.4×0.5×0.7＝0.14. 由全概率公式得 P(A)＝P(B1)P(A |B1)＋ P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.36×0.2＋0.41 ×0.6＋0.14 ×1＝0.458. 即飞机被击落的概率为0.458. 3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率． $