精品解析：黑龙江省大庆市龙凤区2026年九年级中考数学练习

初四数学练习 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的应用．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按照要求表示即可求解． 【详解】解：亿． 故选：A． 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，的俯视图是， 故选：C． 5. 【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到得到所有等可能性的结果数，再找到他们的孩子是单眼皮的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：列表如下： B b B b 由表格可知，一共有4种等可能性的结果数，其中他们的孩子是单眼皮的结果数有1种， ∴他们的孩子是单眼皮的概率为， 故选：B． 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键． 先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 检验，当，即方程无意义，故， ∵关于的方程的解为正数， ∴，即． 综上，的取值范围为且． 故选B． 7. 如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：A. ， ； B．由翻折可知：， ， ， ，故B选项不符合题意； C．由翻折可知：， ， ， ， ，故C选项不符合题意； ， ， ， 不平行，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 8. 已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，x的值为1或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； B、由图象可知：，故，该选项正确，符合题意； C、由图象可知：，故，该选项错误，不符合题意； D、由图象可知，与轴的交点为，故当时，x的值为1或或0，，该选项错误，不符合题意； 故选B． 9. 如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则∠BQC=90°， ∴当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动， 延长CB到E，使BE=BC，连接EC， ∵C、C1关于PB对称， ∴∠EC1C=∠BQC=90°， ∴点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动， 当点P与点A重合时，点C1与点E重合， 当点P与点D重合时，点C1与点F重合， 此时，， ∴∠PBC=30°， ∴∠FBP=∠PBC=30°，CQ=，BQ=， ∴∠FBE=180°-30°-30°=120°，， 线段扫过的区域的面积是． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，涉及反比例函数点的坐标特征、一次函数点的坐标特征及性质、轴对称的性质等内容，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可．根据、关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则、横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可． 【详解】解：①设函数上点的坐标为， 则其关于轴的对称点的坐标为， 若两函数具有“对偶关系”， 则点必在函数的图象上， 故有， ， 解得：， 函数与函数具有“对偶关系”，故①错误，不符合题意； ②由①得，，故②正确，符合题意； ③当时，则， 解得； 因为1是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的， 代入得：， 解得，故③正确，符合题意； ④设点P在上，设P的坐标为，其中，则点Q在上，坐标为，即， ∵P、Q纵坐标相等， ∴，即． ∵， ∴当时，；当时，， ∴，故④正确，符合题意． 综上，②③④正确． 故选：B． 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 12. 使代数式有意义，则x的取值范围是 ___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．是一道复合型的题目，要考虑前面是重点．根据分式分母不为零，二次根式被开方数非负，得出不等式组计算即可． 【详解】解：由题意： 则， 故答案为：． 13. 求不等式组：整数解之和______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 14. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆锥侧面展开图，圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，据此利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设需要的扇形纸片的圆心角为， 由题意得，， 解得， ∴需要的扇形纸片的圆心角为120度， 故答案为：120． 15. 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm． 【答案】3． 【解析】 【分析】如图，由AB∥CD，知△OAB∽△OCD，再根据相似三角形对应线段成比例即可求出CD的长． 【详解】如图，OE＝20 cm，OF＝30 cm，AB＝2 cm， ∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴＝，即＝， ∴CD＝3， 即光屏上火焰所成像的高度为3 cm． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是找出相似三角形． 16. 我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为______． 【答案】20或 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，理解新定义，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴ 解得． 当时， ∵ ∴ 解得． 故答案为：20或． 17. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故答案为：． 18. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，…按此方法作下去，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点作轴的垂线，垂足分别为，依题意得，进而得，则，由此可求出，再由三角形的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线直线，得，则，再由直线得，则，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：直线与轴交于点，如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 令，则， ∴点的坐标为， 直线与轴的夹角为，点的坐标为， ， 直线经过坐标原点，且与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴点的坐标为， ∵直线直线， ， ， 由勾股定理得：， ∵直线， ∴在中，，则， ∴， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，由勾股定理得：， ， ∴点的坐标为， 同理可得：点，点， 以此类推，点的坐标为， ∴当时，， ∴点的坐标为 ． 三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，零次幂等法则进行计算． 【详解】解： ． ． 20. 不等式组的解集为，求． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，得出m，n的值，再进行乘方运算即可． 【详解】解：， 解①，得，； 解②，得，， 不等式组的解集为：， 又， ，， ． 21. 请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题： 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，和相交于点P，求的值． 【解题思路】 要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M，N，可发现，则，连接，那么就变换到中，进而求出答案． 【解决问题】 （1）根据上述方法归纳，请求图1中的值； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，得到，利用勾股定理及其逆定理判定直角三角形，再利用三角函数定义选择计算即可． （2）如图，连接，判定四边形是平行四边形，得到，得到，利用勾股定理及其逆定理判定直角三角形，，利用特殊角的三角函数值计算即可．学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题是解题的关键． 【小问1详解】 ∵网格都是小正方形，根据正方形的性质， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2中，取格点D，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 22. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）8.1m；（2）4.58m 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用求出BF，在中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用; （2）过点作，垂足为，延长交于点，构建和，在中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH． 【详解】 （1）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴， ∴，即， ∴， 由，∴， ∴，即， ∴． 又，∴， ∴，即， ∴， 即到岸边的距离为． （2）过点作，垂足为，延长交于点， 则，垂足为． 由，∴，∴， 即，∴． 由，∴，∴， 即，∴． ∴， ∴， 即点到岸边的距离为． 【点睛】本题以钓鱼为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，解题关键在于构造合适的直角三角形，运用三角函数的运算，根据一边和一角的已知量，求其他边；再根据特殊的几何位置关系求线段长度． 23. 我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的名选手的决赛成绩（满分100分）如图所示： 根据图示信息，整理分析数据如表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 高中部 （1）求出表格中______；______；______； （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）已知高中代表队的方差是，计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1），， （2）初中部成绩好些，理由见解析 （3），初中代表队选手成绩较稳定 【解析】 【分析】（1）代入平均数公式求，将数据按照顺序排列之后，中间的一个或两个的平均数即为，出现次数最多的数据即为； （2）根据两队平均数和中位数大小判断，大的成绩好； （3）计算初中部的方差，方差越小越稳定． 【小问1详解】 解： 将高中部所有数据排列：，，，， 可得中位数为 故 初中部所有数据：，，，， 出现次数最多的数据为 故， 故答案为：85,80,85； 【小问2详解】 解：初中部成绩好些，因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， 所以在平均数相同的情况下，中位数同的初中部成绩好些． 【小问3详解】 解：初中代表队的方差是： ∵ ∴ ∴初中代表队选手成绩较稳定． 【点睛】本题主要考查了数据的处理能力，相关知识点有：平均数、方差、中位数、众数；熟练运用各种数据的计算方法是解题关键． 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，在中，，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在 中， ∵为中点， ， 在 中， ∵为中点， ， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 25. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元 【解析】 【分析】（1）设一次函数关系式为，将“当时，；时，”代入计算即可； （2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为 ∵当时，；时，， 即，解得： ∴； 【小问2详解】 解：依题意， ∵， ∴， 整理得，， 当时， ∵W随x增大而增大， ∴时，取最大值， 当时， ， ∵， ∴时，W取得最大值，此时， 综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元． 26. 如图，反比例函数的图像经过线段的端点，线段与x轴正半轴的夹角为，且． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图像相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；苦不存在，请说明理由； （3）若P为函数的图像上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且，当时，求出n的值． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3）n的值为或 【解析】 【分析】（1）作轴，由得，从而求得，于是可求的直线关系式和反比例函数表达式； （2）作轴，先求得，设代入中，从而求出得直线解析式为： ，即可求得答案； （3）分两种情况讨论求解即可，①如图1，当点N在上，即时，先求得直线的解折式为，则点，由，即可求解；②如图2，当点N在上，时，由题意得直线的解析式为，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如下图，作轴， ∵， ∴ ∴， ∴直线关系式为 代入中∴； ∴反比例函数表达式为 【小问2详解】 解：如下图，作轴， ∵，∴ ∴， ∴设代入中，得（舍去） ∴ 设，得直线解析式为：，令， ∴ 【小问3详解】 解：在平行四边形中， 点P在反比例函数的图像上，点P的横坐标为n，， ①如图1， 当点N在上，即时， 直线的解折式为，则点， 由，得：（舍去）； ②如图2， 当点N在上，时，直线的解析式为 由，解得：． ∴n的值为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质及待定系数法求反比例函数，图形变换—平移，待定系数法求一次函数以及直角三角函数，掌握分类讨论思想是解题的关键． 27. 已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）求证：． （3）若PD=4，，求直径AB的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AB=6． 【解析】 【分析】（1）连接OD、OC，证△PDO≌△PCO，得出∠PDO=∠PCO=90°，根据切线的判定推出即可； （2）求出∠A=∠ADO=∠PDB，根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案； （3）根据相似得出比例式，求得PA、PB的值，利用AB=PA-PB即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO=90°， ∵AB⊥CD，AB是直径， ∴= ， ∴∠DOP=∠COP， 在△DOP和△COP中， ， ∴△DOP≌△COP（SAS）， ∴∠PDO=∠PCO=90°， ∵D在⊙O上， ∴PD是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠PDO=90°， ∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠A=∠PDB， ∵∠BPD=∠BPD， ∴△PDB∽△PAD， ∴， ∴； （3）解：∵DC⊥AB， ∴∠ADB=∠DMB=90°， ∴∠A+∠DBM=90°，∠CDB+∠DBM=90°， ∴∠A=∠CDB， ∵， ∴， ∵△PDB∽△PAD， ∴ ∵PD=4， ∴PB=2，PA=8， ∴AB=8-2=6． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目质量好，有一定的难度． 28. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）直线过定点，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得 ，当时，有最大值为，此时； （3）设直线的解析式为，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，，再由，可得，即，整理得，，由此可知直线经过点． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， 将点B、C代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 过点作轴交于点，过点作轴交于点 ， ， ， 的面积为的面积为， 点为直线BC上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：直线过定点，理由如下: 设直线的解析式为， 当时，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， 当时，， 整理得，， 直线经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学练习 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学研究成果辉煌，产生了诸多趣味名词，如“刍童”，它指上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为B），另一种是隐性基因（记为b）；一个人的基因总是成对出现（如，，，），在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因B，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮． 【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则函数可以表示为，例如当时所对应的函数值记作；函数的图象如图所示，关于该函数说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，x的值为1或 9. 如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11. 分解因式：__________． 12. 使代数式有意义，则x的取值范围是 ___________ ． 13. 求不等式组：整数解之和______． 14. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的圆心角为______度． 15. 两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20 cm，光屏在距小孔30 cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2 cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________ cm． 16. 我们规定符号表示、中的较大值，如：，按这样的规定，如果，那么的值为______． 17. 在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是______． 18. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交x轴于点，过点作的平行线交于点，…按此方法作下去，则点的坐标是________． 三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算：． 20. 不等式组的解集为，求． 21. 请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题： 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，和相交于点P，求的值． 【解题思路】 要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M，N，可发现，则，连接，那么就变换到中，进而求出答案． 【解决问题】 （1）根据上述方法归纳，请求图1中的值； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值． 22. 我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿摆成如图1所示．已知，鱼竿尾端A离岸边，即．海面与地面平行且相距，即． （1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线与海面的夹角，海面下方的鱼线与海面垂直，鱼竿与地面的夹角．求点O到岸边的距离； （2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角，此时鱼线被拉直，鱼线，点O恰好位于海面．求点O到岸边的距离．（参考数据：，，，，，） 23. 我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的名选手的决赛成绩（满分100分）如图所示： 根据图示信息，整理分析数据如表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 高中部 （1）求出表格中______；______；______； （2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； （3）已知高中代表队的方差是，计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积 25. 某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当时，；当时，y与x满足一次函数关系，且当时，；时，．②m与x的关系为． （1）当时，y与x的关系式为________； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ 26. 如图，反比例函数的图像经过线段的端点，线段与x轴正半轴的夹角为，且． （1）求反比例函数和直线的解析式； （2）把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图像相交于点D，在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；苦不存在，请说明理由； （3）若P为函数的图像上一动点，过点P作直线轴于点M，直线l与四边形在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且，当时，求出n的值． 27. 已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD． （1）求证：PD是⊙O的切线． （2）求证：． （3）若PD=4，，求直径AB的长． 28. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $