1.2.1 平方差公式（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学导学案聚焦“平方差公式”，通过复习多项式乘法回顾旧知，结合“地主租地”生活情境导入新知，搭建从已有知识到公式推导的学习支架，引导学生逐步理解公式的来源与结构。 资料以情境激发兴趣，通过算一算、想一想等合作探究培养数学思维，结合几何图形验证公式直观性，分层习题与实际应用问题（如租地面积计算）强化模型意识，助力学生用数学语言表达和解决现实问题，提升运算能力与应用意识。

第1章 整式的乘法 1.2 乘法公式 1.2.1 平方差公式 学习目标： 1. 理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2. 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.（难点） 自主学习 一、复习导入 多项式与多项式是如何相乘的？ ( a + b )( m + n )= . (x＋3)( x＋5)= . 情境导入 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你觉得张老汉是否吃亏了? 合作探究 1、 要点探究 探究点一：平方差公式 合作探究 算一算：看谁算得又快又准. ① (x + 1)( x－1)； ② (m + 2)( m－2)； ③ (x + y)(x－y)； ④ (5y + z)(5y－z). 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ 知识要点 平方差公式：(x + y)(x − y) = x2 − y2 . 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x –y) (x + y) = x2 − y2 ， (y + x)(−y + x ) = x2 − y2 . 典例精析 例1 计算：(1) ( 2x＋1)( 2x－1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 例2 运用平方差公式计算: (－2x－ y)(－2x＋ y). 练一练：口答下列各题： (l) (－x + y)(x + y) =_________. (2) (x－y)(y + x) = _________. (3) (－x－y)(－x + y) = ________. (4) (x－y)(－x－y) = _________. 填一填： (x + y)(x－y) x y x2－y2 (1 + x)(1－x) (－3 + a)(－3－a) (1 + a)(－1 + a) (0.3x－1)(1 + 0.3x) 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式 的形式 练一练 利用平方差公式计算： (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4) . 探究点二：平方差公式的几何验证 合作探究 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ 探究点三：平方差公式的几何验证 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = . 14×16 = . 69×71 = . 7×7 = . 15× 15 = . 70×70 = . (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母 表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ 典例精析 例4 计算：(1) 1002×998； 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x ＝1，y ＝2. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 例6 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 二、课堂小结 当堂检测 1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够，怎样计算 ? (1) (a + b)(−a−b)； (2) (a − b)(b − a)； (3) (a + 2b)(2b + a)； (4) −(a − b)(a + b)； (5) (−2x + y)(y−2x). 2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 2)(x－2) = x2－2； (2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4. 3. 已知 a = 7202 ，b = 721×719 ，则 ( ) A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b 4. 97×103 = ( )×( ) = ( ). 5. (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是 . 6. 利用平方差公式计算： (1) (a + 3b)(a－3b)； (2) (3 + 2a)(－3 + 2a)； (3) (－2x2－y)(－2x2 + y)； (4) (－5 + 6x)(－6x－5). 7. 利用平方差公式计算： (1) 51 ×49； (2) 13.2×12.8； (3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2). 能力拓展： 1. 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2). 2. 若 A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) ，则 A 的值是 . 参考答案 一、复习导入 ( a + b )( m + n )=am + an + bm + bn (x＋3)( x＋5)= x2＋5x＋3x＋15= x2＋8x＋15. 2、 要点探究 探究点一：平方差公式 算一算： ① (x + 1)( x－1) = x2－1 = x2－12用自己的语 言叙述你的 发现. ② (m + 2)( m－2) = m2－4 = m2－22 ③ (x + y)(x－y) = x2－y2 = x2－y2 ④ (5y + z)(5y－z) = 25y2－z2 = (5y)2－z2 想一想：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 典例精析 例1 解：(1) 将平方差公式中的 x 用2x 代替，y 用 1 代替， 可得 (2x＋1)(2x－1)＝(2x)2－12 ＝4x2－1. (2) 将平方差公式中的y 用2y 代替，可得 (x＋2y)(x－2y) ＝ x2－(2y)2＝x2－4y2 . 例2 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 1/2 y 代替，可得 (－2x－ y)(－2x＋ y)＝(－2x)2－(－ y)2＝4x2－ y2. 练一练：口答下列各题： 答：(l) y2－x2 (2) x2－y2 (3) x2－y2 (4) y2－x2 填一填： (x + y)(x－y) x y x2－y2 (1 + x)(1－x) 1 x 12－x2 (－3 + a)(－3－a) －3 a (－3)2－a2 (1 + a)(－1 + a) a 1 a2－12 (0.3x－1)(1 + 0.3x) 0.3x 1 (0.3x)2－12 例3 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a) ＝(4a＋b)(4a－b) =(4a)2－b2 = 16a2－b2 . 练一练 解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 =49m2－64n2 . (2) 原式＝(x2－4)(x2＋4) =x4－16. 探究点二：平方差公式的几何验证 (a + b)(a − b) = a2 − b2 探究点三：平方差公式的几何验证 自主探究 想一想： (1) 6×8 =48 14×16 = 224 69×71 = 4899 7×7 =49 15× 15 = 225 70×70 = 4900 (2) (a − 1)(a + 1) = a2 − 1 典例精析 例4 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2) 于是由平方差公式得 (1000＋2)(1000－2) = 10002－22= 1000000－4 = 999996 因此 1002×998 = 999996. 例5 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) =4x2－y2－(4y2－x2) =4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2 . 当 x ＝1，y ＝2 时，原式＝5×12－5×22 ＝－15. 例6 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2， 改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16. 因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了． 二、课堂小结 当堂检测 1.答：(1) 不能 (2) 不能 (3) 不能 (4) 能 −(a2 − b2) = −a2 + b2 (5) 不能 2. (1) 不对 改正：x2－4 (2)不对 改正方法①：原式 = －[(3a + 2)(3a－2)] = －(9a2－4) = －9a2 + 4. 改正方法②：原式 = (－2－3a)(－2 + 3a) = (－2)2－(3a)2 = 4－9a2 . 3. B 4. 100－3 100 + 3 1002－32 5. x = 4 6. 解：(1) (a + 3b)(a－3b)= a2－(3b)2 = a2－9b2 . (2) (3 + 2a)(－3 + 2a) = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32= 4a2－9. (3) (－2x2－y)(－2x2 + y)= (－2x2 )2－y2 = 4x4－y2 . (4) (－5 + 6x)(－6x－5) = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2 = 25－36x2 . 7. 解：(1) 51 ×49＝(50＋1)(50－1) ＝502－12 =2500－1 ＝2499. (2) 13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 = 169－0.04 ＝168.96. (3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2)＝(9x2－16)－(6x2＋5x－6) =3x2－5x－10. 能力拓展： 1. 解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4 . 2. 255 解析：A ＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) =(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) =(22－1)(22 + 1)(24 + 1) =(24－1)(24 + 1) =28－1 ＝256－1 ＝255 . 学科网（北京）股份有限公司 $