精品解析：湖北竹溪县第一高级中学等学校2025-2026学年4月高一年级数学训练卷

2026年4月高一年级训练卷 高一数学 命题学校：竹溪一中 命题教师：刘洋 审题教师：曾志 考试时间：2026年4月1日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，，则，， 所以与方向相同的单位向量是. 2. 已知幂函数，则（ ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 4. 如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体边长为1，由图可得，结合两角和的正切公式计算即可求解. 【详解】设正方体边长为1，由图可得， 则且， 所以. 故选：B. 5. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以. 又因为当时，， 所以， 所以. 6. 设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，非零向量的夹角为，且， 则， 不等式对任意恒成立， 所以，即， 整理得恒成立， 因为，所以，即，可得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】求平面向量的模的两种方法： 1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算； 2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. 7. 已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得，再由时，，结合余弦函数性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故， 故，即， 因为，所以，故， 当时，， 要想在上有且只有三个最值点， 则要，解得 即的取值范围是， 故选：B. 8. 已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简分段函数，画出函数的图象，分析的根的个数，确定的范围. 【详解】， 将函数的图象关于轴对称并将轴下方部分翻折到轴上方，即可得到的图象； 对于，最小正周期为， 故上有个周期，令，， 则可得，， 由此作出函数的图象， 如图， 当时，由图可知，当时，， 取其他值时，，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，，得，，则，故A正确； 由，两边平方可得，， 则，故B正确； ，，， 则， ，故C错误； 联立，解得，则； ，故D正确． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 函数的最小值为2 C. 若正实数满足，则的范围为 D. 已知，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，可判定A正确；利用基本不等式和对勾函数的性质，可判定B错误；利用基本不等式，转化为，求得不等式的解集，可判定C正确；利用作差比较法，可判定D正确. 【详解】对于A，由不等式，得， 解得，故不等式的解集为，所以A正确； 对于B，由函数， 令，则，函数在是增函数， 可得，即函数的最小值为，所以B错误； 对于C，由正实数满足，当且仅当时，等号成立， 可得，解得或（舍）， 所以，所以的范围为，所以C正确； 对于D，已知，， 因为， 所以，所以D正确. 11. 给出定义：若其中 m为整数，则 m叫做离实数 x最近的整数，记作设函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数为的增函数 B. 函数为偶函数 C. 函数的最大值为 D. 函数有无数个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义得出函数解析式，再取几个特殊值进行画图像，从图像中研究函数的规律进行判断 【详解】由题意可得，即，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 画出图像，由是将在轴下方的图像翻折上去，可以判断 函数在不断上升，满足在递增，所以A正确， 函数图像可得，，即，则不是偶函数，所以B错误， 当，由图像可得，所以选项C正确， 画出，与在轴右侧图像有交点，令， ，当，时，，， ，即，根据零点存在定理，时， 一定有零点，故函数有无数个解， 所以选项D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题属于函数新定义题型，涉及到的方法有： (1)函数零点可利用零点存在定理，也可利用图像转化为两个函数的交点求解 (2)奇偶性的判断除了使用定义外，也可利用函数对称性来判断 (3)分段函数的单调性结合图像判断，同时满足各个区间段上单调和区间分段点上函数单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算法则以及可得. 【详解】由题意可得，， 得. 故答案为： 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 14. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为，利用复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，由此得到；分别讨论、和的情况，根据一次函数单调性确定，由可解不等式求得的范围. 【详解】对任意的，总存在，使得成立，； ， 在上单调递减，单调递增， 在上单调递减，； 当时，，则，满足题意； 当时，在上单调递减，， ，解得：； 当时，在上单调递增，， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R，关于的不等式的解集为，集合，. （1）求集合及 （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，可得集合A，根据余弦函数的单调性，可得集合C，根据补集、交集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件可得A B，根据包含关系，列出不等式组，即可得答案. 【小问1详解】 由，得，则， 即，解得，所以集合； 因为在上单调递减，且， 解得，所以， 又或，所以. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则A B， 所以，解得，则实数的取值范围是. 16. 已知函数（，，）的图象如图所示，点为函数的图象与轴的一个交点，点为函数图象上的一个最高点，且点的横坐标为，点为函数的图象与轴的一个交点. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）把的图象向左平移个单位，再把得到曲线上各点横坐标扩大到原来的3倍，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得解析式，整体代换可求增区间； （2）根据图形变换求出函数的解析式，结合区间可得值域. 【小问1详解】 由函数的部分图象可知，函数的周期， 可得，由五点作图法可知，，所以，， 因为，所以，故， 又由，可得， 即函数的解析式为； 由， 解得：， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 把的图象向左平移个单位，得， 再把得到曲线上各点横坐标扩大到原来的3倍，可得， 当时，，所以， 所以，故在区间上的值域为. 17. 已知，． （1）当时，求使成立的的集合； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，得到不等式，讨论当时，不等式成立；当或时，分别求解绝对值不等式，然后得到不等式解集； （2）根据整理不等式，然后解绝对值不等式，用含的代数式表示的取值范围，由恒成立转换为求代数式最值，从而求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知，，即解不等式 当时，不等式显然不成立； 当时，即解，解得或，又因，所以； 当时，即解，解得，又因，所以 综上所述， 【小问2详解】 由题知，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 即与在上恒成立． 函数在上单调递增，所以最大值为0，所以； 函数在时，，当且仅当，即时取等号，所以最小值为4，所以； 综上所述， 18. 如图，，是两条互相平行的直线，点，分别在，上，，点在线段上，且，点，分别在，上，设. （1）当，时， （ⅰ）为等腰直角三角形，求的值. （ⅱ）设的面积为，求的最小值. （2）当，时，设的周长为，求的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）4；（ⅱ）4 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据锐角三角函数定义，利用同角三角函数关系式进行求解即可； （ⅱ）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式、辅助角公式，结合换元法进行求解即可. 【小问1详解】 当，时，， （ⅰ）因为为等腰直角三角形，，所以， 过点作，垂足为，则， 所以，， 由，得，则； （ⅱ）因为，所以， 由（1）可知，， 则， 因为，所以， 当且仅当时即，等号成立，则， 故的最小值为4，此时. 【小问2详解】 当，时， ，，， 所以， 令， ， 即， 则， 所以时，的最小值为； 19. 已知函数. （1）若的定义域为，求，的值. （2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若在上单调，求的最小值. 【答案】（1）， （2）不存在，理由如下： 当时，，要使在内存在最大值且大于2， 只需函数，的最大值大于， 则，即，无实数解， 故不存在实数，使得在内存在最大值，且最大值大于2. （3） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于0，结合一元二次不等式的解法及韦达定理，即可得答案. （2）分析可得函数，的最大值大于，根据二次函数的性质，分析求解，即可得答案. （3）由复合函数单调性可知，在上单调，且在上恒成立，根据二次函数的性质，分类讨论，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题可知，的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由韦达定理得，解得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若在上单调，记， 则由复合函数单调性可知，函数在上单调，且在上恒成立 则或， ①当时，，， 此时， 当且仅当，时，等号成立； ②当时，，， 此时，当且仅当，时，等号成立. 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月高一年级训练卷 高一数学 命题学校：竹溪一中 命题教师：刘洋 审题教师：曾志 考试时间：2026年4月1日下午15:00-17:00 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数，则（ ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有三个相同的正方形相接，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 6. 设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，且，若在上有且只有三个最值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若有个不同的实数根，则的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 函数的最小值为2 C. 若正实数满足，则的范围为 D. 已知，，则 11. 给出定义：若其中 m为整数，则 m叫做离实数 x最近的整数，记作设函数，则下列命题正确的是（ ） A. 函数为的增函数 B. 函数为偶函数 C. 函数的最大值为 D. 函数有无数个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，，则_____ 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 14. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集U=R，关于的不等式的解集为，集合，. （1）求集合及 （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数（，，）的图象如图所示，点为函数的图象与轴的一个交点，点为函数图象上的一个最高点，且点的横坐标为，点为函数的图象与轴的一个交点. （1）求函数的解析式及单调递增区间； （2）把的图象向左平移个单位，再把得到曲线上各点横坐标扩大到原来的3倍，得到函数的图象，求在区间上的值域. 17. 已知，． （1）当时，求使成立的的集合； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 18. 如图，，是两条互相平行的直线，点，分别在，上，，点在线段上，且，点，分别在，上，设. （1）当，时， （ⅰ）为等腰直角三角形，求的值. （ⅱ）设的面积为，求的最小值. （2）当，时，设的周长为，求的最小值. 19. 已知函数. （1）若的定义域为，求，的值. （2）当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （3）若在上单调，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $