4.5 第1课时 垂线（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（湘教版）

该教案聚焦平面内两条直线的垂线知识，通过教室黑板相邻边夹角的情境导入，衔接相交线基础，构建从生活实例到数学概念的学习支架，引导学生认识垂直这一特殊相交关系。 资料特色在于融合数学眼光、思维与语言，情境导入培养观察现实世界的意识，合作探究中用方程求角度（如设未知数解∠GOP度数）体现运算能力与推理意识，例题解析以规范语言描述垂直判定，助力学生发展几何直观与逻辑推理，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第4章　平面内的两条直线 4.5 第1课时　垂线 1．了解互相垂直的有关概念． 2．掌握垂线的有关性质并会用它们解答简单的几何问题. 3．在观察、测量、画图等教学活动中，经历认识垂线的过程. 4．联系生活实际理解垂线的意义，感受数学与生活的联系，体验数学来源于生活又回到生活的过程． 重点：理解垂线的概念并会用它们解答简单的几何问题. 难点：垂线的概念及垂线与平行线的综合运用． 一、情境导入 如图是我们教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？ 二、合作探究 探究点一：垂线 【类型一】 垂直与方程综合求角的度数 如图，MO⊥NO，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，求∠GOP的度数． 解析：由于∠PON＝3∠MOG，若设∠MOG＝x°，则∠PON＝3x°.OG平分∠MOP可得∠POG＝x°.又由于MO⊥NO，利用∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°可列出关于x的方程，从而求得x的值，进而解决问题． 解：设∠MOG＝x°，则∠PON＝3∠MOG＝3x°. 因为MO⊥NO，所以∠MON＝90°. 因为OG平分∠MOP， 所以∠GOP＝∠MOG＝x°. 因为∠MON＋∠MOG＋∠GOP＋∠PON＝360°， 所以90＋x＋x＋3x＝360，解得x＝54. 所以∠GOP＝54°. 方法总结：当题目中出现形如“∠α＝k∠β”，“∠α∶∠β＝k∶1”这类等式的时候，常考虑设未知数，然后设法找出一个相等关系列出关于未知数的方程，从而解决问题． 【类型二】 利用垂线的概念判断直线垂直 如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB和OD的位置关系，并说明理由． 解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.又∵∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根据垂直的定义，得出OB⊥OD. 解：OB⊥OD.理由如下： 因为OA⊥OC， 所以∠AOC＝90°， 即∠AOB＋∠BOC＝90°. 因为∠AOB＝∠COD， 所以∠COD＋∠BOC＝90°. 所以∠BOD＝90°. 所以OB⊥OD. 方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°. 探究点二：垂线的性质 【类型一】 利用垂线的性质判断两直线平行 已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1＝∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由． 解析：要说明BC∥DG，可说明∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，故只需说明∠1＝∠BCD，这可由EF与CD都与AB垂直，从而得出EF与CD平行而得到． 解：BC∥DG.理由如下： 因为CD⊥AB，EF⊥AB， 所以CD∥EF. 所以∠1＝∠BCD(两直线平行，同位角相等). 又因为∠1＝∠2(已知)， 所以∠2＝∠BCD. 所以BC∥DG(内错角相等，两直线平行). 方法总结：要说明两直线平行，除可根据同位角、内错角、同旁内角判定外，还可由垂线的性质得到平行. 【类型二】 利用垂线的性质判断两直线垂直 已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，试说明：CD⊥AB. 解析：由DG⊥BC，AC⊥BC可得DG∥AC，再结合已知条件可得出EF∥DC，而EF⊥AB，从而有CD⊥AB. 解：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴DG∥AC. ∴∠2＝∠3. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3. ∴EF∥DC. ∵EF⊥AB， ∴DC⊥AB. 方法总结：判断两条直线垂直的方法有两种：①根据垂直的定义，说明相交所成四个角中有一个角为直角；②利用垂线的性质“在同一平面，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条”． 三、板书设计 垂线 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直(如本节课的例2).垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆． 学科网（北京）股份有限公司 $