第1章 整式的乘法（知识清单）数学新教材湘教版七年级下册

第一章 整式的乘法 1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂 ，底数 ，指数 . 即（都是 ）. 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数 ，指数 . 即（都是 ）. 3. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂 . 即（是 ）. 4. 单项式的乘法法则：把它们的系数、同底数幂分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 ． 5. 单项式与多项式乘法法则：用单项式去乘多项式的 ，再把所得的积 ． 即 ． 6. 多项式与多项式乘法法则：先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 . 即. 7. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的 ，等于这两个数的 . 即. 特征：公式左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项 ，另一项 ；右边是相同项的平方 相反项的平方. 8. 完全平方公式： 两数和的平方：；两数差的平方：. 特征：公式左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，包含这两个数的 ，以及 （和或差由左边的 决定）. 一、同底数幂的乘法 1.混淆同底数幂相乘法则 错误：误将指数相乘或忽略“同底数”的前提，对不同底数幂直接套用法则． 注意：不能合并． 例题1 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 例题2 计算下列整式 (1)． (2)． 例题3 计算． (1)； (2)． 二、幂的乘方 1.混淆幂的乘方法则 错误：误把底数和指数都乘方． 例如：错写成. 例题1 计算结果是（   ） A． B． C． D． 例题2 计算的结果等于 ． 三、积的乘方 1.混淆积的乘方法则 错误：易漏乘因式． 例如：错写成，正确应为. 例题1 计算的结果是（ ） A． B． C． D． 例题2 计算： ． 例题3 计算 ． 四、单项式的乘法 1.单项式相乘 错误：忽略系数的符号运算，遗漏只在一个单项式中出现的字母． 例如：错写成，正确应为；错写成，正确应为． 例题1 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 例题2 计算 ． 例题3 计算： ． 五、多项式的乘法 1.单项式乘多项式 错误：只乘多项式的前几项，漏乘后面的项或符号处理失误． 例如：错写成，正确应为. 例题1 计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 例题2 ． 例题3 计算： ． 2.多项式乘多项式 错误：漏乘多项式中的项，合并同类项时出错，或符号判断失误． 例如：错写成，遗漏. 例题1 计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2 计算： ． 例题3 计算： ． 六、乘法公式 1.混淆平方差公式与完全平方公式 错误：混淆两个公式的结构；完全平方公式漏写中间项或符号处理错误． 例如：把平方差公式错写成；把完全平方公式错写成. 例题1 计算： ． 例题2 计算： ． 例题3 计算： ； ． 重难点01 幂的运算 （1）区分同底数幂乘法与幂的乘方法则. 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点02 单项式的乘法 （1）多个单项式相乘时，要区分幂的运算与系数运算步骤； （2）结果要化为最简形式. 【典例1】（24-25八年级上·山东日照·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1)． (2)． 重难点03 单项式乘多项式 （1）单项式为负时，每一项相乘都要变号. 【典例1】（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 【典例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 重难点04 多项式乘多项式 （1）多项式含负项时的符号处理要准确，展开后要快速识别与合并同类项. 【典例1】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： 【典例2】（25-26八年级上·河北·期末）计算： 重难点05 乘法公式 （1）公式的逆用：，，； （2）常见的公式变形：；. 【典例1】（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 【典例2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 重难点06 整式乘法的综合应用与混合运算 （1）运算顺序：先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内的； （2）复杂代数式中要准确选择公式. 【典例1】（25-26八年级上·山东德州·月考）计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】（25-26八年级上·天津西青·月考）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘法 1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂 相乘 ，底数 不变 ，指数 相加 . 即（都是 正整数 ）. 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 . 即（都是 正整数 ）. 3. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 . 即（是 正整数 ）. 4. 单项式的乘法法则：把它们的系数、同底数幂分别 相乘 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 因式 ． 5. 单项式与多项式乘法法则：用单项式去乘多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 ． 即 ． 6. 多项式与多项式乘法法则：先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 . 即. 7. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的 积 ，等于这两个数的 平方差 . 即. 特征：公式左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项 完全相同 ，另一项 互为相反数 ；右边是相同项的平方 减去 相反项的平方. 8. 完全平方公式： 两数和的平方：；两数差的平方：. 特征：公式左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，包含这两个数的 平方和 ，以及 这两个数乘积的2倍 （和或差由左边的 符号 决定）. 一、同底数幂的乘法 1.混淆同底数幂相乘法则 错误：误将指数相乘或忽略“同底数”的前提，对不同底数幂直接套用法则． 注意：不能合并． 例题1 计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变指数相加．直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案． 【详解】解：， 故选：A． 例题2 计算下列整式 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握底数不变，指数相加是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）将转化为，再按同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 例题3 计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 二、幂的乘方 1.混淆幂的乘方法则 错误：误把底数和指数都乘方． 例如：错写成. 例题1 计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方运算，括号内是个相乘，即，再整体立方，应用幂的乘方运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原式的括号内是个相乘，即， ∴， 故选：D． 例题2 计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方运算法则：． 根据幂的乘方运算法则运算法则计算，注意符号，负数的偶次方是正数． 【详解】． 故答案为：． 三、积的乘方 1.混淆积的乘方法则 错误：易漏乘因式． 例如：错写成，正确应为. 例题1 计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方运算． 根据积的乘方运算法则直接计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 例题2 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，掌握积的乘方法则是解题的关键． 利用积的乘方法则，将式子中的每个因式分别平方，再将所得结果相乘． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 例题3 计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，解题的关键是掌握积的乘方运算法则，即积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 先对括号内的每一个因式分别进行乘方运算，再将结果相乘． 【详解】解： ． 故答案为：． 四、单项式的乘法 1.单项式相乘 错误：忽略系数的符号运算，遗漏只在一个单项式中出现的字母． 例如：错写成，正确应为；错写成，正确应为． 例题1 计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 例题2 计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 例题3 计算： ． 【答案】 【分析】本题是单项式乘法运算，根据单项式乘法的法则，系数相乘，同底数幂相乘，底数不变，指数相加直接进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为： ． 五、多项式的乘法 1.单项式乘多项式 错误：只乘多项式的前几项，漏乘后面的项或符号处理失误． 例如：错写成，正确应为. 例题1 计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 例题2 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，直接应用此运算法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 例题3 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 2.多项式乘多项式 错误：漏乘多项式中的项，合并同类项时出错，或符号判断失误． 例如：错写成，遗漏. 例题1 计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 例题2 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法的运算，根据分配律展开两个二项式的乘积，并合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 例题3 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 六、乘法公式 1.混淆平方差公式与完全平方公式 错误：混淆两个公式的结构；完全平方公式漏写中间项或符号处理错误． 例如：把平方差公式错写成；把完全平方公式错写成. 例题1 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握公式特点是关键；识别算式符合平方差公式形式，直接应用公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 例题2 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过将原式变形为适合平方差公式的形式后进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 例题3 计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式．第一个表达式使用平方差公式计算；第二个表达式使用完全平方公式计算，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：，， 故答案为：，． 重难点01 幂的运算 （1）区分同底数幂乘法与幂的乘方法则. 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据积的乘方，幂的乘方且负数的奇数次幂为负，偶数次幂为正逐项计算判断即可；本题主要考查了指数运算规则，包括积的乘方、幂的乘方以及负数的乘方运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：，故正确； 选项D：，故错误； 故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，灵活应用法则和计算的细心程度是解答本题的关键． 运用同底数幂的乘法运算法则，即可解答． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 重难点02 单项式的乘法 （1）多个单项式相乘时，要区分幂的运算与系数运算步骤； （2）结果要化为最简形式. 【典例1】（24-25八年级上·山东日照·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，先计算积的乘方和幂的乘方，再运用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． 【典例2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方的运算，单项式乘以单项式法则计算，再合并同类项即可得答案； （）根据幂的乘方，积的乘方的运算，同底数幂乘法法则计算，再合并同类项即可得答案； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点03 单项式乘多项式 （1）单项式为负时，每一项相乘都要变号. 【典例1】（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，去括号，运用单项式乘多项式即可求值． 【详解】解： 故答案为：. 【典例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出结论； （）根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点04 多项式乘多项式 （1）多项式含负项时的符号处理要准确，展开后要快速识别与合并同类项. 【典例1】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【典例2】（25-26八年级上·河北·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式展开计算即可； 【详解】（1）； （2） ． 重难点05 乘法公式 （1）公式的逆用：，，； （2）常见的公式变形：；. 【典例1】（25-26八年级上·天津·月考）运用乘法公式计算 (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式以及平方差公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式、以及平方差公式． （1）根据完全平方公式即可求出答案； （2）根据平方差公式即可求出答案； （3）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案； （4）根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（25-26八年级上·江西南昌·月考）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 重难点06 整式乘法的综合应用与混合运算 （1）运算顺序：先乘方再乘除后加减，有括号先算括号内的； （2）复杂代数式中要准确选择公式. 【典例1】（25-26八年级上·山东德州·月考）计算下列各式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式乘法，多项式乘法，平方差公式与完全平方公式的应用，解决本题的关键是需熟练掌握运算法则和公式． （1）根据单项式乘法运算计算即可； （2）根据单项式乘法运算计算即可； （3）根据多项式乘法运算计算即可； （4）使用平方差公式与完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】（25-26八年级上·天津西青·月考）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，1 【分析】本题考查了整式的化简与求值，涉及平方差公式、完全平方公式以及合并同类项，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可； （2）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $