1.1.3 积的乘方（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学导学案聚焦“积的乘方”，通过地球体积计算情境导入，结合复习同底数幂乘法、幂的乘方旧知，搭建前后知识支架，引导学生从旧知过渡到新知探究。 资料以自主学习与合作探究结合，通过问题链推导积的乘方法则，典例精析与分层练习强化运算能力，逆用公式培养模型意识，助力学生发展推理意识与应用意识，提升数学思维与核心素养。

第1章 整式的乘法 1. 1 整式的乘法 1. 1.3 积的乘方 学习目标： 1.理解并掌握积的乘方法则及其应用.（重点） 2.会运用积的乘方的运算法则进行计算.（难点） 自主学习 一、情境导入 你知道地球的体积大约是多少吗？球的体积计算公式：V球= πr3， 复习导入 1. 计算： （1）10×102 × 103 = ； （2）( x5 )2 = . 2.（1）同底数幂的乘法：am · an = (m ，n 都是 正整数). （2）幂的乘方：(am)n = amn (m ，n 都是正整数). 想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么 相同点和不同点？ 合作探究 1、 要点探究 探究点一：积的乘方 问题1 下面两式有什么特点？ (1) (ab)2； (2) (ab)3 . 提问：我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 问题2 根据乘方的定义及乘法交换律、结合律进行计算： (ab)2 = ? 同理：(ab)3 = ? 推理验证： 思考：积的乘方(ab)n = ? 猜想结论：(ab)n = (n 为正整数). 证明： 知识要点： 积的乘方法则： (ab)n = (n为正整数). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ， 再把所得的幂 . 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ 典例精析 例1 计算： (1) (－2x)3； (2) (xy2)5；· (3) (－xy)2； (4) (−xy2z3)4. 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘． 针对训练 计算：(1) (－5ab)3； (2) －(3x2y)2； (3) (－3ab2c3)3； (4) (－xmy3m)2. 练一练 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ (1) (ab3)2 = ab6； (2) (2xy)3 = 6x3y3； (3) (－3a2b)2 = 9a4b； (4) (－x3y)5 = x15y5. 例2 计算： (1) (3x5)4－(2x4)5； (2) (－x2y2)3－( 4x3y3 )2 . 方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，合并同类项. 议一议 如何简便计算 ( 0.04 )2025 ×[(－5 )2025]2 ? 方法总结：逆用积的乘方公式 an · bn＝(ab)n 时， 要灵活运用，对于不符合公式形式的式子，应通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式进行简便运算. 练一练 计算： 二、课堂小结 当堂检测 1. 计算 (－x2y)2 的结果是（ ） A. x4y2 B. －x4y2 C. x2y2 D. －x2y2 2. 下列运算正确的是（ ） A. x·x2 = x2 B. ( xy )2 = xy2 C. ( x2 )3 = x6 D. x2 + x2 = x4 3. 计算：(1) 82025 ×0. 1252024 = ； 4. 判断： (1) (ab2)3 =ab6 ( ) (2) (3xy)3 = 9x3y3 ( ) (3) (－2a2)2 = －4a4 ( ) (4) －(－ab2)2 = a2b4 ( ) 5. 计算： (1) (ab)8； (2) (2m)3； (3) (－xy)5； (4) (5ab2)3； (5) (2×102)2； (6) (－3×103)3. 6.计算： (1) 2(x3)2 ·x3－(3x3)3 + (5x)2·x7 ； (2) (3xy2)2 + (－4xy3)·(－xy) ； (3) (－2x3)3·(x2)2 . 拓展提升：如果 (an·bm·b )3 = a9b15 (a ，b 均不为 0 和±1) ，求 m ，n 的值. 参考答案 复习导入 1. 计算： （1）106 （2） x10 2.（1）am+n（2） amn 想一想：相同点：底数不变其中 m ，n都是正整数 不同点：同底数幂相乘 am · an = am+n：指数相加 幂的乘方：(am)n = amn ：指数相乘 2、 要点探究 探究点一：积的乘方 问题1 底数为两个因式相乘，积的幂的形式. 这种形式为积的乘方. 问题2 (ab)2 = (ab)·(ab) （乘方的定义） = ( a·a ) ·(b ·b ) （乘法交换律、结合律） = a2b2. （同底数幂相乘的法则） 同理：(ab)3 = (ab)·(ab)·(ab) = ( a·a ·a) ·(b ·b·b ) = a3b3. 推理验证： 证明： 因此可得：(ab)n = anbn (n 为正整数). 想一想：(abc)n = an bncn (n为正整数). 典例精析 例1 解：(1) (－2x)3 = (－2)3·x3 = －8x3 . (2) (xy2)5 = x5·(y2)5 = x5y10 . (3) (－xy)2 = (－1)2·x2·y2 = x2y2. (4) (− xy2z3)4 = (− )4·x4·(y2)4·(z3)4= x4y8z12. 针对训练 计算： 解：(1) (－5ab)3 ＝(－5)3a3b3 ＝－125a3b3 . (2) －(3x2y)2 ＝－32x4y2 ＝－9x4y2 . (3) (－3ab2c3)3 ＝(－3)3a3b6c9 ＝－27a3b6c9 . (4) (－xmy3m)2 ＝(－1)2x2my6m＝x2my6m . 练一练 (1) × (ab3)2 = a2b6 (2) × (2xy)3 = 8x3y3 (3) × (－3a2b)2 = 9a4b2 (4) × (－x3y)5 = －x15y5 例2 解：(1) (3x5)4－(2x4)5 = 81x20－32x20 = 49x20 . (2) (－x2y2)3－( 4x3y3 )2 = －x6y6－16x6y6 = －17x6y6 . 议一议 解法一： (0.04)2025 ×[(－5)2025]2 = (0.22)2025 × 54050 = (0.2)4050 × 54050 = (0.2 ×5)4050 = 14050 = 1. 解法二： (0.04)2025 ×[(－5)2025]2 = (0.04)2025 × [(－5)2]2025 = (0.04)2025×(25)2025 = (0.04×25)2025 = 12025 = 1. 练一练 二、课堂小结 当堂检测 1. A 2. C 3. (1) 8 (2) －3 4. (1) × (2) × (3) × (4) × 5. 解：(1) 原式 = a8b8 . (2) 原式 = 23·m3 = 8m3 . (3) 原式 = (－x)5· y5 = －x5y5 . (4) 原式 = 53 ·a3·(b2)3 = 125a3b6 . (5) 原式 = 22 ×(102)2 = 4×104 . (6) 原式 = (－3)3 ×(103)3 = －27×109 = －2.7×1010 . 6.解：(1) 原式 = 2x6·x3－27x9 + 25x2·x7 = 2x9－27x9 + 25x9 = 0. (2)原式 = 9x2y4 + 4x2y4 = 13x2y4 . (3) 原式 = －8x9 ·x4 = －8x13 . 拓展提升： 解：因为 (an· bm·b)3 = a9b15， 所以(an)3· (bm)3·b3 = a9b15 . 因为 a3n· b3m· b3 = a9b15， 所以a3n·b3m+3 = a9b15 . 所以 3n = 9，3m + 3 = 15. 所以 n = 3，m = 4. 学科网（北京）股份有限公司 $