精品解析：广东佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2025-2026学年第二学期七年级第一次学情调查数学调研卷

2025-2026学年度第二学期七年级第一次学情调查数学科调研卷 试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上：答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 和是内错角 B. 和是对顶角 C. 和是同位角 D. 和是同旁内角 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个可折叠的衣架，是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当且时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（ ） A. B. C. D. 8. 为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ） A. 增加6ｍ2 B. 增加9ｍ2 C. 减少9ｍ2 D. 保持不变 9. 某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（ ） A. 48 B. 50 C. 54 D. 56 10. 已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某种感冒病毒的直径是米，将用科学记数法可表示为______． 12. 如图，如果，则的度数为__________． 13. 若，则它的补角的度数是______． 14. 如果的乘积中不含项，则m为______． 15. 我国数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律，展开式中含的系数是______． 三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 完成下面的解题过程，在括号内填依据． 如图，直线，，被直线所截，已知，，，试说明：． 解：因为，， 所以 （等式的性质）， 所以 （ ）． 又因为， 所以 ， 所以 （ ）， （ ）． 18. 十位数字相同，个位数字的和为10的两个两位数相乘时，可以用以下方法“速算”：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积．如：，其结果为624，，其结果为2016． （1）仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果： = ； （2）若两个两位数的个位数字分别为a，b，且，十位数字为m，用含a，b，m的式子表示上述“速算”的结论为 ，请填空并写出推理过程． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为 ，多项式为 ，例题的计算结果为 ； （2）先化简，再求值：，其中，． 20. 如图，直线与相交于点，． （1）若，求的度数； （2）从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 21. 在“过直线外一点作已知直线的平行线”的课堂活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线，在直线外取一点P，过点P作直线与平行． （1）【方法一】尺规作图通过尺规作图能作出直线，使得．请在图1完成作图．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）【方法二】利用三角板将两个含有角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，直至经过点P，画直线，这样做的依据是： ； （3）【方法三】折纸法第一步：过点P折叠纸片，使得点A的对应点落在直线上（如图3），记折痕与的交点为C，将纸片展开铺平；第二步；再过点P将纸片进行折叠，使得点D的对应点落在直线上（如图4），记折痕为，再将纸片展开铺平（如图5），则得到直线．请你根据以上折纸过程，证明：． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：应用新知： （1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片 张，C号卡片 张． （2）已知：，，的值为 ． （3）若a满足，求的值． （4）如图3，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为m，n（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积的值． 23. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ． （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期七年级第一次学情调查数学科调研卷 试卷说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名等信息按要求填写在答题卡上：答案必须写在答题卡各题目指定区域内；考试结束后，只需将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项． 【详解】A项：根据同底数幂乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，可得，故A错误； B项：根据积的乘方法则“积的乘方等于各因式乘方的积”，可得，故B错误； C项：根据同底数幂除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，可得，故C正确； D项：根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”，可得，故D错误． 2. 下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的计算，掌握平方差公式的计算方法是解题的关键． 根据平方差公式进行判定即可求解． 【详解】解：A、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，满足平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不满足平方差公式的形式，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B ． 3. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 和是内错角 B. 和是对顶角 C. 和是同位角 D. 和是同旁内角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果． 【详解】解： = ． 5. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 6. 如图是一个可折叠的衣架，是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当且时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行公理，平行线的判定，熟记“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”是解题关键．根据平行线的判定先证明，，再由平行公理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可知，点N，P，M在同一条直线上． 故选：C． 7. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂、难懂的问题具体化．以下图形中能验证式子“”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的几何应用，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：由A选项可得：，故本选项不符合题意； 由B选项可得：，故本选项不符合题意； 由C选项可得：，故本选项符合题意； 由选项D可得：，故本选项不符合题意， 故选：C． 8. 为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3ｍ，东西方向缩短3ｍ，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（ ） A. 增加6ｍ2 B. 增加9ｍ2 C. 减少9ｍ2 D. 保持不变 【答案】C 【解析】 【详解】设正方形草坪的原边长为a，则面积=a2； 将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m后，边长为a+3，a﹣3， 面积为a2﹣9．故减少9m2．故选C． 9. 某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，两轮中心的距离，则点C到的距离为（ ） A. 48 B. 50 C. 54 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离和勾股定理的逆定理，解题的关键是连接，过作于，求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，根据三角形的面积公式得出，再求出即可． 【详解】解：连接，过作于， 是直角三角形， 根据的面积，得， 解得：， 即点到的距离为48， 故选：A． 10. 已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是将所有已知等式统一化为底数为3的幂．先将和化为以3为底的幂，再利用建立等式，最后根据指数相等得到关系． 【详解】解：， ， 又, 且， ， 即， 且， ， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某种感冒病毒的直径是米，将用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：． 12. 如图，如果，则的度数为__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角的性质．根据对顶角相等求出的度数，即可得解．熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：与为对顶角， ， ， ， 故答案为：． 13. 若，则它的补角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查补角的度数计算，根据补角的定义，互为补角的两个角的和为，用减去已知角即可得到它的补角的度数． 【详解】解：， 它的补角的度数是． 14. 如果的乘积中不含项，则m为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确展开并找出项的系数．先将展开，合并同类项后令项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 乘积中不含项， ， 解得． 故答案为：． 15. 我国数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与下侧的等式图，根据图中各式的规律，展开式中含的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过观察杨辉三角得出展开式中项的系数为的规律，再将写成，对应规律中的，进而确定项对应，最后计算出该项系数为． 【详解】解：观察“杨辉三角”与右侧的等式图，可以发现， 中系数为， 中系数为， 中系数为， 的展开式中，项的系数为 将写成， 当，项的系数， ∴该项为， ∴系数为：． 三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用乘方、零指数幂、负整数指数幂、积的乘方的运算法则，分别计算每一项后合并得到最终结果． 【详解】解：原式 ． 17. 完成下面的解题过程，在括号内填依据． 如图，直线，，被直线所截，已知，，，试说明：． 解：因为，， 所以 （等式的性质）， 所以 （ ）． 又因为， 所以 ， 所以 （ ）， （ ）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【解析】 【分析】先根据“同位角相等，两直线平行”证明，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案． 【详解】解：因为，， 所以（等式的性质）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 又因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两条直线平行）． 18. 十位数字相同，个位数字的和为10的两个两位数相乘时，可以用以下方法“速算”：用100乘十位数字，再乘比十位数字大1的数，所得的结果加上两个个位数字的积，就得到这两个两位数的积．如：，其结果为624，，其结果为2016． （1）仿照上面的方法，写出计算的“速算”过程与结果： = ； （2）若两个两位数的个位数字分别为a，b，且，十位数字为m，用含a，b，m的式子表示上述“速算”的结论为 ，请填空并写出推理过程． 【答案】（1）， （2），推理过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目的方法进行解答即可； （2）根据题目的方法进行推理即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：， 【小问2详解】 解：，推理过程如下：． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为 ，多项式为 ，例题的计算结果为 ； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，即可得到多项式、多项式，再化简即可解答； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，最后将和的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 两边同时除以得， 同理得， 两边同除以得， 则例题的计算结果为； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 将，代入得， 原式． 20. 如图，直线与相交于点，． （1）若，求的度数； （2）从点出发在的内部引射线，若与互补，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）垂直；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角等知识．确定角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由，可得，即，由，，可得，计算求解即可； （2）由与互补，可得，则，即，则，进而可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【小问2详解】 解：（或垂直），理由如下； ∵与互补， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 21. 在“过直线外一点作已知直线的平行线”的课堂活动中，发现可以有多种方式找到符合要求的直线．如图1，在纸上画上一条直线，在直线外取一点P，过点P作直线与平行． （1）【方法一】尺规作图通过尺规作图能作出直线，使得．请在图1完成作图．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）【方法二】利用三角板将两个含有角的三角板如图2放置，三角板①的直角边与重合且保持不动，将三角板②沿三角板①的斜边推动，直至经过点P，画直线，这样做的依据是： ； （3）【方法三】折纸法第一步：过点P折叠纸片，使得点A的对应点落在直线上（如图3），记折痕与的交点为C，将纸片展开铺平；第二步；再过点P将纸片进行折叠，使得点D的对应点落在直线上（如图4），记折痕为，再将纸片展开铺平（如图5），则得到直线．请你根据以上折纸过程，证明：． 【答案】（1）见解析 （2）内错角相等，两直线平行 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作射线，以P为顶点，在延长线的右侧作即可； （2）根据“内错角相等，两直线平行”判断即可； （3）根据折叠的性质和邻补角的定义分别求出，，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可得证。 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图，， ∴，即内错角相等，两直线平行； 【小问3详解】 证明：如图3，根据折叠的性质可知， 又， ∴， ∴． 如图4，根据折叠的性质可知， 又， ∴， ∴， ∴. 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 知识生成：在数学课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，用A纸片一张，B纸片一张，C纸片两张拼成如图2所示的大正方形．由图2所示我们可以得到一个熟悉的数学公式：应用新知： （1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片 张，C号卡片 张． （2）已知：，，的值为 ． （3）若a满足，求的值． （4）如图3，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为m，n（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积的值． 【答案】（1）2，3 （2）12 （3）2 （4）10 【解析】 【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可作出判断； （2）利用完全平方公式求解； （3）令，，分别求得与，再利用完全平方公式求出即可； （4）分析图形，得出，，阴影部分①是以为边长的正方形，阴影部分②是以为边长的正方形，阴影部分③是以1为边长的正方形，则可求，然后利用完全平方公式求解． 【小问1详解】 解：长为，宽为的矩形面积为， ∵A图形面积为，B图形面积为，C图形面积为， ∴需要A类卡片1张，B类卡片2张，C类卡片3张； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵a满足， 令，， 则，， ∴ ， 即； 【小问4详解】 解：如图， 根据题意，得，，阴影部分①是以为边长的正方形，阴影部分②是以为边长的正方形，阴影部分③是以为边长的正方形， ∴ ． 23. （1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． （2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底，则与水平线的夹角的度数 ． （3）如图3，直线上有两点、，分别引两条射线、．，，射线绕点以度/秒顺时针转动，同时射线绕点以度/秒的速度逆时针转动，设时间为，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行?若存在，求出所有满足条件的时间． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），，，， 【解析】 【分析】（1）根据，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行； （2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角反射光线与镜面的夹角，从而求出夹角，然后求出对应的角； （3）通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用来表示，然后求出值． 【详解】（1）证明：如图，延长入射光线，与直线相交得到，， ， ， ， ，， ， ； （2）入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图 ， 解得：； ， ， 当时， ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 综上所述所有满足条件的时间，，，，． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $