1.1.2 幂的乘方（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学导学案聚焦“幂的乘方”，通过地球、木星、太阳体积问题情境导入，联系同底数幂乘法旧知，以问题链和填空引导学生从具体计算（如(3²)³展开）抽象出幂的乘方法则，搭建新知学习支架。 资料以情境激发兴趣，探究过程培养推理与运算能力，典例及变式训练强化模型与应用意识，分层习题助学生巩固提升，既适合自主学习，又便于教师评估，有效发展数学眼光、思维与语言核心素养。

第1章 整式的乘法 1.1 整式的乘法 1.1.2 幂的乘方 学习目标： 1.理解并掌握幂的乘方法则.（重点） 2.会运用幂的乘方法则进行幂的乘方的运算.（难点） 自主学习 一、情境导入 地球、木星、太阳可以近似地看作是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ V球= πr3， 其中 V 是球的体积，r 是球的半径. 你知道 (102)3 等于多少吗？ 合作探究 1、 要点探究 探究点一：幂的乘方 问题1 请分别求出下列两个正方形的面积： 问题2 请根据乘方的定义及同底数幂的乘法填空，观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想. (32)3 = ___ ×___ ×___ = 3（ ）+（ ）+（ ） = 3（ ）×（ ） = 3（ ）. 猜想：(am)n =_____. 证一证： 知识要点： 幂的乘方法则： . 即幂的乘方，底数______，指数＿＿. 典例精析 例1 计算： (1) (105)2； (2) (a2)4；(3) (xm)4(m是正整数)； (4) －(a3)4； (5) [(x + y)2]3；(6) [(－a)3]4. 方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要 将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中， 底数可以是单项式，也可以是多项式. 议一议 下列计算对不对? 如果不对，应怎样改正? (1) (a2)5 = a7 (2) (a3)2 = a9 比一比 (－a2)5 和 (－a5)2 的结果相同吗? 为什么? 总结： 想一想：下面这道题该怎么进行计算呢？ [(a2 )3]4＝ . 幂的乘方法则拓展： . 练一练: [ ( y5 )2 ]2 = = ； [ ( x5 )m ]n = = . 典例精析 例2 计算： (1) (a4)3 · a3； (2) a2 (－a)2 (－a2)3＋a10. 方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数 幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后整体 代换求值即可. 例3 已知 10m ＝3 ，10n＝2 ，求下列各式的值. (1) 103m； (2) 102n ； (3) 103m＋2n . 变式训练 (1) 已知 x2n ＝3 ，求 ( x3n )4 的值； (2) 已知 2x＋5y－3 ＝0 ，求 4x · 32y 的值. 例4 比较 3500 ，4400 ，5300 的大小. 总结： 方法总结：比较底数大于 1 的正整数指数幂的大小的方法有两种： (1) 底数相同，指数越大，幂就越大； (2) 指数相同，底数越大，幂就越大. 故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点， 将其转化为同底数或同指数的幂，然后再去比较大小. 二、课堂小结 当堂检测 1. ( x4 )2 等于 ( ) A．x6 B．x8 C．x16 D．2x4 2. 下列各式的括号内，应填入 b4 的是 ( ) A．b12 ＝( )8 B．b12 ＝( )6 C．b12 ＝( )3 D．b12 ＝( )2 3. 下列计算中，错误的是 ( ) A．[(a＋b)2]3 ＝(a＋b)6 B．[(a＋b)2]5 ＝(a＋b)7 C．[(a－b)3]n ＝(a－b)3n D．[(a－b)3]2 ＝(a－b)6 4．如果 ( 9n )2 ＝312 ，那么 n 的值是 ( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5. 计算： (1) (102)8； (2) (xm)2； (3) [(－a)3]5； (4)－(x2)m . 6. 计算： (1) 5(a3)4－13(a6)2； (2) 7x4 ·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2； (3) [(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9 . 7. 已知 3x + 4y－5 = 0 ，求 27x · 81y 的值. 拓展提升 8. 已知 a = 355 ，b = 444 ，c = 533 ，试比较 a ，b ，c 的大小. 参考答案 2、 要点探究 探究点一：幂的乘方 问题1 S小＝102.S大＝106. 问题2 (32)3 = 32×32 ×32 = 3 2+ 2+ 2 = 32× 3 = 36. 猜想：(am)n =amn 证一证： 典例精析 例1 (1) (105)2 = 105×2 = 1010. (2) (a2)4 = a2×4 = a8. (3) (xm)4 = xm·4 = x4m. (4) －(a3)4 = －a3×4 = －a12. (5) [(x + y)2]3 = (x + y)2×3 = (x + y)6. (6) [(－a)3]4 = (－a)3×4 = (－a)12=a12. 议一议(1) 错误. (a2)5 = a10 . (2) 错误. (a3)2 = a6 . 比一比 答：不相同. (－a2)5 表示 5 个 －a2 相乘，其结果带有负号. (－a5)2 表示 2 个 －a5 相乘，结果没有负号. 想一想：[(a2 )3]4＝( a6 )4＝ a24 幂的乘方法则拓展：[(am )n]p = amnp . 练一练: [ ( y5 )2 ]2 = ( y10 )2 = y20 ； [ ( x5 )m ]n = ( x5m )n = x5mn . 典例精析 例2 解：(1) (a4)3 · a3 = a12 · a3 = a15. (2) a2 (－a)2 (－a2)3＋a10= －a2 · a2 · a6＋a10 = －a10＋a10 = 0. 例3 解：(1) 103m ＝(10m)3 ＝33 ＝27. (2) 102n ＝(10n)2 ＝22 ＝4. (3) 103m＋2n ＝103m × 102n ＝27×4 ＝108. 变式训练 解：(1) ( x3n )4＝x12n ＝(x2n)6 ＝36 ＝729. (2)因为 2x＋5y－3 ＝0， 所以 2x＋5y ＝3. 所以4x · 32y ＝(22)x · (25)y ＝22x · 25y ＝22x＋5y＝23＝8. 例4 解：3500 = (35)100 = 243100 ，4400 = (44)100 = 256100， 5300 = (53)100 = 125100 . 因为 256100 > 243100 > 125100， 所以4400 > 3500 > 5300 . 三、课堂小结 当堂检测 1. B 2. C 3. B 4．B 5. 解：(1) (102)8 ＝1016 . (2) (xm)2＝x2m . (3) [(－a)3]5 ＝(－a)15 ＝－a15 . (4) －(x2)m ＝－x2m . 6. 解：(1) 原式＝5a12－13a12 ＝－8a12 . (2) 原式＝－7x9 · x7＋5x16－x16 ＝－3x16 . (3) 原式＝(x＋y)18－(x＋y)18 ＝0. 7. 解：因为 3x + 4y－5 = 0， 所以3x + 4y = 5. 所以 27x · 81y = (33)x · (34)y = 33x · 34y = 33x+4y · 34y = 35 = 243. 8. 解：a = 355 = (35)11 = 24311， b = 444 = (44)11 = 25611， c = 533 = (53)11 = 12511 . 因为256 > 243 > 125 ， 所以b > a > c. 学科网（北京）股份有限公司 $