1.1.5 第2课时 多项式与多项式相乘（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学导学案聚焦多项式与多项式相乘，通过复习单项式与多项式乘法导入，搭建前后知识联系，引导学生从已有认知过渡到新知识学习，为法则理解提供学习支架。 以林区面积问题情境引导探究，培养数学眼光，通过不同面积表示推导法则发展推理意识，典例分层且含规律探究，提升运算能力与模型意识，助力学生掌握重点突破难点。

第1章 整式的乘法 1.11.1 整式的乘法 1.1.5 多项式的乘法 第2课时 多项式与多项式相乘 学习目标： 1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.（重点） 2.能够用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.（难点） 自主学习 一、复习导入 1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算？ 2. 进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么? 合作探究 1、 要点探究 探究点一：多项式乘多项式 提出问题 问题1 (a + b)X = ? 当 X = m + n 时，(a + b)X = ? 问题2 某地区在退耕还林期间，有一块原长 m 米，宽为 a 米的长方形林区增长了 n 米，加宽了 b 米，请你表示这块林区现在的面积. 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？ 如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 知识要点 多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 多乘多顺口溜：多乘多，来计算，多项式各项都见面， 乘后结果要相加，化简、排列才算完. 典例精析 例1 计算：(1) (2x + y)(x－3y)；(2) (5x－2)(3x2－x－5). 注意：(1) 漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 例2 计算：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2). (2) (x＋y)(x2－xy＋y2). 例3 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中 a＝－1，b＝1. 二、课堂小结 当堂检测 1.判断下列解法是否正确，若不正确请说出理由. (1) (2x－3)(x－2)－(x－1)2; 解：原式=2x2－4x+6－(x－1)(x－1) =2x2－4x+6－(x2－x－x+1) =2x2－4x+6－x2+2x－1 =x2－2x+5. (2) (2x－3)(x－2)－(x－1)2. 解：原式=2x2－4x－3x+6－(x2－12） =2x2－7x+6－x2+1 =x2－7x+7. 2.计算：(1) (x − 3y)(x + 7y)； (2) (2x + 5y)(3x − 2y). 3. 化简求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)，其中 x = 1，y =－2. 4. 计算： (x + 2)(x +3) = x² +_ x+__ ； (x－4)(x+1) = x2 + x+ ； (x +4)(x－2) = x2 +_ _x+__ ； (x－2)(x－3) = x²+__ x+ . 观察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这个规律解决下面的问题. (x+a)(x+b) = x2 + x + . 口答：(x－7)(x+5) = x2 + x + . 5. 小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？ 参考答案 一、复习导入 1. ① 将单项式分别乘多项式的各项； ② 再把所得的积相加. 2. ① 不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项； ② 去括号时注意符号的确定. 2、 要点探究 探究点一：多项式乘多项式 提出问题 问题1 (a + b)X = aX + bX (a + b)X = (a + b)(m + n) 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？ 这块林区现在长为 (m + n) 米，宽为 (a + b) 米. 由于 (m + n)(a + b) 和 (ma + mb + na + nb) 表示同一块 地的面积，故有 (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb. 如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 实际上，把 (m + n) 看成一个整体，有： (m + n)(a + b) = (m + n)a + (m + n)b = ma + mb + na + nb. 典例精析 例1 解：(1) 原式 = 2x·x+2x·(－3y) + y·x+ y·(－3y) = 2x2－6xy + xy－3y2 = 2x2－5xy－3y2. (2) 原式 =15x³－5x²－ 25x－6x²＋2x＋10 =15x³－5x²－6x²－25x＋2x＋10 =15x³－11x²－23x＋10. 例2 解：(1) (x－y)(x2＋xy＋y2) = x3＋x2y＋xy2－yx2－xy2－y3 = x3－y3. (2) (x＋y)(x2－xy＋y2) = x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y3 = x3＋y3. 例3 解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21. 二、课堂小结 当堂检测 1.答案： (1) (2) 都不正确. 解：原式=2x2－4x－3x+6－(x－1)(x－1) =2x2－7x+6－(x2－x－x+1) =2x2－7x+6－x2+2x－1 =x2－5x+5. 2.解：(1) 原式 = x2 + 7xy − 3yx − 21y2 = x2 + 4xy − 21y2 . (2) 原式 = 2x • 3x − 2x • 2y + 5 y • 3x − 5y • 2y = 6x2 − 4xy + 15xy − 10y2 = 6x2 + 11xy − 10y2. 3. 解：原式 = 16x²－12xy+12xy－9y2+6x2－10xy+3xy－5y2 =22x2－7xy－14y2. 当 x = 1，y = －2 时， 原式 = 22×12－7×1×(－2)－14×(－2)2 = 22 + 14－56 = －20. 4. 计算： (x + 2)(x +3) = x² + 5x + 6； (x－4)(x+1) = x2 + (－3)x + (－4)； (x +4)(x－2) = x2 + 2x + (－8)； (x－2)(x－3) = x² + (－5)x + 6. (x+a)(x+b) = x2 +(a+b)x + ab. 口答：(x－7)(x+5) = x2 +(－2)x +(－35). 5. 解：(2m + 2b + c)(2m + a) = 4m2 + 2ma + 4bm + 2ab + 2cm + ca. 答：小东应在挂历画上裁下一块 (4m2 + 2ma + 4bm+ 2ab + 2cm + ca) 平方厘米的长方形. 学科网（北京）股份有限公司 $