2.1 第1课时 平方根和算术平方根（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

第2章 实数

2.1  平方根

第1课时 平方根和算术平方根 

 

学习目标：

1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.（重点）

2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点）

 

一、情境导入

某家庭在装修儿童房时需铺地垫 10.8 m2，刚好用去正方形的地垫 30 块. 你能算出每块地垫的边长是多少吗？

                                                        

 

一、要点探究

探究点一：平方根

学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

请你说一说解决问题的思路．

                                                      

 

填一填:

（1）若正方形画布的面积如下，请填表：

正方形的面积/dm2	1	9	16	36	4/25
正方形的边长/dm

（2）你能指出它们的共同特点吗？

 

 

问题   如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？

想一想：3 和 -3 有什么特征？

 

根据上面的研究过程填表：

x2	1	16	36	49	4/25
x

根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数. 由此我们抽象出下述概念：

总结：

如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根.

 

思考：除了 2 和 －2 以外，4 的平方根还有其他的数吗.

 

归纳总结：如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r.

我们把正数 a 的正平方根记作，读作“根号a”；正数 a 的负平方根记作，读作“负根号 a”.这样，正数 a 的平方根可以用 “”来表示.

说一说  零的平方根是多少？负数有平方根吗？

 

 

知识要点：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.开平方与平方互为逆运算.

 

典例精析 例1分别求下列各数的平方根：36， ，1.21.

 

练一练  ① 的平方根是_______； ② (－16)2 的平方根是_______.

 

例2  已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2和 a－4，则 a 的值是________．

 

 

探究点二：算术平方根的概念及性质

我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根.

思考：正数、负数、0 的算术平方各有几个？

 

 

算术平方根的性质：算术平方根具有双重非负性

练一练：

判断下列说法是否正确.

  ①25 的算术平方根是 5          （     ）；

  ②25 的平方根是 5              （     ）；

  ③5 是 25 的平方根             （     ）.

注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义.

 

典例精析

例3 分别求下列各数的算术平方根：

         （1）100；  （2） ；  （2）0.49.

 

例4   若 |m - 1| += 0，求 m + n 的值.

 

 

 

练一练

1.若 |a + 3| = 0 ，则 a =       ；

2.若(m-7)2=0，则m =       ；

3.若= 0，则 a =       ；

4.若|a - 3|+ = 0 ，则代数式(a + b)2025 =___.

 

 

平方根与算术平方根的联系与区别：

 

联系：1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.

2. 只有非负数才有平方根和算术平方根.

3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0.

区别：1. 个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.

2. 表示法不同：平方根表示为±，而算术平方根表示为 .

 

二、课堂小结