4.5 第2课时 垂线段与点到直线的距离（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学导学案聚焦“垂线段与点到直线的距离”，引导学生理解垂线画法、垂线段最短及点到直线距离的概念。通过“灌溉引水”情境导入，衔接垂线概念，经操作探究垂线基本事实，再引出垂线段性质与距离定义，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境问题激发兴趣，培养数学眼光，通过画垂线操作发展几何直观与空间观念。例题和检测题结合实际（如三角形、汽车行驶问题），提升推理意识与应用意识，帮助学生用数学思维解决问题，用数学语言表达现实情境。

第4章 平面内的两条直线 4. 5 垂 线 第2课时 垂线段与点到直线的距离 学习目标： 1. 理解垂线的画法； 2. 知道垂线段和点到直线的距离的概念，会运用并 解决问题. （重点、难点） 自主学习 一、情境导入 在灌溉时，要把河中的水引到农 田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. 合作探究 1、 要点探究 探究点一：垂线的画法及基本事实 问题： (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 如图，已知直线 l ，作 l 的垂线. 1. 放 2. 靠 3. 画 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A ，作 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 A ，作 l 的垂线. 根据以上操作，你能得出什么结论？ 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点” 中的点，可以在已知直线上，也可以 在已知直线外； 2.“有且只有” 中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 例1 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． 总结: 过一点画射线或线段的垂线，是指过该点画射线或线段所在的直线的垂线. 探究点二：点到直线的距离 如图，从 A 点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段. 说一说： 1. 线段 AB，AC，AD ，AE谁最短？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 特别规定： 线段 AD 的长度叫作点 A 到直线 l 的距离. 试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. 例2 如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，BD ⊥ AC，垂足为点D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求： (1) 点 A 到直线 BC的距离； (2) 点 B 到直线 AC 的距离是多少? 二、课堂小结 1. 垂线的画法 2. 垂线的性质 (1) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直； (2) 垂线段最短. 3. 点到直线的距离 当堂检测 1.过点 P 向线段 AB 所在直线作垂线，正确的是（ ） 2.如图，AC丄BC ， ∠CDB = 90。，线段AC、BC 、CD 中最短的是 ( ) A. AC B. BC C. CD D. 不能确定 3. P 是直线 AB 外一点，过点 P 作 PO丄AB ，垂足为 O， 若 C 为直线 AB 上任意一点，则线段 PC 与线段 PO 的大小关系是（ ） A. PC ＞ PO B. PC ＜ PO C. PC ≥ PO D. PC ≤ PO 第2题图 第4题图 4. 下列说法正确的是（ ） A. 线段 AB 叫作点 B 到直线 AC 的距离 B. 线段 AB 的长度叫作点 A 到直线 AC 的距离 C. 线段 BD 的长度叫作点 D 到直线 BC 的距离 D. 线段 BD 的长度叫作点 B 到直线 AC 的距离 5. 一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，C、D 是分别位于公路 AB 两侧的加油站. （1）设汽车行驶到公路 AB 上点 M 的位置时，距离加油站 C 最近；行驶到点 N 的位置时，距离加油站 D 最近，请在图中分别画出点 M、N 的位置； （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 C、D 两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站 D 越来越近，而离加油站 C 却越来越远？ 拓展提升 如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？并说明根据. 参考答案 情境导入 过P点作河道的垂线即可 探究点一：垂线的画法及基本事实 问题 （1）无数条 （2） 1条 （3） 1条 作图略 例1 探究点二：点到直线的距离 1. AD 2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 例2 （1） 解：因为∠ABC= 90。，所以 AB丄 BC ，点 B 为垂足，所以线段 AB 即为点 A到直线 BC 的垂线段，因为AB = 5 ，所以点 A 到直线 BC 的距离为5. （2） 解：因为 BD丄AC ，垂足为 D，所以线段 BD 的长度即为点 B 到直线 AC 的距离. 因为 S△ABC= BC ·AB = AC ·BD，所以 ，所以点 B 到直线 AC 的距离为 。 课堂练习 1. C 2. C 3. C 4. D 5. （1） （2）解：在公路 AB 的 AM 段距离 C、D 两加油站都越来越近，在 MN 段距离加油站 D 越来越近，而距离加油站 C 却越来越远. 拓展提升 解：（1）因为两点之间线段最短， 所以连接 AD，BC 交于 H ，则 H 为蓄水池位置，它到四个村庄的距离之和最小. （2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G . “过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据. 学科网（北京）股份有限公司 $