河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷

洛一高英才部2024级数学4月月考试卷2026.4 命题人：王玮琪 审核人：刘宗毅 时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1.已知函数，则 2.函数的单调递增区间为 3.已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 4.函数的图象在点处的切线方程为 5.函数在上不单调，则实数的取值范围为 6.设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 7.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 8.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为 A. B. C. D. 10.已知，则下列说法中正确的有 A. 的展开式中不含的项 B. 的展开式中的常数项为84 C. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项 D.的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等 11.已知函数，则下列结论正确的是 A.函数只有两个极值点 B.方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C.方程共有4个根 D.若，，则的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 13.的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 14.函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大,求的展开式中: (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项. 16.(本小题满分15分) 设函数． (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求； (2)若在处取得极小值，求的取值范围． 17. (本小题满分15分) 若. (1)求； (2)求； (3)求. 18. (本小题满分17分) 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 19.（本小题满分17分） 已知函数. (1)当时，求证：； (2)若对于恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得，求证：. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛一高英才部2024级数学4月月考答案2026.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C D B C B C A AC BD ACD 7.【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选C. 8.【解析】由，得， 令，则. ，得， 即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为， 由点到直线的距离公式可得点到直线的距离的最小值． 10.【解析】因为展开式的通项公式，所以 当时，，A错误； 当，B正确； 根据二项式系数性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，C错误； 的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，D正确. 故选BD. 11.【解析】，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值，故正确. 对于，由选项知，作出曲线及直线，如图， 要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点，所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故错误. 对于，由得，解得. 令，则，结合图象方程有两解, ,， 所以或. 因为，所以，所以方程有两解； 又因为，结合图象可知也有两解， 综上,方程共有4个根，故正确. 对于，因为，而函数在上单调递减，因此当时，，当且仅当,，所以的最大值为2，故正确． 12.【解析】先选两位家长排在首尾有种排法；再排队中的四人有种排法，故有种排法. 13.【解析】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为-28. 14.【解析】,则有两个不相等的实根，. 即，画出图象，则. 所以的取值范围是. 15.解：由题意,解得. ………2分 (1)的展开式中第6项的二项式系数最大, 即. ………6分 (2)设第项的系数的绝对值最大, 则， ………8分 由得, ………10分 即， ∴, ………12分 故系数的绝对值最大的是第4项. ………13分 16.解：(1)因为， 所以. ………3分 , ………5分 此时， 所以的值为1． ………6分 (2)由(1)得． ………7分 若，则当时，； 当时，． 在处取得极小值． ………10分 若，则当时，， 所以．所以2不是的极小值点． ………14分 综上可知，的取值范围是. ………15分 17.(1)【法1】， 展开式通项为, 展开式通项为, 所以展开式通项公式为 ， 令，则有，或，或， . ………5分 【法2】①5个中有一个取含的项，其他的取常数项； ②5个中有两个取含的项，其他的取常数项， . ………5分 (2)令，， . ………10分 (3) . ………15分 18. (1)因为， 所以，即切点坐标为， ………1分 又， ∴切线斜率, ………3分 ∴切线方程为. ………4分 (2)， ， ………6分 令， 则， ………7分 ∴在上单调递增，∴, ………8分 ∴在上恒成立， ………9分 ∴在上单调递增. ………10分 (3)原不等式等价于， 令，，即证， ………11分 ∵， ，………12分 由(2)知在上单调递增， ………13分 ∴， ………14分 ∴, ∴在上单调递增， ………15分 又因为，∴，所以命题得证. ………17分 19.解：(1)由，得. 要证，只需证. 令，则. ………2分 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， ………3 分 所以，故， 因此. ………4分 (2)令， 则. ………5分 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ………6分 ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. ………7分 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； ………8分 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. ………9分 (3)由(2)知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. ………11分 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， ………12分 因为，所以只需证， 即证. ………13分 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） ………14分 由(1)得， 因此， ………15分 设， 则，所以在上单调递增， 所以， ………16分 从而，即，因此（*）得证， 从而. ………17分 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $