7.1.2复数的几何意义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1.2复数的几何意义 温州科技高级中学 张明 复习上节课 引入 1、若 ，求 的值。 答： 于是问题出来了，在已知中是没有实数满足这个等式的，也就是说在实数范围内是无解的。既然没有实数满足这个等式，那未知的式子是求不出来的，但偏偏可以求出并且还是个实数-1，且是平方和 =负数。不可思议，这说明什么？这说明在世界中除了实数还有种神奇的数，它像个幽灵在世界中游荡徘徊，这是个什么东西？它就像鬼，看不见摸不着，你只能想象，它就是鬼，于是我们给这个幽灵或鬼一个名称，这个鬼是哪样子的？ 3 一句话，负实数开平方到底得到什么东西？ 注：一元三次方程的求根公式百度就有。 (1)我们知道，对于实系数一元二次方程a，当时没有 实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决，事实上，数学家在研究解方程向题时早就遇到了负实数的开平方向题，但他们一直在回避.首到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题了：例如，求解=15x+4时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根x=-2或x= ；而通过因式分解，得（x一4）（x²+4x+1）=0，因此方程的三个根为x=4， x=-2+，x=-2-，于是就得到=4这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题，在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？ （2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要。方程x+1=0在自然数集N内无解，引人负整数后，它在整数集Z内便有解x=-1；方程2x-11=0在整数集Z内无解，引人分数后，它在有理数集Q内便有解x=;方程0在有理数集Q内无解，引人无理数后，它在实数集R内便有解x= 问题1：从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程=-a（a>0）是否有解，也就是是否有解的向题，思考一下，能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢? 追问：我们知道，在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，是否能引人新数，适当扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢? 13:44 解方程x2=－1 情境引入 发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。 6 13:44 为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： 问题解决: (1) i 21 ； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时, 原有的加法与乘法的运算律 (包括交换律、结合律和分配律)仍然成立. 7 在宗教比如佛教中，人往往把鬼、神形象化、具体化、实物化，那就是给让人敬畏的鬼、神塑一座雕像。在寺庙，在画家的名画中。许多画家以画宗教中的鬼、神为荣。 我们发现的新数是鬼或是神，你看不见摸不着，你只能想象，于是为了形象化、具体化、实物化我们像宗教人士为鬼、神塑造一座雕像样让i表示这个幽灵一样的数。i像宗教人士为鬼、神立像。 实数是看得见摸得着的。 同学们，鬼就是以上这样子的。 8 复数的概念 　形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 实 部 虚部 复数的代数形式 全体复数所形成的集合叫做复数集， 　通常用字 母z表示. 一般用字母C表示. 知新 复数就是人鬼情未了，实数a是人，看得见摸得着，复数bi是鬼，看不见摸不着，它的一般形式a+bi是人鬼情未了。同学们可以看看美国著名电影《人鬼情未了》 b叫虚部，不叫i的系数 9 13:44 1、复数z=a+bi 复数的分类 2. 复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系 同学们，这些名字是数学家取的，是取的形象生动深刻，我们一看到名字就知道是什么意思。实数看得见摸得着，全是人，非纯虚数是半人半鬼或半人半仙，纯虚数是全是鬼。“纯”就是纯净没有杂质的意思。实：就是看得见摸得着的意思。虚：就是看不见摸不着的意思。 10 3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 注： 2) 两个虚数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 11 复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位 的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 12 同学们看下面几个复数：1+2i、3-2i、5+6i。我们知道复数像鬼、神看不见、摸不着，你只能想象。于是一些宗教的人士为了吸引大众入教也为了宗教能够普及，给一些鬼、神塑立雕像，这雕像能让看不见摸不着的鬼神形象、具体、直观、实物，能让人看得见摸得着。 我们上节课讲过这些记号1+2i、3-2i、5+6i是给复数这个鬼、神立雕像，能让复数形象、具体、直观、实物。但同学们注意用1+2i、3-2i、5+6i表示这些鬼神人们还是觉得太抽象太难想象太虚无缥缈太云里雾里太朦朦胧胧，复数刚诞生时文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．就算过了140年欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位。 于是数学家想有没有可能给这种幻想之中的数形象化、具体化、直观化、实物化？像宗教人士给看不见摸不着的鬼神形象化、具体化、直观化，实物化。给复数进一步的形象化、具体化、直观化、实物化，这是高斯的功劳 13 7.1.2复数的几何意义 实数的几何意义？ 新课导入 在几何上，我们用什么来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示. 数轴上的点 实数 (数) 一一对应 (形) 15 Z=a+bi(a, b∈R) 实部 虚部 一个复数由什么确定？ 你能否找到用来表示复数的几何模型呢？ 16 复数的几何意义（一） 探究 任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 17 复数z=a+bi 有序实数对(a,b) 唯一确定 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 可用下图表示他们彼此的关系: 因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应. 18 a Z(a,b) z=a+bi b o x y 那么现在复数z=a+bi可以在平面直角坐标系中表示出来，如图所示： 复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 ------复数平面 (简称复平面) x轴------实轴 y轴------虚轴 原点即在x轴又在y轴，所以原点即在实轴又在虚轴。实轴上全是人，虚轴上除原点外全是鬼。一、二、三、四象限半人半鬼。 19 复数z=a+bi 复平面内的点Z(a,b) 一一对应 结论 复数的几何意义之一是： 注意 实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外，都表示纯虚数，因为原点表示实数0. 20 练一练 复平面内的原点(0,0)表示( ); 实轴上的点(2,0)表示( )； 虚轴上的点(0,-1)表示( ); 点(-2,3)表示( ). 实数0 实数2 纯虚数-i 复数-2+3i 21 复数的几何意义（二） 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数. 22 可用下图表示他们彼此的关系： 复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应 一一对应 一一对应 Z(a,b) a o b y x z=a+bi 平面向量 23 现在我们就用平面向量来表示复数，如图所示： x y o a b Z：a+bi 设复平面内的点Z表示复数Z=a+bi,连接OZ,显然向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定. 24 由此可知，复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应的. 结论 复数的几何意义之二是： 复数z=a+bi 一一对应 为了方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量 且规定相等的向量表示同一个复数. 平面向量 25 图7.1-3中向量的模叫做复数x=a十bi的（modu-lusofacomplexnumber）或绝对值，记作|z|或|a十bi|，即|z|=|α+bi|= 其中a，b∈R 如果b=0，那么z=a十bi是一个实数a，它的模就等于|a|（a的绝对值） 例2设复数=4+3i，=4-3i （1）在复平面内画出复数对应的点和向量： （2）求复数的模，并比较它们的模的大小. 解：（1）如图7.1-4，复数对应的点分别为，对应的向量分别为. （2）||=|4+3i|=， | 所以=. 点有怎样的 关系？ 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时：这两个复数叫做互为其轭复数(conjugate complex numbcr）。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用裴示，即如果z=a+bi，那么=a-bi. 口答：说出下列复数的共轭复数 ⑴z=2+3i ⑶z= 3 ⑵z= -6i ( =2-3i ) ( =6i ) ( =3 ) 注意：⑴当虚部不为0时的共轭复数称为 共轭虚数 ⑵实数的共轭复数是它本身 ？.思考： 解：⑴作图 得出结论：在复平面内共轭复数z1 ,z2所对应的点关于实轴对称。 若z1,z2是共轭复数，那么 ⑴在复平面内，它们所对应的点有怎的位置关系？ ⑵z1·z2是一个怎样的数？ ⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1·z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2 结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数. y x (a,b) (a,-b) z1=a+bi o y x (a,o) z1=a o x y z1=bi (0,b) (0,-b) o 解： 例3 设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ （1）|z|=1 （2）1<|x|<2 解：（1）由|z|=1得，向量的模等于1，所以满足条件|z|=1的点Z的集合是以原点O为圆心：以1为半径的圆。 （2）不等式1<|z|<2可化为不等式 不等式|z|<2的解集是圆|z|=2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆|z|=1外部所有的点组成的集合.这两个集合的父集，就是上述不等式组的解集，也就是满正条件1<|z|<2的点Z的集合，容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图7.1-5）。 例1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。 变式：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。 解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。 同学们这相当于高考容易题，高考容易题通过训练都会做。90分容易题都会做，考个专科没问题。 31 课堂小结 1.复数的实质是一对有序实数对； 2.用平面直角坐标系表示复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴；实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数； 32 2.复数的两个几何意义： 复数z=a+bi 一一对应 复平面内的点Z(a,b) 复数z=a+bi 一一对应 平面向量 33 $