2.1 第2课时 无理数（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

第2章 实数

2.1  平方根

第2课时  无理数   

学习目标：

1. 理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是无理数.（重点）

2. 能快速地利用计算器求一个无理数的近似值．（难点）

一、情境导入

播放视频“无理数的引用”

观察与思考  将一个长为 4 cm，宽为 2 cm的长方形纸片剪拼成一个正方形. 最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？

 

一、要点探究

探究点一：无理数的认识

活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？

             

还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！

 

问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？

追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？

从“数”的角度：

因为  a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，

所以 12 < a2 < 22.  

所以 1< a < 2，故 a 不是整数.

追问2：a 可能是分数吗？

① a 是分母为 2 的分数吗？

② a 是分母为 3 的分数吗？

③ a 是分母为 4 的分数吗？

④ a 是分母为多少的分数？

归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.

思考

(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根 的大致范围;

 

 

(2)若将 写成一个小数,则它是一个怎样的小数?

 

 

 

 

 

知识要点：

事实上，  = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，

从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无

限不循环小数，则把这个数叫作无理数.

类似于有理数分类，无理数也分为正无理数和负无理数.

议一议  下面的说法正确吗? 如果不正确，请说明理由.

(1) 无限小数都是有理数；     (2) 无理数都是无限小数；

(3) 带根号的数都是无理数；   (4) 无理数都是带根号的数.

 

练一练

1. 把下列各数分别填入相应的集合内：

，0.3737737773…（每两个3之间依次增加一个7）

有理数集合：                         

无理数集合：

 

 

 

 

归纳总结

我们常见的无理数的有以下三种形式：

(1) 化简后含有 π 的数；

(2) 开不尽方的数开方所得结果；

(3) 有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（相邻两个1之间依次增加一个0）

  ……

典例精析

例1  设 n 为正整数，且 n ＜ ＜n＋1，则 n 的值为(  　)

   A．5          B．6            C．7              D．8

练一练：写出一个比－3大的无理数：_________.

 

探究点二：用计算器求算术平方根

问题：怎么用小数近似地表示一个无理数呢？

 

 

问题：怎么求一个正数的算术平方根或它的近似值呢？

 

 

例2   用计算器求下列各式的值.

（1）                     （2） （精确到小数点后面第三位）

 

 

练一练

2 . 用计算器比较下面两数的大小：

（1）；                      （2）