精品解析：江西南昌中学三经路校区2025-2026学年度第二学期4月份考试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区4月份考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题. 2. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式结合题设可得答案. 【详解】由题，则，故D正确． 3. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】利用即可得答案. 【详解】， 故选： 【点睛】本题主要考查了求数列某项的值，属于基础题. 4. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和对数的运算性质得到所求的值． 【详解】， ， 故选：C. 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，成等比数列，结合等比中项列式求解． 【详解】设，则成等比数列， 即． 6. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为， 所以． 7. 已知数列满足，，，其前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】合理构造等比数列求出，再利用分组求和法得到，进而依据题意建立方程，求解参数即可. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 而，则是以为首项，为公比的等比数列， 可得，化简得， 则，即， 因为，所以，解得，故C正确. 故选：C 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ） A. B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可. 【详解】记数列为，设， 则，，，，， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， . 故选：C. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列性质求得，然后结合求得，再求出公比后可得通项公式及前项和，然后判断各选项． 【详解】选项A，由等比数列性质得，由，解得或， 若，则，不合题意， 若，则，满足题意，A正确； 选项B，由选项A得，， 等比数列的通项公式应为形式，因此不是等比数列，B错； 选项C，由选项B得，，C正确； 选项D，由上知，， ，所以数列是公差为的等差数列，D错． 10. 已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 当时，有最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断出为等差数列，求出、逐项判断可得答案. 【详解】由得， 且， 所以是以首项为公差为的等差数列，故A正确； 所以，故B错误； ，故C错误； ， 因为时，所以当时有最大值，为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D, 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得：，当时，最大，故A错误 由，可得到，所以， ， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当，或时，；当时，； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由等差中项性质可求，又依据等差数列的前n项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由有，而 ∴结合等差数列的前n项和公式及通项公式 即可得 故答案为：1 【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n项和公式、通项公式求公差 13. 在数列中，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法进行计算即可得到结果. 【详解】因为， 则，，…， 累加可得，，所以. 故答案为：. 14. 已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，结合分类讨论思想、数列的单调性进行求解即可. 【详解】， 当时，， 所以该数列奇数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 该数列偶数项是以为首项，为公比的等比数列，显然此时该数列是递增数列，为最小项， 因此对恒成立，即恒成立， 因为数列奇数项的最小值为，偶数项的最小值为， 所以数列的最小值为，故只需， 因此的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式； （2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意，得， 又为等比数列，所以，即， 解得或，所以或； 【小问2详解】 当时，， 此时； 当时，， 此时. 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）赋值求出前3项，作差得到递推关系，证明数列是等比数列，从而写出通项即可. （2）写出的表达式，采用错位相减法，即可得解. 【小问1详解】 根据已知条件，，令，解得， 同理，易得. 当时，， 与两式相减，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以，则， 两式相减可得， 整理得. 17. 为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作万元，已知为等差数列，相关信息如图所示： （1）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用） （2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值． 【答案】（1），的最大值64万元；（2）经过6年，年平均收盈最大,最大收益为8万元 【解析】 【分析】（1）由题意，每年的费用是以6为首项，2为公差的等差数列，即可把y表示成n的函数，由配方法求出的最大值. （2）年平均盈利为，利用均值不等式可得答案. 【详解】（1）由题意，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以 又 则当时，的最大值64万元. （2）年平均盈利, 当且仅当，即时，年平均收盈最大,最大收益为8万元, 所以经过6年，年平均收盈最大,最大收益为8万元 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到，确定为等差数列，即可求解； （2）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，， 可得，即数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 19. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明： （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围． 【小问1详解】 证明：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以． 【小问3详解】 由题可得，整理得恒成立， 令，则， 则当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期南昌中学三经路校区4月份考试 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则公比（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 19 4. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 8 B. 12 C. 14 D. 16 6. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，，，其前项和为，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ） A. B. 16 C. D. 二、多选题:共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 已知数列满足，其中，设为数列的前n项和，则下列选项正确的有（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 当时，有最大值 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前n项和为，若，则_________. 13. 在数列中，，，则_______． 14. 已知数列满足，且对恒成立，则的取值范围是__________. 四、解答题：共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知等差数列的前四项和为10，且为等比数列； （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作万元，已知为等差数列，相关信息如图所示： （1）设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；（总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用） （2）该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值． 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和． 19. 已知数列的前n项和为，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前n项和； （3）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $