河南省郑州中学2025-2026学年高一下学期4月模拟测试数学试题卷

《郑州中学2026年高一年级下学期数学模拟测试》参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 11 答案 B A A C C D CD ABD ACD 1．B 【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量， 对于A中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于B中，设，可得，解得， 所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底； 对于D中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底. 共线：B. 2．A 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可 【详解】由题意， 故选：A 3．A 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4．C 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 5．D 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，，再由平面向量基本定理，可得，即可求解. 【详解】， 则， 又三点共线，， 又为的中点，，又，所以， 又三点共线，， 由平面向量基本定理知，，解得，所以， 即，所以， 故选：D. 6．A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 7．C 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则，即， 又，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 8．D 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 9．CD 【分析】利用正弦定理可以判断AC；对B可知或，判断即可；对D，通过比较可知，判断即可. 【详解】对A，若，则，为锐角三角形，不能明确边长之间关系，错误； 对B，，则或，又，可知，所以为等腰三角形或者直角三角形，错误； 对C，在中，若，则，所以，正确； 对D，由，则，，所以有两个，正确. 故选：CD 10．ABD 【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，由可得， 所以，所以， 所以，所以四边形是矩形，故选项B正确； 对于C，依题意如图， 但，故C错误； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 12． 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 13．/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 14． 【分析】解法一：根据向量模公式得，再结合，解对应不等式即可得答案； 解法二：作，，，进而得在以点为圆心，5为半径的圆上，再结合矩形的性质得点D在以点C为圆心，7为半径的圆上，最后根据即可得答案. 【详解】解法一： ，其中为与的夹角． 因为,所以， 所以． 又因为， 所以，解得． 所以的取值范围为 解法二：如图，作，，， 因为，所以在以点为圆心，5为半径的圆上， 以为邻边作矩形． 由矩形的性质可知，，又， 所以，即点D在以点C为圆心，7为半径的圆上， 因此， 所以的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 16．(1) (2) 【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可. （2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为所以①. 又由正弦定理，即，代入①式， 可得，整理得， 又，所以，解得. （2）因为，所以， 即，又，所以. 因为，由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）. 故. 17．(1) (2) 【分析】（1）在中，先求出，再在中，利用余弦定理求解即可； （2）设，则，，在中，利用正弦定理求出，再在中，求出，进而可得出答案. 【详解】（1）在中，，， 则，， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. （2）设，则，， 在中，因为， 所以， 在中，， 所以，即， 所以即. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 19．(1) (2)①证明见解析，② 【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用余弦定理，即可求出结果； （2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果. 【详解】（1）由正弦定理得即 由余弦定理有，若，等式不成立，则，所以， 因为，所以. （2）①设，由，得， 从而，即 ②. 又 . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得，所以即， 则，令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令；则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 答案第12页，共12页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $郑州中学2026年高一年级下学期数学模拟测试 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单选题 1.若8，e,是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（). A.g+e,和g-g B.3-2e,和4e-6E C.e+3e,和e,+3e D.e,和e+e2 2.在梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD,E为AB上靠近B点处的三等分点，则向量EC= () A.-14B+AD B. LAB-AD 6 C. 丽+而 D.-14B-AD 61 3.若ā，6为非零向量，则“a6"是a+=+的() A.必要不充分条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.充要条件 4.已知向量ā=(4，-4)，6=(2,3)，则向量ā在向量6上的投影向量为（) A. (1015 13'13 D.(3 2030 5.如图，己知在VABC中，P为AC的中点，AB=4AF,CB=4C②，PQ与CF相交于点E. 若CE=CA+CB(L,∈R),则1+u=() 2-5 D. 6.航海学中视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其 中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反图1给出了部分风力等级、 第1页，共4页 名称与风速大小的对应关系.己知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速 对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：s),则该时刻的真风为(） 风速大小（单位： 级数 名称 m/s) 2 轻风 1.6-3.3 视风C风速 3 微风 3.45.4 2 和风 5.5-7.9 船速 5 劲风 8.0-10.7 A.轻风 B.微风 C.和风 3 7.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccosB=2 acos B, VABC的面积为3V ,则a2+c2的最小值为（) A.3 B.35 C.6 D.6V5 8.奔驰定理：已知O是VABC内的一点，若DBOC、△AOC、VAOB的面积分别记为SA、 S、Sc,则S·OA+S。·OB+Sc·OC=0,“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论， 这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的l0g0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知O 是VABC的内心，AB=8,且满足2OA+3OB+4OC=0,设△ABC的内切圆半径为r,外接 圆半径为R,则5=() R AcD 16 二、多选题 9.在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（) A.若VABC为锐角三角形，则sinA>sinB B.若sin2A=sin2B,则VABC为等腰三角形 C.若A>B,则sinA>sinB D.若b=8,c=10,B=30°，则符合条件的VABC有两个 10.下列命题正确的是() A,在VABC中，(BC+BA·AC=AC,则VABC的形状一定是直角三角形 试卷第2页，共4页 B.平行四边形ABCD中，若AB+AD=D-丽，则四边形ABCD是矩形 C.若A,B,C,D四点在同一条直线上，且AB=CD,则B=CD D.在VABC中，若CP CB 则P点的轨迹经过VABC的内心 11.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独 立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正 八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正 确的是() 图2 A.OB+OD=20C B.丽在BC方向上的投影向量为-BC C.PC.PD的最大值为48+32√2 D.若函数f(x)=BE-xBC，则函数f(x)的最小值为4+2√2 三、填空题 12.己知向量a=(2,-1),b=(-1,2),c=(m,3),若(a+cW(6+c,则m= 13.如图，己知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，BF与AC交于点E,则BE.BC= 14.己知平面向量a,6,c满足ā.6=0，=1，a-=5-d=5,则a-6的取值范围为 第3页，共4页 四、解答题 15.已知向量a=（1,2),b=(-2,k),其中k∈R. (1)若(a-)⊥(a+),求实数k的值：(2)若ā与b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 16.已知VABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(a,b),月=(V3cosM,sinB =(b-c,a-c. (①)若mm,求A:(2)若m1元，c=2,C=,求VABC的面积 17.如图，在VABC中，∠ABC=90°，AB=2√3，BC=2,P为VABC内一点，且∠BPC=90°， (1)若PB=1,求PA的长：(2)若∠APB=150°，求tan∠PBA, 18.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2-ab=c2 (I)求角C的大小：(2)若a+b=8,求VABC周长的最小值： (3)若VABC是锐角三角形，且c=2√5，求VABC面积S的取值范围. 19.在VABC中，∠A,∠B,∠C对应的边分别a,b,c,2sin4 sinBsinC=√5(sin2B+sin2C-sin2A) (1)求A: (2)柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：(x2+y2)》≤(x+)(x+) ②已知三维分式型柯西不等式：为，，为eR,三+互+三之区+名+，当且仅当 少2+y2+% 立=立-立时等号成立.若a=2,P是VABC内一点，过P作AB,BC,AC垂线，垂足分别 少y23 为D,E,F,求T=Ag+4BCAC 的最小值 试卷第4页，共4页