4.5 第1课时 垂线（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

第4章  平面内的两条直线

4. 5   垂 线  

第1课时 垂线  

学习目标：

1. 理解垂线的概念、性质；（重点）

2. 会运用垂线的性质解决问题.  （难点）

一、情境导入

观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们 有什么特殊的位置关系？

 

日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？

 

一、要点探究

探究点一：垂线的概念

在相交线的模型中，固定 木条 a ，转动木条b ，当 b 的位置变化时，a 、b 所成 的角 α 也会发生变化.

                                                        

 

 

 

问题 如图，直线 AB 与 CD 交于点 O ，当∠AOC = 90。

时， ∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 等于多少度？为什么？

                                                           

 

知识要点 

1.垂直的定义：

在同一平面内的两条直线相交所成的四 个角中，若有一个角是直角(此时可知  其余三个角也是直角) ，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.

若两条直线相交所成的四个角中没有直角， 则称其中一条直线为另一条直线的斜线.

如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线.

2.垂直的表示法：

如果直线 AB与直线CD垂直，那么可记作：AB丄CD（或 CD丄AB）.

如果用l 、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直可记作：l 丄m （或 m丄l）.

其中 O 点是这两条互相垂直的直线的垂足.

3.垂直概念的延伸

如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点， AB丄CD ，垂足为 O.

符号语言：

①判定：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB丄CD（垂直的定义）

反之，若直线 AB丄CD ，垂足为 O ，那么∠AOD= 90。.

符号语言：

②性质：因为AB丄CD（已知），

所以∠AOD = 90°(垂直的定义). (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90 °).

典例精析

例1 (1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则__________；

(2) 若直线 AB 、CD 相交于点 O ，且 AB丄CD ，那么 ∠BOD =_________；

(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，则∠COA =_______°，∠BOC 的补角为________°.

 

 

活动1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？

 

 

 

活动2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？

折一折，试一试

你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?

 

 

 

 

 

 

 

例2 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE =∠NOE，若∠EON = 20°，求∠AOM和∠NOC 的度数．

                                                     

 

思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线,这两条直线平行吗？为什么？

                                                        

猜想：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.

(1) 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.

 

 

 

(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l⊥b 吗?