精品解析：江西“三新”协同教研共同体2026届高三4月数学学科阶段训练试题

高三4月数学学科阶段训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据3，7，9，10，16，18的上四分位数为（ ） A. 5 B. 7 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】将数据从小到大排序为：3，7，9，10，16，18， 上四分位数即为百分之分位数，， 不是整数，故取样本数据的第5个数据， 所以这组数据的上四分位数为16. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长公式计算判断各个选项即可. 【详解】设，则， 当，时，，满足题意； 当，时，，满足题意； 当，时，，不满足题意； 当，时，，满足题意； 故在复平面内对应的点的坐标不可能为. 3. 已知集合，若，则（ ） A. 10或18 B. 或 C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 4. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为的渐近线方程为，而直线的斜率为， 则，解得. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正切函数的切线不等式（时，），直接得；再比较与：利用对数函数的单调性，通过立方运算比较真数大小，得；最后综合得； 【详解】因为，，区间， 设，，求导得，故在上单调递增， 又，因此在上恒成立，所以，即； 由对数性质：，且对数函数单调递增， 因为，， 又因为，所以，所以，即； 所以：. 6. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是边上靠近点的三等分点， 所以， 又因为， 所以. 7. 对于给定的正整数，若数列满足，，则称为“螺旋数列”.已知“螺旋数列”的前项和，则的最大值为（ ） A. 111 B. 110 C. 109 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】先分析取得最大值的条件，再结合题意得到和，最后求出最值即可. 【详解】由题意得，当最小，最大时，取得最大值， 当时，，当时，由题意得， 则，可得 ，， 当时，因为，所以， 由题意得，则，解得， 当时，因为，所以，解得， 因为，所以，可得. 8. 已知函数若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象结合列式解方程，数形结合得出范围. 【详解】作出的图象. 当，解得， 当，解得， 由结合函数图象，可得或. 当，解得，当，解得，由，可得； 当，解得，当，解得， 当，解得，当，解得， 由，可得或或. 综上，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，是空间中互不重合的三条直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理及空间线面的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直，A正确. 若，，则与的位置关系不确定，B不正确. 若，，则与的位置关系不确定，C不正确. 若，，，，，则，D正确. 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题可得，，，. 设，则，，A正确； ，，，B不正确； 若的面积为5，则， 根据对称性，不妨令位于第一象限，可得， 则，，， 由，得，C正确； 由点可得，，因为平分，所以； 又，所以，， 在中，以为底，点到的距离为， 所以的面积为， 设内切圆的半径为，则，解得，D正确. 11. 已知是函数的导函数，，的图象在上均是一条连续不断的曲线，且当时，，当时，.若，为定值，且，，，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 9是的一个极小值点 D. 是的一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，通过设，结合已知条件可以得到的值，从而得到，通过将此式子两边求导得到与同号，利用导数法得到在上的单调性.由时，由得到的范围，得到在上恒成立，从而得到在上的单调性.由得到，设，则，从而得到在上恒成立，故9是的一个极小值点.令，通过计算得到是的一个零点. 【详解】设，令，得， ，，，，, ， 两边求导得.因为，所以与同号. 当时，，令，得， 则当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 从而在上单调递减，在上单调递增，A不正确. 当时，，且，则， 则对任意，恒成立，故在上单调递增，B正确. 由题易得，则， 当时，，且，设，则， 则在上恒成立， 故9是的一个极小值点，C正确. 令，得，故是的一个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项是，, 所以含的项为，故该项的系数为. 13. 奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出当时的解析式，然后由导数的几何意义求解即可. 【详解】当时，则，所以， 因为是奇函数，所以， 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 14. 设正数满足，若关于的方程的所有正实数解从小到大依次为，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合辅助角公式，分别求得 和，得到，结合，即可求解. 【详解】由方程的所有正实数解从小到大依次为， 又由 ， 所以，即 当时， 可得且，， 可得，解得， 取为最小正角，则，则， 同理可得，当时，可得， 将两组数据从小到大排列可得： 则 因为，可得，所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求. （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，再代入已知等式后约去非零的，得到的值​，结合，最终求得即可； （2）先根据三角函数关系求出和，再利用正弦定理求出，然后求出，最后根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 根据正弦定理：（为外接圆半径）， 可得 ，， 因为，所以. 即. 又，所以，即. 又因为，得. 【小问2详解】 因为，即，所以， 又因为，将代入可得： ，即，，， 因为，所以是锐角，则，那么， 又因为，，所以，则， 因为， 因为，，，所以， 根据三角形面积公式，将，，代入可得： . 16. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面. （2）已知，平面平面. （I）求三棱锥外接球的表面积； （II）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（I）（II） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）（I）结合已知条件得到是三棱锥外接球的直径，根据球的表面积公式求解即可. （II）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合二面角的向量求法求解即可. 方法二：利用二面角的定义找出平面与平面夹角的平面角，结合余弦定理求解即可. 【小问1详解】 证明：过点作，交于点，连接. 因为，所以. 又，所以， 则四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 （I）因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 取的中点，的中点，连接，. 则，，所以平面，又平面，所以. 在中，，，则，所以， 所以为的外心，且. 又的中点为的外心，所以是三棱锥外接球的直径. 又， 所以三棱锥外接球的表面积. （II）（方法一）由（I）知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 又，，，所以平面， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 则平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）因为，，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面， 则，故即平面与平面的夹角. 由，，可得，，， 在中，， 即平面与平面的余弦值为. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标为，求得； （2）由（1）得抛物线的方程，设直线的方程为，并与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可得参数，从而得到直线的方程； （3）设直线的方程为，，，联立抛物线方程，得坐标关系，进而用点坐标表示；用坐标表示出点坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，得坐标关系，进而可用表示，利用基本不等式即可得的最小值. 【小问1详解】 因为是的焦点，所以，得. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的方程为. 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 因为，所以. 由，解得，， 则的方程为. 【小问3详解】 由题意可设的方程为，，. 由得， 则，. 由为轴上异于的点，且，得， 则直线的方程为， 即.设. 由得， 则，， 则. 由，得. 又， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 19. 某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. （1）求与的值. （2）证明：. （3）求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算可得结果； （2）记事件为第次操作抽调到类部件，则，利用全概率公式计算可得，可得出结论； （3）利用两点分布以及公式计算可得，再构造数列，可知，再根据累加法计算可得结果. 【小问1详解】 由题可知，. 【小问2详解】 证明： 设的所有可能取值为，则， 记事件为第次操作抽调到类部件，则， 根据全概率公式可得， 在的条件下，系统内共有个部件，其中有个类部件，则事件发生的概率， 则， 因为，所以， 则. 【小问3详解】 设随机变量满足若第次操作抽调到类部件，则， 若第次操作抽调到类部件，则，所以服从两点分布，且. 由题可知，第次操作后系统内类部件比上一次的增量为，则； 因为，所以. 由（2）可知，，则， 则当时，有， 则，即， 当时，，，满足上式， 故，，则. 令，则，， 则， 则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三4月数学学科阶段训练 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据3，7，9，10，16，18的上四分位数为（ ） A. 5 B. 7 C. 13 D. 16 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标不可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则（ ） A. 10或18 B. 或 C. 18 D. 4. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 对于给定的正整数，若数列满足，，则称为“螺旋数列”.已知“螺旋数列”的前项和，则的最大值为（ ） A. 111 B. 110 C. 109 D. 108 8. 已知函数若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，是空间中互不重合的三条直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，，则 10. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线和的斜率之积为定值 B. 的最小值为-1 C. 若的面积为5，则 D. 若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为 11. 已知是函数的导函数，，的图象在上均是一条连续不断的曲线，且当时，，当时，.若，为定值，且，，，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 9是的一个极小值点 D. 是的一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 14. 设正数满足，若关于的方程的所有正实数解从小到大依次为，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求. （2）若，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，. （1）证明：平面. （2）已知，平面平面. （I）求三棱锥外接球的表面积； （II）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 18. 已知是抛物线的焦点，过的直线与交于，两点（在轴的上方）. （1）求的值； （2）若，求的方程； （3）记为坐标原点，为轴上异于的点，且，延长交于点，设直线，的斜率分别为，，求的最小值. 19. 某工业系统内初始装有2个类部件和1个类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到类部件的概率为，第次操作后系统内类部件的数量为. （1）求与的值. （2）证明：. （3）求数列的通项公式. 附：若随机变量服从两点分布，且，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $