精品解析：湖北通山县第一中学等学校2025-2026学年高一年级4月阶段训练数学试卷

2026年高一年级4月阶段训练 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则该函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 7. 在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则该三角形有两解 C. 周长的最小值为6 D. 面积的最大值 8. 如图，直线与的边分别相交于点.角所对的边分别为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小与取值有关 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 若是直线与函数的图象的两个不同交点，则的最小值为 11. 已知点P为所在平面内一点，满足，（其中）以下说法正确的有（ ） A. 若直线PC过边AB的中点，则 B. 当时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则，满足 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为__________. 13. 已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 14. 已知函数，其中，若当时，取得最大值，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数 （1）求的值及函数的解析式； （2）若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 16. 记的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 17. 已知函数 （1）化简的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 18. 如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. （1）试用表示； （2）设，求的值； （3）若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一年级4月阶段训练 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为奇数集合，中的奇数有，所以. 2. 已知函数，则该函数零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为与均在R上单调递增， 所以在R上单调递增， 又，，则， 所以在区间上存在唯一零点. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，，，得； ，， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的求法，结合数量积公式、求模公式，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC； 当时，，排除选项D，选项A符合要求，故选A. 6. 已知，则（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和齐次思想化简计算即可. 【详解】由，得， 故. 7. 在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则该三角形有两解 C. 周长的最小值为6 D. 面积的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由面积公式及正弦定理结合基本不等式解决即可. 【详解】对于A，由正弦定理得，解得，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，，，所以，所以该三角形有两解，故B正确； 对于C，由，得 ， 所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大值为6，故C错误； 对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号， 故，所以面积的最大值为，故D正确. 8. 如图，直线与的边分别相交于点.角所对的边分别为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小与取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦和差公式化简，再应用正弦定理整理即可得到两者关系. 【详解】 ， 又由正弦定理得，在中，，（为外接圆半径）， ； . 代入得. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据指数、对数的运算法则，化简计算，即可得答案. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 若是直线与函数的图象的两个不同交点，则的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对 A，由函数图象上两点的横坐标差求出​，进而得到周期，再由周期公式求出；对 B，将已知点代入，结合的范围求出​；对 C，将​代入计算函数值，与选项结论对比判断；对 D，解方程得到所有解，计算相邻解的最小差值判断. 【详解】对于A：由函数的图象，可得，解得，所以，故A正确； 对于B：把点代入，可得，则， 即，因为，所以，故B正确； 对于C：因，则，故C错误； 对于D：由，可得， 则或， 解得或， 则的最小值为故D错误. 11. 已知点P为所在平面内一点，满足，（其中）以下说法正确的有（ ） A. 若直线PC过边AB的中点，则 B. 当时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中线的性质即可求解AB，根据等边三角形的性质可求解C，根据模长公式即可求解D. 【详解】对于A，设AB的中点为D，当直线PC过边AB的中点时，三点共线， ，即即，，选项A正确； 对于B，当时，,则，则由A知P在BC的中线AM上，且P为AM中点，则 ，即与的面积之比为1：1，选项B错误； 对于C，由于，则P为的外心，又，故P为的重心，故为等边三角形，则，由可得，故，选项C正确； 对于D，因为，且，由得 ，平方得，，选项D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 13. 已知为单位向量，若对任意实数恒成立，则向量的夹角的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律有对任意实数恒成立，再由判别式符号及数量积的定义、余弦函数的单调性求夹角的范围. 【详解】由是单位向量，恒成立得， 依题意，不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 而，则，又， 函数在上单调递减，因此， 所以向量的夹角的取值范围为. 14. 已知函数，其中，若当时，取得最大值，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过构造辅助函数判断两个函数的大小关系，将拆分为分段函数，再结合分段函数的单调性确定最大值点即可求值. 【详解】令， 由于和在上均单调递增， 故在上单调递增，又， 故当时，，即， 当时，，即， 故， 则时，为增函数，此时， 时，减函数，此时， 由此可得时，取得最大值，即，则. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数 （1）求的值及函数的解析式； （2）若为偶函数，方程有一正一负两个实根，求实数k的取值范围. 【答案】（1）或，或. （2）. 【解析】 【小问1详解】 因为函数为幂函数，所以， 解得或. 所以或. 【小问2详解】 因为为偶函数，故， 又方程有一正一负两个实根， 即方程有一正一负两个实根， 设方程根为，则，解得. 所以实数k的取值范围为. 16. 记的内角的对边分别为，若. （1）求； （2）若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据以及余弦定理即可得到答案； （2）由题意得出的长度，再根据，利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 由余弦定理得，因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，又，代入解得或（舍）， 如图所示：， 代入数据得， 解得. 17. 已知函数 （1）化简的解析式； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的对称中心和单调递减区间. 【答案】（1） （2）的对称中心，；单调递减区间，. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式化为，再用辅助角公式化简即可； （2）根据图形变换得，再整体代入对称中心公式以及单调递减区间计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 依题意得，， 令，得，故的对称中心，； 由，得 所以的单调递减区间，. 18. 如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点. （1）试用表示； （2）设，求的值； （3）若，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线性运算，结合图形求解即可； （2）根据线性运算，结合共线定理的推论求解可得； （3）共线定理的推论，结合数量积的定义求解即可. 【详解】（1）， 又是边的中点，. （2）， 又因为是中点，所以， 三点共线，. （3）由（2）知， ， 设， ， 又三点共线，所以，， ， 又， 或（舍去）， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $