7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，诸如此类问题将无法解决． 引入 如何解决数学家在研究解方程问题时遇到的负实数开平方问题呢？ 问题 从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程x2=-a（a＞0）有没有解的问题．把这类问题再进一步简化， 最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题. x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？ 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 今天真顺，可是我现在 共捕了多少头野猪呢？ 有办法了，用结绳来计数！ 我真是天才！ 计数的需要 自然数 被“数”出来的自然数 远古时期的人类，用划痕、 石子、结绳记数，创造了自然数1.2.3.4. 5…… 自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地. 相反量的需要 负数 被“欠”出来的负数 东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法． 负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾. 记出入账 等额公平分配的需要 分数 被“分”出来的分数 分数的引入,解决了在整数中不能整除的矛盾. 大约在春秋战国时期 《九章算术》 (东汉初年) : 第二章“粟米”：粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题；  第六章“均输”：合理摊派赋税； 第八章 “方程”：解一次方程组. 无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是中国，比欧洲早1400年. 毕达哥拉斯（约公元前560—480年） 1 1 ? x2=2 度量计算的需要 无理数 边长为1的正方形的对角线长是多少? 被“推”出来的无理数 约2500年前，古希腊的毕达哥拉斯学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数。 无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾. 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方形对角线等问题 引入了 无理数 自然数 负整数 整数 无理数 有理数 分数 实数 从社会实践来看 随着社会发展，数系在不断扩充． 计数的需要 引入了 自然数 从数学发展的角度来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ 引入 新数 （1）在自然数集中求方程x+1=0的解； 如果没有运算，数只是孤立的符号！ 有理数集 实数集 运算 运算律 交换律 结合律 分配律 交换律 结合律 分配律 数系扩充规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 引入了 无理数 ＋（－） ×（÷） ＋（－） ×（÷） 问题 数系经过扩充后，在运算上遵循了什么规则？ 回到问题：求下列方程的解 希望：引进一个新数使方程有解 设想：引入的新数能像实数那样进行加法、乘法运算，保持原有的（实数）加法、乘法运算律仍成立 1、引进一个新数 历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的. 我们可以引入一个数“i”，使i2=-1， 这样x=i就是方程x2+1=0的解． 实数 新数i 加法运算 乘法运算 a+i bi a+bi(a，b∈R) 3+i 2i 3+2i 依据规则：在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致． (1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示. (2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示. 实部 虚部 2、复数与数系的扩充 i 叫虚数单位 3、复数的分类 实数 纯虚数 虚数 实数R 纯虚数 虚数 复数集C 4 、复数相等 规定： 思考: 任意两个复数可以比大小吗？ 思考：虚数为什么不能比较大小？ 即，如果两复数能比较大小，那么这两复数一定为实数。 例1. 将下列复数分类，分出实数、纯虚数和虚数，并指出虚数的实部与虚部。 实数R 纯虚数 虚数 复数集C (2)当 ，即 时，复数 z 是虚数． 例2 实数m取什么值时，复数 是 (1) 实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 解：(1) 当 ，即 时，复数 z 是实数． (3)当 ，且 ， 即 时，复数 z 是纯虚数． 复数分类问题的求解方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.　　 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．　　 发展理性思维 1．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围为 (　　) A．a≠－1或a≠2　 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 解析：当复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数时，a2－a－2＝0且|a－1|－1≠0，解得a＝－1，∴复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数时，a≠－1. 答案：C 2．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．若z1为纯虚数，则实数m的值为________；若z1＝z2，则实数λ的取值范围为________． 答案：－2　[2,6] 作业 1.半期复习 2.练习册 p219课时（十四） 在几何上，我们用什么来表示实数? 实数的几何意义 类比实数的表示，可以用什么来表示复数？ 实数可以用数轴上的点来表示。 实数 数轴上的点 (形) (数) 一一对应 复数的一般形式？ Z=a+bi(a, b∈R) 实部! 虚部! 一个复数由什么唯一确定？ 由一个有序实数对（a,b）唯一确定 答：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下： 若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i<0，则－2<－1⇒－2i>－i⇒－2i·i<－i·i⇒2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的． 故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分． 若两个复数用“>”或“<”连接，则必为实数． 解析：因为复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，所以m2－5m＋6＝0，m2－3m≠0，解得m＝2. 答案：2 2．若y为纯虚数，x为实数，且满足1＋y＝2x－1＋2i，则x＝________，y＝________. 1．复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数m的值是________． 解析：设y＝ai(a是不为0的实数)，则1＋ai＝2x－1＋2i，所以解得所以x＝1，y＝2i. 答案：1　2i eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解：因为z>0，所以z为实数，需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)>0，,m2－2m－15＝0，))解得m＝5. ———————eq \a\vs4\al([题点二])———————————————————————— 复数的分类 ——————————————————————————————————— [典例]　当m为何实数时，复数z＝eq \f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i：　 [拓展] 当m为何值时，z>0？ ———————eq \a\vs4\al([题点三])———————————————————————— 复数相等及其应用 ——————————————————————————————————— [典例]　 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值； (2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值. [解]　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.)) (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－eq \f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,a＝11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(5,2)，,a＝－\f(71,5).)) ∴a＝11或a＝－eq \f(71,5). eq \a\vs4\al([方法技巧]) 解析：∵z1为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－m2＝0，,m－2≠0，))解得m＝－2. 由z1＝z2，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－m2＝λ＋2sin θ，,m－2＝cos θ－2，)) ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2；当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2,6]． 答案：B 强化拓广探索 3．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ(e为自然对数的底数，i为虚数单位，θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉发明的，eiπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数eeq \f(π,3)i的虚部为 (　　) A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(3),2)i D．eq \f(\r(3),2)i 解析：由欧拉公式得eeq \f(π,3)i＝coseq \f(π,3)＋isineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，其虚部为eq \f(\r(3),2)，故选B. $