1.2.2 第1课时 完全平方公式（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦完全平方公式的推导、结构特点及运算应用，通过复习平方差公式引入，结合正方形实验田面积问题搭建新旧知识支架，引导学生从几何与代数角度理解公式来源。 其亮点在于借助几何图形分割（如边长为a+b的正方形面积推导）培养几何直观，通过多项式乘法计算发现规律发展推理意识，以“首平方，尾平方，积的2倍放中央”口诀强化数学语言表达。典例与练习结合，帮助学生掌握公式应用，教师可通过清晰逻辑提升教学效率。

1.2 乘法公式 第1章 整式的乘法 1.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 ÷ 七年级下册数学（湘教版） 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点. （重点） 2.会运用公式进行简单的运算.(难点) 平方差公式：(x + y)(x－y) = x2－y2. 2.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差. 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ y x x y 复习导入 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？ a a b b 直接求：总面积 = (a + b)(a + b) 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 复习导入 完全平方公式 p2 + 2p + 1 m2 + 4m + 4 p2－2p + 1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？ (x＋y)2 = . x2 + 2xy + y2 (x－y)2 = . x2－2xy + y2 1 探究新知 完全平方公式 (x + y)2 = ； x2 + 2xy + y2 (x - y)2 = . x2 - 2xy + y2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式. 你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗? b a a b b a b a 图 1 图 2 想一想： 设 a，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用 a 代入，y 用 6 代入，可得 (a ± b)² = a² ± 2ab + b². 几何解释： a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 完全平方公式1： a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 a2 (1) ( a + )2； = a2 + a + + + 2 • a • 解：( a + )2 = 例1 运用完全平方公式计算： 典例精析 解：(2x－3)2 = = 4x2 (3) (2x－3)2. ( x－y )2 = x2 － 2xy + y2 (2x)2 － 2×(2x)×3 + 32 － 12x + 9. (2) (3m＋n)2. 解：将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代 入，可得 (3m＋n )2＝ (3m)2＋2 • 3m • n ＋n2 ＝9m2＋6mn＋n2. 例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2×6x · 5y. 所以m＋1＝±60. 所以 m＝59 或 m＝－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解． 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面） 课堂小结 1. 若 a2 + ab + b2 + A = (a - b)2，则 A =（　　） A．-3ab B．-ab C．0 D．ab A 课堂练习 2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当 怎样改正？ (1) (x + y)2 = x2 + y2 (2) (x－y)2 = x2 －y2 (3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2 × × × × x2 + 2xy + y2 x2－2xy + y2 x2 －2xy + y2 4x2 + 4xy + y2 (1) (6a + 5b)2； = 36a2 + 60ab + 25b2. (2) (4x－3y)2； = 16x2－24xy + 9y2. (3) (2m－1)2； = 4m2－4m + 1. (4) (－2m－1)2. = 4m2 + 4m + 1. 3. 运用完全平方公式计算： 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $